专题突破卷04 函数不等式恒成立问题（解析版）.docx

1、专题突破卷04 函数不等式恒成立问题 1.判别式法1“关于的不等式对恒成立”的一个充分不必要条件是（）ABCD【答案】C【分析】利用充分条件、必要条件的判断即可求得结果.【详解】由“关于的不等式对恒成立”，可得，解得，则“”的一个充分不必要条件是.故选：C.2已知不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是（）ABC或D【答案】D【分析】分和，结合二次函数的图象分析得解.【详解】 若,则恒成立，满足题意； ,则，, .综上所述. 故选：D3若函数的定义域为，则实数a的取值范围为_.【答案】【分析】根据题意转化为在恒成立，结合一元二次方程的性质，列出不等式，即可求解.【详解】由函数的定义域为，即在恒成

2、立，结合一元二次方程的性质，则满足，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：4（多选）命题“，恒成立”是假命题的一个充分不必要条件是（）ABCD或【答案】ACD【分析】先讨论和时求出“，恒成立”对应的的范围，再利用充分不必要条件的性质即可得解.【详解】当，恒成立时，当时，恒成立，满足题意，当时，解得，综上，“，恒成立”对应的的范围为，所以命题“，恒成立”是假命题时，对应的的范围为，故它的一个充分不必要条件是的真子集，故ACD正确.故选：ACD.5设m为实数，(1)当时，解不等式；(2)若不等式的解集为，求实数的取值范围.【答案】(1)或；(2)【分析】（1）直接解一元二次不等式即可；（2）由题意

3、得恒成立，则，解不等式组可求出实数的取值范围.【详解】（1）当时，解得或故不等式的解集为或，（2）由题意可得，恒成立，则，解得故m的取值范围为6若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）ABCD【答案】A【分析】求出二次函数的最小值，从而可得关于的不等式，求出其解后可得其取值范围.【详解】，当且仅当时等号成立，故，故，故选：A.2.分离参数法7已知函数的定义域为集合A，的值域为集合，若的值域也为集合.(1)求实数的值；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出集合A、集合，分析函数的对称轴，对和1的大小进行分类讨论，结合的单调性及值域即可求出

4、实数的值；（2）将（1）中解析式代入不等式中进行全分离，然后进行换元，根据换元后的函数解析式及定义域，分析函数性质求出最值，即可求得的取值范围.【详解】（1）解：因为，令，则，解得，则集合，因为，所以的值域为，即集合，所以的值域为，当时，在上单调递增，所以，解得，与矛盾，故舍去；当时，解得，故，此时，满足时其函数值域为；当时，在上单调递减，所以，解得，舍去.综上所述：；（2）由（1）知，所以原不等式可化为：在上恒成立，即在上恒成立，令，因为，所以，则不等式可化为：恒成立，所以只需即可，记，所以对称轴为，所以在上，单调递减，所以，故，所以的取值范围为.8已知定义域为R的函数是奇函数.(1)求b的

5、值；(2)若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】根据奇函数的定义求出b；先判断 得单调性，再根据单调性和奇偶性求解不等式.【详解】（1）因为定义域为R的函数是奇函数，所以，解得，经检验，当时，函数为奇函数，所以；（2） ，显然 是减函数，由可得，即，.当时，函数有最小值为， ；综上， .9设函数是定义域为R的偶函数.(1)求p的值；(2)若在上最小值为，求k的值；(3)若不等式对任意实数x都成立，求实数m的范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据偶函数的定义，即可求得答案.（2）由（1）可得解析式，代入所求，即可得解析式，令，可得，根据x的范围，可得t

6、的范围，利用二次函数的性质，分别讨论和两种情况，结合题意，即可求得答案.（3）根据，原不等式可化为，令，可得t的范围，根据对勾函数的性质，即可求得的最小值，即可得答案.【详解】（1）是偶函数，恒成立，即恒成立，即，.（2）由（1）知，.令，为增函数，则，为对称轴为直线，开口向上的抛物线，当时，在递增，所以，（不合题意），当时，解得或（舍去），的最小值为-4时，的值为.（3）不等式，即，当且仅当x=1时等号成立.，令，则，又对勾函数在上递增，.故实数m的取值范围为.10已知二次函数的最小值为1，且.(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)在区间上不单调，求实数a的取值范围；(3)在区间上，的图

7、象恒在的图象上方，试确定实数m的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据题意，设，根据，求得，即可得到函数的解析式；（2）由函数在区间上不单调，利用二次函数的性质，得到，即可求解；（3）把在区间上，的图象恒在的图象上方，转化为不等式在区间上恒成立，令，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）由题意，函数是二次函数，且，可得函数对称轴为，又由最小值为1，可设，又，即，解得，所以函数的解析式为.（2）由（1）函数的对称轴为，要使在区间上不单调，则满足，解得，即实数的取值范围是.（3）由在区间上，的图象恒在的图象上方，可得在区间上恒成立，化简得在区间上恒成立，设函数，则在区间上单调

