专题6.23 相似三角形的性质（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（苏科版）.docx

1、专题6.23 相似三角形的性质（培优篇）（专项练习）一、单选题1如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标(0，3)，点B坐标(4，0)，将点O沿直线对折，点O恰好落在OAB的平分线上的O处，则的值为（）ABCD2如图，是的高，是的中点，交于于若则的长为()ABCD3如图，在中，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边的距离的最小值是AB1CD4如图，四边形中，若，则的值为（）AB2CD5如图，点E从矩形ABCD的顶点B出发，沿射线BC的方向以每秒1个单位的速度运动，过E作EFAE交直线DC于F点，如图2 是点E运动时CF的长度y随时间t变化的图象，其中M点是一段曲线（抛

2、物线的一部分）的最高点，过M点作MNy轴交图象于N点，则N点坐标是（）A（5，2）B（，2）C（，2）D（，2）6如图，在直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若COBCAO，则点C的坐标为（）A（1，）B（，）C（，2）D（，2）7如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，且有一个内角为72，现将其绕点D顺时针旋转得到菱形ABCD，线段AB与线段BC交于点P，连接BB当五边形ABBCD为正五边形时，即长为（）A1BCD8如图，将一个面积为24的正方形纸片沿图中的3条裁切线剪开后，恰好能拼成一个邻边不相等的矩形若裁切线AB的长为6，则裁切线CD的长是（）AB

3、CD9如图，将矩形ABCD折叠，使点D落在AB上点D处，折痕为AE；再次折叠，使点C落在ED上点C处，连接FC并延长交AE于点G若AB=8，AD=5，则FG长为（）ABCD410由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示，延长AH交CD于点P，若，则小正方形边长GF的长是（）ABC3D二、填空题11如图，在ABC中，D为BC中点，将ABD沿AD折叠得到AED，连接EC，已知BC6，AD2，且SCDE，则点A到DE的距离为 _ 12如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF，已知AGGF，AC2，则AB的长为_

4、13在平面直角坐标系中，如图，点，点C在y轴上且，连接现给出以下结论： 连接，则；的周长是一个固定值；的最小值为1；当取最小值时，其中正确的是_（写出所有正确结论的序号）14如图，在平面直角坐标系中，点A(0，1)，点B为直线y=x上的一个动点，ABC90，BC=2AB，则OC的最小值为_15已知是直角三角形，连接以为底作直角三角形且是边上的一点，连接和且则长为_16将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（1，2），点B的纵坐标是，则点C的坐标是_17如图，矩形中，矩形绕着点A旋转，点B、C、D的对应点分别是点、，如果点恰好落在对角线上，连接，与交于点E，那么_18如图，正方形ABCD的

5、边长为2，E是AB的中点，连接ED，延长EA至F，使EFED以线段AF为边作正方形AFGH，点H落在AD边上，连接FH并延长，交ED于点M，则的值为_三、解答题19已知矩形ABCD，点E在AD边上，连接BE、BD，BED2BDC，BE25，BC32，则CD的长度为_20在正方形ABCD中，P为AB边上一点，将BCP沿CP折叠，得到FCP（1）如图1，延长PF交AD于E，求证：EF=ED；（2）如图2，DF，CP的延长线交于点G，求的值 21如图，在RtABC中，C=90，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿CB向点B方向运动，如果点P

6、的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动设运动时间为t秒求：（1）当t=3秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？（2）若CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式（3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？ 22如图1已知四边形是矩形点在的延长线上与相交于点，与相交于点求证：；若，求的长； 如图2，连接，求证：23如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连结BP，将BP绕点B顺时针旋转到BQ，连结QP交BC于点E，QP延长线与边AD交于点F（1）连结CQ，求证：；（2）若，求的值；（3）

7、求证：24【操作发现】如图，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM、AN、MNMAN45，将AMD绕点A顺时针旋转90，点D与点B重合，得到ABE易证：ANMANE，从而得DM+BNMN【实践探究】（1）在图条件下，若CN3，CM4，则正方形ABCD的边长是 （2）如图，点M、N分别在边CD、AB上，且BNDM点E、F分别在BM、DN上，EAF45，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由【拓展】（3）如图，在矩形ABCD中，AB3，AD4，点M、N分别在边DC、BC上，连结AM，AN，已知MAN45，BN1，求DM的长参考答案1D【分析】假设直

