专题5.13 平行线及平行线的判定（题型分类拓展）-2023-2024学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）.docx

1、专题5.13 平行线及平行线的判定（题型分类拓展）【题型目录】【题型1】三角板中的平行线判定问题； 【题型2】折叠与重合中的平行线判定问题；【题型3】旋转中的平行线判定问题； 【题型4】平行线判定中的作图问题；一、 单选题【题型1】三角板中的平行线判定问题1（2023下湖北武汉七年级统考期中）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法（图中三角形是三角板），其依据是（）A同旁内角互补，两直线平行 B两直线平行，同旁内角互补C同位角相等，两直线平行 D两直线平行，同位角相等2（2022下广东深圳七年级校联考期中）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：；如果，则有；其中正确的序

2、号是（）A BC D3（2019下七年级单元测试）如图，一根直尺EF压在三角板 的角BAC上，欲使CBEF，则应使ENB的度数为（）A B C D【题型2】折叠与重合中的平行线判定问题4（2023下山东济南七年级统考期末）如图，将一纸条沿折痕折叠，时对应线段与相交于点则下列条件中，不足以证明的是（）A BC D5（2022下河南信阳七年级统考期中）学习平行线后，小龙同学想出了“过已知直线m外一点P画这条直线的平行线的新方法”，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的观察图（1）（4），经两次折叠展开后折痕CD所在的直线即为过点P的已知直线m的平行线从图中可知，小龙画平行线的依据有（）两直线平行，同

3、位角相等；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行A B C D【题型3】旋转中的平行线判定问题6（2023河南濮阳统考一模）如图，直线a与直线c相交于点A，直线a绕点A逆时针旋转，使，则直线a至少旋转（）A B C D7（2021下河北石家庄七年级统考期末）如图（1），在中，边绕点按逆时针方向旋转一周回到原来的位置在旋转的过程中（图（2），当（）时，A42 B138 C42或138 D42或1288（2018上七年级课时练习）如图，A80，O是AB上一点，直线OD与AB所夹的AOD88，要使ODAC，直线OD绕点O按逆时针方向旋转（ ）A8

4、B10 C12 D18【题型4】平行线判定中的作图问题9（2019辽宁丹东中考真题）如图，点C在AOB的边OA上，用尺规作出了CPOB，作图痕迹中，是（）A以点C为圆心、OD的长为半径的弧B以点C为圆心、DM的长为半径的弧C以点E为圆心、DM的长为半径的弧D以点E为圆心、OD的长为半径的弧10（2022下河北邢台七年级校考阶段练习）已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（）A B C D二、 填空题【题型1】三角板中的平行线判定问题11（2023下广东佛山七年级校考阶段练习）如图，有一副三角板按如图放置，则下列结论正确的是 （填序号）；若，则；若，则；12（202

5、1下浙江宁波七年级校考期中）如图把三角板的直角顶点放在直线上，若，则当 度时，13（2018上山东菏泽七年级山东省郓城第一中学校考期末）如图，已知直线mn，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则= 【题型2】折叠与重合中的平行线判定问题14（2020下山东聊城七年级统考期中）如图所示的四种沿AB折叠纸带的方法：如图，展开后测得12；如图，展开后测得12且34；如图，测得12；如图，展开后测得12180其中能判断纸带两条边a，b互相平行的是 （填序号）15（2023下河北沧州七年级统考期末）数学课上，老师要求同学们利用三角板画直线两条平行线小华的画法是：任意画直线a如图甲，将含角三角尺的最长边与

6、直线a重合，用虚线做出一条最短边所在直线；如图乙，再次将含角的三角尺的最短边与虚线重合，画出最长边所在直线b，则小华画图的依据是 16（2021下辽宁葫芦岛七年级统考期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），下列条件BAD30；BAD60；BAD120；BAD150中，能得到的CDAB的有 （填序号）【题型3】旋转中的平行线判定问题17（2021下湖南岳阳七年级统考期末）如图，将一副三角板按如图所示放置，且，则下列结论中：；若平分，则有；将三角形绕点旋转，使得点落在线段上，则此时；若，则其中结论正确的选项有 （写