8、递减在区间上的最小值为，.故实数m的取值范围为：.11已知函数，则_，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】 【分析】判断函数的单调性，利用其解析式推出，则可将原不等式转化为对恒成立，即对恒成立，结合一次函数的性质即可求得答案.【详解】由题意知单调递增，且在上恒成立，故在R上单调递增，又，故不等式对恒成立，即对恒成立，所以，即对恒成立，又函数在R上单调递减，当时，故，即实数k的取值范围是，故答案为：1；.12（ 2023黑龙江大庆统考三模）已知函数，则_；若，不等式恒成立，则实数a的取值范围是_【答案】 3 【分析】先整理得，再求得，从而即可求得的值；进而将转化为，再得到在R上为增函

9、数，从而得到对恒成立，再分离参数，结合基本不等式即可求得实数的取值范围【详解】由，则，所以则，所以可转化为，因为在R上为增函数，所以在R上为增函数，所以对恒成立，即对恒成立，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，即实数的取值范围故答案为：3.最值法13已知函数，(1)求函数在上的值域；(2)若，使得，求实数的取值范围【答案】(1)(2)【分析】（1）利用导数可求得单调性，结合单调性可确定最值，由此可得值域；（2）将问题转化为，结合一次函数性质即可构造不等式求得结果.【详解】（1），当时，；在上单调递减，；在上的值域为.（2），使得，；当时，；由（1）知：当时，解得：，即实数的取值范围为.14

10、函数，若对于任意的有恒成立，则实数的最小值是_.【答案】【分析】利用三角恒等变换得到，由得到，从而求出最小值为，列出不等式，求出答案.【详解】，在上的最小值为，最小值为，令，解得则实数的最小值是.故答案为：15已知函数(1)若，证明为奇函数；(2)若在上恒成立，求的取值范围【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据三角恒等变换得，再判断函数奇偶性即可；（2）由题知，再令，进而得，再根据单调性求最值即可得答案.【详解】（1）解：所以，即，定义域为，所以，所以，为奇函数.（2）解：在上恒成立，令，因为，所以，所以，因为 在单调递增，所以 ，即 ，所以，解得，所以的取值范围是16已知，（且），

11、若对任意的，都存在，使得成立，则实数a的取值范围是_【答案】【分析】求出函数在上的最大值，再根据给定条件列出不等式求解作答.【详解】当时，则，因为对任意的，都存在，使得成立，因此函数在上的最大值小于函数在上的最大值，而当时，不符合题意，于是，函数在上单调递增，则，即，解得，所以实数a的取值范围是.故答案为：【点睛】结论点睛：一般地，已知函数，（1）若，总有成立，故；（2）若，有成立，故；（3）若，有成立，故.17已知为正的常数，若不等式对一切非负实数恒成立，则的最大值为_.【答案】【分析】令，将带有根式的不等式问题转化成整式不等式的问题，然后结合二次函数性质处理.【详解】原不等式即 ，令，则，

12、将代入式，则有，对一切恒成立，对恒成立，即，根据二次函数的性质，在时单调递增，故，所以，又为正的常数，则的最大值为.故答案为：4.数形结合法18用表示a，b两个数中的最大值，设函数，若恒成立，则m的最大值是_【答案】/【分析】根据题中定义，结合函数的单调性、数形结合思想进行求解即可.【详解】因为，所以，根据函数单调性的性质可知当时，函数单调递减，而当时，函数单调递减，故当时，函数有最小值，最小值为，该函数图象如下图所示：所以要想恒成立，只需，因此m的最大值是，故答案为：【点睛】关键点睛：根据题中定义把原函数解析式化简成分段函数的解析式形式，结合函数的单调性进行求解是解题的关键.19若不等式（，

13、且）在内恒成立，则实数a的取值范围为（）ABCD【答案】B【分析】分析出时，不成立，当时，画出，的图象，数形结合得到实数a的取值范围.【详解】若，此时，而，故无解；若，此时，而，令，画出两函数图象，如下：故要想在内恒成立，则要，解得：.故选：B.20已知，当时，函数的图象恒在轴下方，则的取值范围是（）ABCD【答案】A【分析】依题意对任意恒成立，转化为 恒成立，利用数形结合法求解.【详解】因为函数的图象恒在轴下方，所以对任意恒成立，又时，可得对任意恒成立，即恒成立，在同一坐标系中作出函数，的图象，如图所示：由图象知，只需，解得，又，所以，故选：A21设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，