8、线与OAB的平分线交x轴点C，交y轴于D,易求得OA=3,OB=4,AB=5,OD=b,且直线与AB平行，利用角平分线性质可得,再由平行线分线段成比例得即，解得,结合图象，利用排除法即可得到答案.解：假设直线与OAB的平分线交x轴点C，交y轴于D，如图：A(0，3)，B(4，0)，OA=3，OB=4，AB=5，且直线AB斜率等于，由直线知OD=b，且直线与AB平行，AC平分OAB,直线与AB平行,即，解得,结合图象直线的位置，b的范围为，利用排除法，故选D.【点拨】本题考查了角平分线的性质和平行线分线段成比例，利用假设法和排除法解答是选择题的一种技巧2C【分析】延长BC交FE的延长线于点H，推

9、出，通过证明，得出，继而得出，再证明，得出，再证明，从而得出答案解：延长BC交FE的延长线于点H，是CD的中点故选：C【点拨】本题考查的知识点是相似三角形的判定及性质，作出辅助线后多次利用相似三角形的性质得出CH、AE的值是解此题的关键3D【分析】先依据勾股定理求得的长，然后依据翻折的性质可知，故此点在以为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当时，点到的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可解：如图所示：当由翻折的性质可知：，由垂线段最短可知此时有最小值又为定值，有最小值又，CF2，AC6，BC8，AF4，AB10，即，故选：【点拨】本题考查翻折变换、最短问题

10、、相似三角形的判定和性质、勾股定理垂线段最短等知识，解题的关键是正确找到点P位置，属于中考常考题型4C【分析】延长AD、BC交于点E，过点D作DFBE，垂足为F，如图所示，易发现，通过对应边成比例，可求解出DE、CE，再利用即可求出DF、BF.解：延长AD、BC交于点E，过点D作DFBE，垂足为F，如图所示，,又，设DE=x,CE=y, ,整理可得关于x,y的二元一次方程组，解得， ,故选C.【点拨】利用三角形相似，找到边与边的比例关系，可以求出未知边长，再利用勾股定理即可求解.5D【分析】当点运动到点位置时，则，当点运动到中点位置时，即，证明，当在的延长线上时，且，根据相似三角形的性质求得的

11、长，即可求得点的横坐标解：根据函数图象可知，当点运动到点位置时，则，当点运动到中点位置时，即，四边形是矩形的纵坐标相等，则当在的延长线上时，即解得，（舍）即点的坐标为(，2)故选：D【点拨】本题考查了动点问题函数图象，相似三角形的性质与判定，从函数图像获取信息是解题的关键6B解：根据相似三角形对应边成比例，由COBCAO求出CB、AC的关系AC=4CB，从而得到，过点C作CDy轴于点D，然后求出AOB和CDB相似，根据相似三角形对应边成比例求出CD=、BD=，再求出OD=，最后写出点C的坐标为（，）故选：B【点拨】本题考查了相似三角形的性质，坐标与图形性质，主要利用了相似三角形对应边成比例，求

12、出是解题的关键，也是本题的难点7B【分析】先计算得出CDC=ADA=ADC=36，得到点C在对角线BD上，再证明BDABAC，求得BP= CA= CB=，进一步计算即可求解解：连接BC，AC，如图：五边形ABBCD为正五边形，CDA=108，菱形ABCD绕点D顺时针旋转得到菱形ABCD，且ADC=72，ADC=ADC=72，CDC=ADA=108-72=36，CDC=ADA=ADC=36，点C在对角线BD上，ABC=36，由旋转的性质知AD=AB= DC=2，DCA=DAC=72，CAB=36，CA= CB，设CA= CB=x，则BD= x+2，BDA=BAC=36，BDABAC， DA：AC