7、出所有正确结论的序号）18（2019下七年级课时练习）如图，直线a与直线b被直线c所截，bc，垂足为A，170.若使直线b与直线a平行，则可将直线b绕着点A顺时针至少旋转 度19（2019下江苏南京七年级校联考期中）如图，把一副三角板如图摆放，点E在边AC上，将图中的ABC绕点A按每秒5速度沿顺时针方向旋转180，在旋转的过程中，在第 秒时，边BC恰好与边DE平行【题型4】平行线判定中的作图问题20（2023下广西百色七年级统考期末）在一次数学活动课上，老师让同学们借助一直尺和一三角板画平行线，下面是小雷同学的作法，如图所示小雷作图后，老师点评说：“小雷的作法正确”请回答：小雷的作图依据是 2

8、1（2018北京八年级统考期末）在一次数学活动课上，老师让同学们借助一副三角板画平行线AB，下面是小楠、小曼两位同学的作法：老师说：“小楠、小曼的作法都正确”请回答：小楠的作图依据是 ；小曼的作图依据是 三、 解答题【题型1】三角板中的平行线判定问题22（2021浙江九年级专题练习）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变）（1）当BAD，CDAB（2）当BAD，则三角板ACD有一条边与直角边OB平行（写出所有可能情况）23（2019下江苏宿迁七年级校考期中）有一副直角三角板按如图所示放置，点E、F分别在线段AB和线段A

9、C上，DEF=BAC=90，D=45，C=30.（1）若DEA=28，求DFA的度数.（2）当DFC等于多少度时，EFBC？说说你的理由.【题型2】折叠与重合中的平行线判定问题24（2019上北京西城八年级统考期末）已知：如图所示的三角形纸片内部有一点P任务：借助折纸在纸片上画出过点P与BC边平行的线段FG阅读操作步骤并填空：小谢按图图所示步骤进行折纸操作完成了画图任务在小谢的折叠操作过程中，（1）第一步得到图，方法是：过点P折叠纸片，使得点B落在BC边上，落点记为，折痕分别交原AB，BC边于点E，D，此时即=_；（2）第二步得到图，参考第一步中横线上的叙述，第二步的操作指令可叙述为：_，并求

10、EPF的度数；（3）第三步展平纸片并画出两次折痕所在的线段ED，FG得到图完成操作中的说理：请结合以上信息证明FGBC25（2019下七年级单元测试）如图，在三角形ABC中，ACB90，将三角形ABC向下翻折，使点A与点C重合，折痕为DE.试说明：DEBC【题型3】旋转中的平行线判定问题26（2017下内蒙古乌海七年级校考期末）将一副三角板按如图方式摆放，两个直角顶点重合，A=60，E=B=45（1）求证：ACE=BCD；（2）猜想ACB与ECD数量关系并说明理由；（3）按住三角板ACD不动，绕点C旋转三角板ECB，探究当ACB等于多少度时，ADCB请在备用图中画出示意图并简要说明理由27（2

11、018下七年级单元测试）如图，桌面上的木条AB，OC固定，木条DE在桌面上绕点O旋转n（0n90）后与AB平行，则n的大小是多少？【题型4】平行线判定中的作图问题28（2023上河南商丘七年级校考阶段练习）如图所示，已知点A、是网格上的三个格点，请仅用无刻度直尺作图：（1）画射线，画线段；（2）过点作的垂线段，垂足为；（3）过点画直线，使得29（2023下河北秦皇岛七年级统考期末）数学课上老师提出“请对三角形内角和等于进行说理” 已知：，是的三个内角对进行说理小明给出如下说理过程，请补全证明过程（1）证明：过点作， _=_（_），（_），（2）听完小明的说理过程后，小亮提出：小明作辅助线的方法

12、，就是借助平行线把三角形的三个内角转化成一个平角，这就启发我们可以借助平行线，对“如图，”进行说理请你帮助小亮完成作图并写出推理过程参考答案：1C【分析】根据和是三角板中的同一个角，得，根据平行线的判定，即可解：，（同位角相等，两直线平行），C正确故选：C【点拨】本题考查平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定2B【分析】根据，即可得；根据角之间关系即可得；根据角之间关系可得，无法判断BC与AD平行；由题意得，得；综上，即可得解：，故正确；故正确；，BC与AD不平行，故错误；，即，又，,故正确；综上，正确，故选：B【点拨】本题考查了三角形内角和定理，余角和同角的余角，平行线的判定，解题的关键

