专题51 数列的性质-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）.docx

1、专题51 数列的性质【方法点拨】1.数列是定义在正整数集或其有限子集上的函数，数列的函数性主要涉及数列的单调性（判断数列的增减性和确定数列中最大（小）项，求数列最值等）等；2.数列中的恒成立问题较函数中恒成立问题更难，但方法是想通的，一般都要分离参数，一般都要转化为研究单调性，但由于数列定义域是离散型变量,不连续，这给研究数列的单调性带来了难度,其一般解决方法是作差或作商.【典型题示例】例1 若不等式a7对一切正整数n都成立，则正整数a的最大值为_【答案】8【分析】要求正整数a的最大值，应先求a的取值范围，关键是求出代数式的最小值，可将其视为关于n的函数，通过单调性求解【解析】令f(n)(nN

2、*)，对任意的nN*，f(n1)f(n)0，所以f(n)在N*上是增函数又f(1)，对一切正整数n，f(n)a7都成立的充要条件是a7，所以aa7对一切正整数n都成立，则正整数a的最大值为_5.数列若对任意恒成立，则正整数m的最小值为 .6已知数列an的前n项和Sn3n(n)6，若数列an单调递减，则的取值范围是A(，2)B(，3)C(，4)D(，5)7已知数列的前项和满足.若对任意正整数都有恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD8已知数列的通项公式为，则数列中的最小项为（ ）.ABCD9已知数列满足：，若对任意的正整数，都有，则实数的取值范围（ ）ABCD10已知数列满足，若，使得成立，则

3、实数的取值范围是（ ） ABCD11.数列中，那么A1B2C3D-312.在数列中，若，并有对且恒成立；则_13.设数列满足，且对任意正整数，总有成立，则数列的前2019项的乘积为（ ）AB1C2D.3【答案与提示】1.【答案】8、9 【提示】，类比一次分式函数性质.2.【答案】10 【提示】，令解得.3.【答案】 4、5【提示】，利用对勾函数性质.4.【答案】8【分析】要求正整数a的最大值，应先求a的取值范围，关键是求出代数式的最小值，可将其视为关于n的函数，通过单调性求解【解析】令f(n)(nN*)，对任意的nN*，f(n1)f(n)0，所以f(n)在N*上是增函数又f(1)，对一切正整数

4、n，f(n)a7都成立的充要条件是a7，所以a，故所求正整数a的最大值是8.5.【答案】10【提示】得，仿上题求最大值.6.【答案】A【解析】，因为单调递减，所以，所以，且，所以只需，且，所以，故选A7.【答案】C【解析】当时，即，得；当时，由，得，两式相减得，得，所以，数列为等比数列，且首项为，公比为，.，由，得，所以，数列单调递增，其最小项为，所以，因此，实数的取值范围是，故选C8.【答案】C【解析】因为,所以,所以,当且仅当取“=”.又因为.当时,.当时,.所以数列中的最小项为.故选：C.9.【答案】B【解析】，又在区间上单调递增，实数的取值范围，故选：10.【答案】D【解析】,记,则是以,的等比数列,等价于，即令,则时,;时,.,.,实数的取值范围为,故选：D11.【答案】B【解析】由题意，得，由此发现数列是以6为周期的数列，又，所以，故正确答案为B.12.【答案】【解析】由条件及，得， 即（且），则，从而知是数列的一个周期；由，及，得；故故答案为：.另解：由，又即对且，可得从而知是数列的一个周期；故.故答案为：13.【答案】D【解析】由题意可得：，故：，据此可得数列是周期为的周期数列，注意到，且：，故数列的前2019项的乘积为：.故选D.