13、=BD：BA，即2：x=( x+2)：2，整理得：x2+2x-4=0，解得x=，(负值已舍)CBP=36，BCP=72，CPB=72，BP= CA= CB=，AP=3-，故选：B【点拨】本题考查了正多边的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题8A【分析】画出裁切后的矩形，再利用相似求解即可解：如图所示，四边形ABQN是裁切后的矩形：，正方形HFG的面积是24解得故选：A【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解题的关键是正确的画出裁切后拼成的矩形9C【分析】过点G作GIAB，GHED，垂足分别为I、H，由折叠的性质可得

14、CE=5-4=1，在RtEFC中，设FC=x，则EF=3-x，由勾股定理得：12+（3-x）2=x2，解得：x=，再证明BCDCGH，设CH=3m，则GH=4m，CG=5m，则HD=GI=AI=4-3m，ID=5-（4-3m）=1+3m=GH=4m，可得到CG=5m=5，从而解决问题解：由折叠的性质得，ADE=D=90，AD=AD，又DAB=90，四边形ADED是矩形，AD=AD，四边形ADED是正方形，过点G作GIAB，GHED，垂足分别为I、H，ADED是正方形，AD=DE=ED=AD=5，BC=BC=5，C=BCF=90，FC=FC，DB=EC=8-5=3，在RtCBD中，CD=4，CE

15、=5-4=1，在RtEFC中，设FC=x，则EF=3-x，由勾股定理得：12+（3-x）2=x2，解得：x=，BCD+GCH=90，GCH+CGH=90，BCD=CGH，又GHC=BDC=90，BCDCGH，CH：GH：CG=BD：CD：BC=3：4：5，设CH=3m，则GH=4m，CG=5m，HD=GI=AI=4-3m，ID=5-（4-3m）=1+3m=GH=4m，解得：m=1，CG=5m=5，FG=；故选：C【点拨】本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造三角形相似是解题的关键10B【分析】过点E作EMAB于点M，证明A

16、EDHMD，可得， 由MHDP，可得，从而可得结论.解：ADEDCHCBGBAF， AE=DH，DE=CH， 四边形GFEH是正方形， EH=EF=HG=GF，HFA=45=EHF， APHF， FAH=AFH=45=AHE， AH=FH，AE=HE， AF=2AE， 设AE=a，则AF=DE=2a， 如图过点H作HMAD于M， DMH=AED=90，ADE=MDH， AEDHMD， ， ， ， ADCD， MHDP， ， AP=10， AH=6， EH=GF， 故选：B【点拨】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键11【分析】过点E

17、作EFBC于F，AGDE于G，AHBC于H，由将ABD沿AD折叠得到AED，可得，可证，由D为BC中点，BC=6，可求，由SCDE，可求，在RtEDF中，由勾股定理，可求FC=，在RtECF中，由勾股定理，可证，可得 ，可求即可解：过点E作EFBC于F，AGDE于G，AHBC于H，将ABD沿AD折叠得到AED，AD为BDE的平分线，EFBC于F，AGDE于G，D为BC中点，BC=6，SCDE，在RtEDF中，由勾股定理，FC=DC-DF=3-，在RtECF中，由勾股定理，DE=DC，由外角性质，即，AG=，故答案为：【点拨】本题考查折叠性质，角平分线性质，三角形面积，勾股定理，相似三角形判定与

18、性质，掌握折叠性质，角平分线性质，三角形面积，勾股定理，相似三角形判定与性质，利用辅助线画出准去图形是解题关键12【分析】如图，连接BD由ADGGCF，设CFBFa，CGDGb，可得，推出，可得ba，在RtGCF中，利用勾股定理求出b，即可解决问题；解：如图，连接BD四边形ABCD是矩形，ADCDCB90，ACBD2，CGDG，CFFB，GFBD，AGFG，AGF90，DAG+AGD90，AGD+CGF90，DAGCGF，ADGGCF，设CFBFa，CGDGb，b22a2，a0b0，ba，在RtGCF中，3a23，a1，AB2b2故答案为2【点拨】本题考查三角形中位线定理、矩形的性质、相似三角