13、是理解题意，掌握这些知识点并认真计算3C【分析】根据平行线的判定方法即可解答.解：解:因为三角板含有30的角,所以B=60,当ENB+B=180时,根据“同旁内角互补,两直线平行”,可使CBEF，此时ENB=180-B=180-60=.故选C.【点拨】本题考查平行线的判定方法，解题关键是熟练掌握判定方法，根据题目要求选择简单方法.4D【分析】根据翻折的性质和平行线的判定逐一进行判断即可解：A. ，；B由翻折可知：，故B选项不符合题意；C由翻折可知：，故C选项不符合题意；，不平行，故D选项符合题意；故选：D【点拨】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键5C【分析

14、】根据折叠可直接得到折痕AB与直线m之间的位置关系是垂直，折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直；然后根据平行线的判定条件由3=1可得ABCD，由4=2，可得ABCD解：第一次折叠后，得到的折痕AB与直线m之间的位置关系是垂直，将正方形纸展开，再进行第二次折叠（如图（4）所示），得到的折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直；ABm，CDm，1=2=3=4= 90，3=1，ABCD（同位角相等，两直线平行），故正确；4=2，ABCD（内错角相等，两直线平行），故正确；综上分析可知，正确的是，故C正确故选：C【点拨】此题主要考查了平行线的判定，以及翻折变换，关键是掌握平行线的判定定理6A【分析

15、】观察图中是同位角，根据“同位角相等两直线平行”，故变成时即可使，因此需要旋转解：若使，则需满足（同位角相等，两直线平行）即直线a绕点A逆时针旋转后，若，至少旋转的度数为：故选：A【点拨】本题考查了平行线的判定，解题的关键是分析得出1与2是同位角的关系7C【分析】结合旋转的过程可知，因为位置的改变，与 A可能构成内错角，也有可能构成同旁内角，所以需分两种情况加以计算即可解：如图（2），当ACB=42时，ACB=ACBAB如图（2），当ACB=138时，A=42，CBAB综上可得，当或时，CBAB故选：C【点拨】本题考查了平行线的判定、分类讨论的数学思想等知识点，根据CB在旋转过程中的不同位置，

16、进行分类讨论是解题的关键8C【分析】因为同旁内角互补,两直线平行,要使ODAC,则直线OD与AB所夹的AOD+A180,因为A80,所以AOD100,所以DOD12,即直线OD绕点O按逆时针方向旋转12.解：要使ODAC,则直线OD与AB所夹的AOD+A180,因为A80,所以AOD100,因为AOD88,所以DOD12,即直线OD绕点O按逆时针方向旋转12.故选C.【点拨】本题主要考查两直线平行的判定,解决本题的关键是要熟练掌握两直线平行判定的方法.9C【分析】根据平行线的判定，作一个角等于已知角的方法即可判断解：由作图可知作图步骤为：以点O为圆心，任意长为半径画弧DM，分别交OA，OB于M

17、，D以点C为圆心，以OM为半径画弧EN，交OA于E以点E为圆心，以DM为半径画弧FG，交弧EN于N过点N作射线CP根据同位角相等两直线平行，可得CPOB故选C【点拨】本题考查作图复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型10B【分析】根据中点的定义，平行线的定义判断即可解：过AC的中点D作AB的平行线，正确的图形是选项B，故选：B【点拨】本题考查作图复杂作图，平行线的定义，中点的定义等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题11【分析】根据三角板的度数及平行线的判定定理逐项判断即可解：由图可知，因此，故正确；若，则，因此，故正确；若，则，因此不能得出

18、，故错误；综上可知，正确的是故答案为：【点拨】本题考查三角板相关的角度计算，平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理12【分析】由直角三角板的性质可知，当时，得出即可解：当当时， ，理由如下：，当时，故答案为：【点拨】本题主要考查了平行线的判定方法、平角的定义；熟记同位角相等，两直线平行是解题的关键1348【分析】过C作CD与m平行，由m与n平行得到CD与n平行，利用两直线平行得到两对内错角相等，再由ACB为直角，即可确定出的度数解：过C作CDm，mn，CDn，ACD=42，BCD=，ACBC，即ACB=90，ACD+BCD=90，则=9042=48故答案为48【点拨】本题考查了平行线的

19、性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键14【分析】对于，1与2是一组内错角，根据“内错角相等，两直线平行”判断即可；对于，根据已知条件可知123490，根据“内错角相等，两直线平行”或“同旁内角互补，两直线平行”判断即可；对于，12，其既不是同位角，也不是内错角，结合两直线平行的判定定理即可判断；对于，1与2是一组同旁内角，根据“同旁内角互补，两直线平行”判断即可解：对于，因为12，且1与2是一组内错角，所以ab；对于，因为12，34，所以123490，故ab；对于，根据12无法证得ab；对于，因为12180，且1与2是一组同旁内角，故ab故答案为：【点拨】本题考查了平行线的判定定理，内错角

20、相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行15内错角相等，两直线平行或同旁内角互补，两直线平行【分析】根据平行线的判定方法解答即可解：画图的依据是内错角相等，两直线平行或同旁内角互补，两直线平行，故答案为：内错角相等，两直线平行或同旁内角互补，两直线平行【点拨】本题考查作图复杂作图，平行线的判定等知识，熟练掌握基本知识是解题关键，属于中考常考题16【分析】分两种情况，根据CDAB，利用平行线的性质，即可得到BAD的度数解：如图所示：当CDAB时，BAD=D=30；如图所示，当ABCD时，C=BAC=60，BAD=60+90=150；BAD=150或BAD =30故答案为：【点拨】本题主要考查了

21、平行线的判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由直线的平行关系来寻找角的数量关系17【分析】根据同角的余角相等得1=3，但不一定得45；都是根据角平分线的定义、内错角相等，两条直线平行，可得结论；根据对顶角相等和三角形的外角等于不相邻的两个内角得和，可得结论；根据三角形内角和定理及同角的余角相等，可得结论解：如图，CAB=DAE=90，即1+2=3+2+90，1=345，故不正确；AD平分CAB，1=2=45，1=3，3=45，又C=B=45，3=B，BCAE，故正确；将三角形ADE绕点A旋转，使得点D落在线段AC上，则4=ADE-ACB=60-45=15，故正

22、确；3=22，1=3，1=22，1+2=90，32=90，2=30，3=60，又E=30，设DE与AB交于点F，则AFE=90，B=45，4=45，C=4，故正确，故答案为：【点拨】本题主要考查了同角的余角相等、角平分线定义、平行线的判定的运用，解题关键是熟练掌握同角的余角相等及平行线的判定1820【分析】先根据bc得出2的度数，再由平行线的判定定理即可得出结论解：如图：bc，2=90，1=70，ab，直线b绕着点A顺时针旋转的度数=90-70=20故答案为20【点拨】本题考查的是平行线的判定定理，熟知同位角相等，两直线平行是解答此题的关键1921【分析】根据题意结合BC与DE在A点同侧画出图

23、形利用平行线的性质得出即可解：如图1所示：当BCDE时，由题意可得：B=DFA=60，D=45， 则FAD=75， 故CAF=15，则BAF=105， 故边BC恰好与边DE平行时，旋转的时间为：（秒）， 故答案为：21【点拨】此题主要考查了平行线的判定与性质，根据题意画出图形是解题关键20同位角相等，两直线平行【分析】根据同位角相等，两直线平行，即可求解解：如图，根据题意得：，（同位角相等，两直线平行）故答案为：同位角相等，两直线平行【点拨】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键21 同位角相等，两直线平行或垂直于同一直线的两条直线平行 内错角相等，两直线平行【

24、分析】由平行线的判定方法即可得到小楠、小曼的作图依据解：B=D=90，AB/CD（同位角相等，两直线平行）；ABC=DCB=90，AB/CD（内错角相等，两直线平行），故答案为：同位角相等，两直线平行（或垂直于同一直线的两条直线平行）；内错角相等，两直线平行【点拨】本题考查了作图-复杂作图和平行线的判定方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作22（1）150或30；（2）15或45或135或165【分析】（1）分两种情况，根据CDAB，利用平行线的性质，即可得到BAD的度数；（2）分六种情况，根据三角板ACD有一条边与直角边OB

25、平行，分别画出图形即可得到BAD的实数解：（1）如图所示：当CDAB时，BADD30；如图所示，当ABCD时，CBAC60，BAD60+90150；故答案为：150或30；（2）如图所示，当CDOB时，BAD453015；如图所示，当ADBO时，BADB45；如图所示，当ACBO时，BAD45+90135；如图所示，当CDBO时，BAD18060+45165；如图所示，当ADBO时，BAD45+90135；如图所示，当ACBO时，BAD45综上所述，BAD的度数为15或45或135或165故答案为：15或45或135或165【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系