19、形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型13【分析】利用勾股定理计算出AC的长，进行判断；表示出OAB的周长即可判断；利用图形变形，将BC放在三角形中根据三角形的三边关系进行判断；利用三垂直模型及三角形相似求出OA的长即可解：A（a，0），OAOC，ACa，故正确；COABOA+AB+OBa+3+2，32a3+2，COAB不是一个固定值，故错误；如图，将OBC绕点O顺时针旋转90，得到ODA，则OBOD，BCAD，BOD90，BD4，在ABD中，ADBDAB，当B，A，D三点共线时，AD最短，即BC最短，此时BCDAAB431，故正确；如图，当B，

20、A，D三点共线时，作BE，DF垂直于x轴，垂足为E，F，则OEBDFO90，1+290，又BOD2+390，1=3，又OBOD，BOEODF（AAS），设B（x，y），则DFOEx，OFBEy，且x2+y2（2）28，由BEx轴，DFx轴得BEDF，ADFABE，即，y3x，把y3x代入x2+y2（2）28得，x2+9x28，解得x（负值舍去），y，由ADFABE得，AE3AF，即ax3（ya），ax3y3a，a，即OA故正确故答案为：【点拨】本题考查勾股定理，相似以及两点间的距离公式，熟练掌握勾股定理是解题关键14【分析】分析求OC最小即求AC最小，求AC最小即求AB最小，根据点到直线的距离

21、公式求AB最小，继而代换求出OC最小解：连接OC，在AOC中，OCAC-OA故求OC最短，即求AC最短由题意知：ABC=，BC=2AB且点A(0，1)，设AB=m，BC=2m，AC= m根据点到直线的距离可知，m最小= 此时AB直线y=x，点C在直线上BC=作BDOA与点D，在ABD和BOD中DOBOBA又AB=m=OB=OC=故答案为【点拨】本题主要考查了点到直线的距离公式及三角形相似的性质，正确掌握点到直线的距离公式及三角形相似的性质是解题的关键15【分析】将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，HE，利用证明，得，则，即可解决问题解：将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，HE，是等腰直角三

22、角形，又是等腰直角三角形， ，故答案为：【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形16(3，)【分析】过点A作ADx轴，垂足为D，过点B作BFx轴，垂足为F，过点C作CGx轴，垂足为G，过点B作BECG，交GC的延长线于点E，通过证明ADOCEB，ADOOGC即可解：过点A作ADx轴，垂足为D，过点B作BFx轴，垂足为F，过点C作CGx轴，垂足为G，过点B作BECG，交GC的延长线于点E，四边形BFGE是矩形，ADO=CBE=90，BF=EG，四边形OABC是矩形，OA=CB，BCO=90，AOD=90-

23、COG=GCO=90-BCE=CBE，ADOCEB，ADOOGC，AD=CE，点A（1，2），点B的纵坐标是，AD=CE=2，BF=EG=，CG=EG-CE=-2=，解得OG=3，故点C的坐标为(3，)，故答案为：(3，)【点拨】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，坐标与线段的关系，熟练掌握矩形的性质，三角形的全等与系数是解题的关键17【分析】过A点作AFBD，交BD于点F，利用勾股定理求出BD=5，在根据是矩形ABD的面积求出AF，进而可求出，进而求出，再证明，即有，DE可求解：过A点作AFBD，交BD于点F，如图， 矩形中AB=3，BC=AD=4，BAC=

24、90，根据旋转可知：，即，根据旋转可知：，根据两个等腰三角形中顶角相等，则其底角也相等，即，故答案为：【点拨】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，求出是解答本题的关键18【分析】过点M作MNAD于点N，根据勾股定理可得DEEF，根据四边形AFGH是正方形，可得AFAHEFAE，根据，可得DMNDEA，所以，即，即可设MNNHx，则DN2x，DM，再根据DN+NHADAH，列式，求出x的值，进而可以解决问题解：如图，过点M作MNAD于点N，正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点，ADAB2，AE1，EAD90，四边形AFGH是正方形，AFAHE

25、FAE，AHFNHM45，MNNH，DMNDEA，设MNNHx，则DN2x，DM，DN+NHADAH，故答案为：【点拨】此题考察了正方形的性质和三角形相似的知识，解决本题的关键是找到相似三角形得出线段之间的关系1924【分析】过E作EFBD于F，根据矩形的性质得到C=ADC=90，于是得到ADB+BDC=90，根据已知条件推出180-AEB=2（90-ADB），得到AEB=2EDB，根据等腰三角形的性质得到BF=BD，由平行线的性质得到ADB=DBC，等量代换得到EBF=DBC，推出EBFDBC，根据相似三角形的性质，求得BD=40，由勾股定理即可得到结论解：过作于，四边形是矩形，故答案为：2

26、4【点拨】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，外角的性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键20（1）证明见解析（2）【分析】（1）连接CE，通过全等三角形的判定，得到RtCFERtCDE，进而得出结论；（2）连接BG、BF、BD，作CHDF，垂足为H依据CFGCBG，可得GF=GB，进而得出GBF是等腰直角三角形，故BFBG再判定BGAFBD，即可得到解：（1）如图1，连接CE，四边形ABCD是正方形，BC=CD，B=D=90PBC和FPC关于PC对称，BC=CF，B=PFC=90EFC=90EFC=D=90，CF=CDCE=CE，RtEFCRtDFC（HL）

27、EF=ED（2）如图2，连接BG、BF、BD，作CHDF，垂足为H四边形ABCD是正方形，BC=CDCHDF，HCF=，PBC和FPC关于PC对称，BC=CF，FCG=BCGEBCG又CG=CG，CFGCBGGF=GBHCF=，FCG=BCG=，HCK=45PFH=135GFB=45GBF=45GBF是等腰直角三角形ABD=45，GBA=FBD，BGAFBD【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造等腰直角三角形，全等三角形以及相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例得出结论21（1）10c

28、m；（2）；（3）t3或t【分析】（1）在RtCPQ中，当t=3秒，可知CP、CQ的长，运用勾股定理可将PQ的长求出；（2）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式=CPCQ求解；（3）应分两种情况：当RtCPQRtCAB时，根据，可将时间t求出；当RtCPQRtCBA时，根据，可求出时间t解：由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=204t，（1）当t=3秒时，CP=204t=8cm，CQ=2t=6cm，由勾股定理得PQ=；（2）由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=204t，因此RtCPQ的面积为S=；（3）分两种情况

29、：当RtCPQRtCAB时，即，解得：t=3秒；当RtCPQRtCBA时，即，解得：t=秒因此t=3秒或t=秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与ABC相似【点拨】本题主要考查了相似三角形性质以及勾股定理的运用，在解第三问时应分两种情况进行求解防止漏解或错解，注意方程思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键22（1）见解析；（2）；（3）见解析【分析】（1）由矩形的形及已知证得EAFDAB，则有E=ADB，进而证得EGB=90即可证得结论；（2）设AE=x，利用矩形性质知AFBC，则有，进而得到x的方程，解之即可；（3）在EF上截取EH=DG，进而证明EHADGA，得到EAH=DAG，AH=AG，

30、则证得HAG为等腰直角三角形，即可得证结论解：（1）四边形ABCD是矩形，BAD=EAD=90，AO=BC，ADBC，在EAF和DAB，EAFDAB(SAS)，E=BDA，BDA+ABD=90，E+ABD=90，EGB=90，BGEC；（2）设AE=x，则EB=1+x，BC=AD=AE=x，AFBC，E=E，EAFEBC，又AF=AB=1，即，解得：，（舍去）即AE=；（3）在EG上截取EH=DG，连接AH，在EAH和DAG，EAHDAG(SAS)，EAH=DAG，AH=AG，EAH+DAH=90，DAG+DAH=90，HAG=90，GAH是等腰直角三角形，即，GH=AG，GH=EG-EH=E