26、判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系23（1）DFA= 17；（2）DFC=165时EFBC.【分析】（1）先求出AEF的度数，继而在AEF中，求出AFE的度数，结合DFE=45，即可求得答案；（2）当DFC=165时EFBC，理由如下：由平角义可求得DFA=15，再由DFE=45，可求得AFE=30，继而根据C=30，可得AFE=C，根据同位角相等，两直线平行，即可求得EF/BC.解：（1）DEF=90，DEA=28，AEF=DEF-DEA=90-28=62，在AEF中，A=90，AFE=90-AEF=90-62=28，DFE=45，DFA=DFE-AFE=45-

27、28=17；（2）当DFC=165时EFBC，理由如下：DFC=165，DFA=180-DFC=15，DFE=45，AFE=DFE-DFA=45-15=30，又C=30，AFE=C，EF/BC.【点拨】本题考查了直角三角形两锐角互余、平行线的判定等知识，熟练掌握相关知识以及三角板各个角的度数是解题的关键.24（1）90；（2）过点P折叠纸片，使得点D落在PE上，落点记为，折痕交原AC边于点F；（3）见分析【分析】（1）根据折叠得到，利用邻补角的性质即可得结论； （2）根据（1）的操作指令即可写出第二步； （3）根据（1）（2）的操作过程即可证明结论解：（1）因为： 所以： 故答案为 （2）过点

28、P折叠纸片，使得点D落在PE上，落点记为，折痕交原AC边于点F由折叠过程可知=EPF=DPF，三点共线，DPF=180，=90，EPF=90（3）完成操作中的说理：EDC=90，EPF=90，EDC=EPF，FGBC【点拨】本题考查了作图-复杂作图、平行线的判定和性质、邻补角的性质，解决本题的关键是理解操作过程25见分析.【分析】由翻折可知AED=CED=90，再利用平行线的判定证明即可解：将三角形ABC向下翻折，使点A与点C重合，折痕为DE，AEDCED，AEDCED180，AEDCED90，AEDACB90，DEBC.【点拨】本题考查的是图形的翻折变换，涉及到平行线的判定，熟知折叠前后图形

29、的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键26（1）证明见分析;（2）猜想：ACB+ECD=180理由见分析;（3）当ACB=120或60时，ADCB理由理由见分析.试题分析：（1）由ACD=BCE=90，可得ACD-DCE=BCE-DCE，从而可得ACE=BCD；（2）猜想：ACB+ECD=180由ACB+ECD=ACD+BCD+ECD=ACD+BCE=90+90=180可得结论；（3）如下图，因为A=60，根据“同旁内角互补，两直线平行和内错角相等，两直线平行”可知，当ACB=120，或ACB=60时，ADBC.解：（1）ACD=ECB=90，ACDECD=ECBECD

30、，即ACE=BCD（2）猜想：ACB+ECD=180理由如下：ACB=ACD+DCBACB+ECD=ACD+DCB+ECD又DCB+ECD=ECB，ACB+ECD=ACD+ECB=90+90=180.（3）当ACB=120或60时，ADCB理由如下：如图1，根据“同旁内角互补，两直线平行”：当A+ACB=180时，ADBC，此时，ACB=180A=18060=120如图2，根据“内错角相等，两直线平行”：当ACB=A=60时，ADBC综上所述，当ACB=120或60时，ADBC.点睛：在解第（3）小问时，利用手中的直角三角尺旋转演示一次，认真观察旋转过程，既能轻松找到解题思路，又能把两种情况都

31、考虑到，从而完整的给出解答.2730.【分析】要使DEAB，则DOCBCO70，据此求解即可.解：要使DEAB，则DOCBCO70.未转动时DOC100，n1007030，即n30.【点拨】本题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等两直线平行是解答本题的关键.28（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析【分析】本题考查了射线、线段的作法，画平行线，掌握平行线画法是解题关键（1）根据射线及线段的定义作图即可；（2）过点作的垂线，垂足为D即可；（3）将C点向右移3个单位得到点E，作直线即可；（1）解：射线，线段即为所求；（2）解：垂线段即为所求；（3）解：直线即为所求29（1） ；两直线平行，内错角相等；平角定义；（2）见分析【分析】（1）根据平行线的判定及性质即可求解（2）作，交于点 ，利用平行线的性质即可求解结论解：（1）过点作，（两直线平行，内错角相等），（平角定义），故答案为： ；两直线平行，内错角相等；平角定义（2）证明：作，交于点 ，如图所示：，即【点拨】本题考查了平行线的性质，熟练掌握其性质是解题的关键