31、G-DG，【点拨】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，涉及知识面广，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用截长补短等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算23(1)见解析；(2) ；(3)见解析【分析】(1)由旋转知PBQ为等腰直角三角形，得到PB=QB，PBQ=90，进而证明APBCQB即可；(2)设AP=x，则AC=4x，PC=3x，由(1)知CQ=AP=x，又ABC为等腰直角三角形，所以BC=，PQ=，再证明BQEBCQ，由此求出BE，进而求出CE:BC的值；(3)在CE上截取CG，

32、并使CG=FA，证明PFAQGC，进而得到PF=QG，然后再证明QGE=QEG即可得到QG=EQ，进而求解解：四边形ABCD为正方形，AB=BC，ABC=90，BP绕点B顺时针旋转到BQ，BP=BQ，PBQ=90，ABC-PBC=PBQ-PBC,ABP=CBQ，在APB和CQB中，APBCQB(SAS)，AP=CQ(2) 设AP=x，则AC=4x，PC=3x，由(1)知CQ=AP=x，ABC为等腰直角三角形，BC=，在RtPCQ中，由勾股定理有：，且PBQ为等腰直角三角形，又BCQ=BAP=45，BQE=45，BCQ=BQE=45，且CBQ=CBQ，BQEBCQ，代入数据：，BE=，CE=BC

33、-BE=，故答案为：(3) 在CE上截取CG，并使CG=FA，如图所示：FAP=GCQ=45，且由(1)知AP=CQ，且截取CG=FA，故有PFAQGC(SAS)，PF=QG，PFA=CGQ，又DFP=180-PFA，QGE=180-CGQ，DFP=QGE，DABC，DFP=CEQ，QGE=CEQ，QGE为等腰三角形，GQ=QE，故PF=QE【点拨】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定和性质、相似三角形判定和性质的综合，具有一定的综合性，本题第(3)问关键是能想到在CE上截取CG，并使CG=FA这条辅助线24（1）6；（2），见解析；（3）2【分析】(1)根据旋转的性质证明AB

34、EADM得到BE=DM，又由ABE=D=90，AE=AM，BAE=DAM，证出EAM=90，得出MAN=EAN，再证明AMNEAN（SAS），得出MN=EN最后证出MN=BN+DM在RtCMN中，由勾股定理计算即可得到正方形的边长；(2 )先根据旋转的性质证明AEGAEF（SAS），再证明GBE=90，再根据勾股定理即可得到；(3)在AB上截取AP，在BC上截取BQ，使APAB=BQ3，连结PQ交AM于点R，得到ABQP为正方形，再根据操作发现以及勾股定理即可得到答案；（1）解：四边形ABCD是正方形，AB=CD=AD，BAD=C=D=90，由旋转得：ABEADM，BE=DM，ABE=D=90

35、，AE=AM，BAE=DAM，BAE+BAM=DAM+BAM=BAD=90，即EAM=90，MAN=45，EAN=90-45=45，MAN=EAN，在AMN和EAN中， AMNEAN（SAS），MN=ENEN=BE+BN=DM+BN，MN=BN+DM在RtCMN中， ，则BN+DM=5，设正方形ABCD的边长为x，则BN=BC-CN=x-3，DM=CD-CM=x-4，x-3+x-4=5，解得：x=6，即正方形ABCD的边长是6；故答案为：6；（2）数量关系为：，证明如下：将AFD绕点A顺时针旋转90，点D与点B重合，得到ABG，连结EG由旋转的性质得到：AF=AG， 又EAF45，,且AE=A

36、E，AEGAEF（SAS），从而得EGEF（全等三角形对应边相等）， 又BNDM，BNDM，四边形DMBN是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），DNBM， （两直线平行，同位角相等），,（等量替换），即：GBE=90，则，；（3）在AD上截取AP，在BC上截取BQ，使APAB=BQ3，连结PQ交AM于点R，易证ABQP为正方形， 由操作与发现知：PR+BNRN设PRx，则RQ3x，RN=1+x，QN=3-1=2在RtQRN中，由勾股定理得：，即解得：x，PR=PQDC，APRADM， （相似三角形对应边成比例）DM2；【点拨】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和由勾股定理得出方程是解题的关键