14、都有，则的取值范围是（）ABCD【答案】D【分析】由题设条件画出函数的简图，由图象分析得出的取值范围.【详解】当时，则，即当时，同理当时，；当时，.以此类推，当时，都有.函数和函数在上的图象如下图所示：由图可知，解得，即对任意，都有，即的取值范围是.故选：D【点睛】关键点睛：解决本题的关键对的理解，并结合图象，非常直观的得出满足条件的m的取值范围.22已知函数.(1)求的最小值；(2)若对任意恒成立，求k的取值范围.【答案】(1)0(2)【分析】（1）由题意分别画出三个函数的图象，即可分析出的图象，通过图象可得最小值；（2）设，可知恒过点，作图并分类讨论，结合条件根据图象，求出k的取值范围.【

15、详解】（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数，的图象，如图1所示，由，解得或；由，解得或.由图象易得，结合图象可知，当时，取得最小值，即.（2）设，则恒过点，因为，所以记，由（1）知，的图象如图2所示，当时，即，所以，不等式恒成立.当时，易知直线AM的斜率，由图象可知，根据恒成立，可得，解得，所以，综上所述，k的取值范围是.5.变更主元法23已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围是_.【答案】【分析】根据函数奇偶性以及单调性，可得，然后构造新函数，最后根据一次函数的图像与性质可得结果.【详解】由，可知定义域为则，可知函数为奇函数又均为单调递增的函数，所以为单调递增的函数，由，则即，则，所以.

16、据题意可知：对任意的，恒成立即任意的，恒成立令所以所以故答案为：【点睛】本题考查利用函数的奇偶性及单调性求解不等式，掌握等价转换的方法，同时当含多个未知量的时候，一般给出谁的范围，谁就是主元，属中档题.24已知函数.(1)当时，恒成立，求实数的取值范围；(2)若对一切，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)【分析】（1）构造函数，讨论其对称轴和区间之间的位置关系，在不同情况下结合二次函数单调性求其最小值，结合题意，即可求得参数范围；（2）构造关于的一次函数，根据题意，即可求得结果.【详解】（1），对恒成立，即对恒成立，令，因为的对称轴为，开口向上，根据对称轴与区间的位置关系，分以下三

17、种情况讨论，当，即时，在上单调递增，无解；当时，即时，在上单调递减，解得，实数的取值范围为；当，即时，解得，实数的取值范围为综合可得，实数的取值范围是；（2）对一切恒成立，对一切恒成立，令，要使在区间上恒成立，则，即，解得或，实数的取值范围是25已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为_.【答案】【分析】先判断函数的单调性和奇偶性，根据单调性和奇偶性化简题目所给不等式，利用一次函数的性质，求得的取值范围.【详解】由于故函数为奇函数，而为上的增函数，故由，有，所以，即，将主变量看成（），表示一条直线在上纵坐标恒小于零，则有，解得.所以填.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性的运用，考查化

18、归与转化的数学思想方法，考查一元一次不等式组的解法，属于中档题.26已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为_【答案】【分析】根据函数奇偶性以及单调性，可得，然后构造新函数，根据函数的性质可得结果【详解】，定义域为，则，可知函数为奇函数，又均为增函数，所以为增函数，由，得，即，则，即，由题意可知，对任意的，恒成立，令，所以，解得，所以的取值范围为故答案为：6.分类讨论法27已知函数.(1)若函数的定义域为，求实数的取值范围；(2)若不等式对任意都成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据定义域，将问题转化为对任意的,恒成立，分类讨论结合利用二次函数的性质即可求解，（2

19、）由换元法将问题转化成对任意的恒成立，利用一元二次不等式的解即可分类讨论求解.【详解】（1）的定义域为，则对任意的,恒成立，当时，显然成立，故符合，当时，即，综上：；（2）令，由于，则，则问题转化成：恒成立，即，两边平方整理得，进一步得，当时，即，此时的解为，此时，不等式，故不符合，当时，即，此时不等式为，当，不等式不成立，故不符合，当时，即,此时的解为，故的解为或，故要对，恒成立，则满足，解得，综上，.28已知函数（1）当时，函数的定义域是_；（2）若对任意的恒成立，则实数_【答案】 2【分析】由对数函数的性质可求的定义域，结合对数函数和指数函数性质化简不等式，由此可求.【详解】当时，由有意

20、义可得，所以函数的定义域为，因为对任意的恒成立，又当时，所以当时，又当时，所以当时，当时，所以当时，可取任意实数，又函数在单调递增，所以，故.故答案为：；2.29已知函数，若，则的取值范围是（）ABCD 【答案】A【分析】分，两种情况进行讨论，时可知要使不等式恒成立，令，分，和讨论其单调性即可；时，再分，两种情况讨论，分离参数后化为函数最值可求，注意最后对范围取交集【详解】当时，要使，即恒成立，令，当时，故单调递增，所以，不满足，舍去；当时，令，解得，当时，故单调递增，所以，不满足，舍去；当时，故单调递减，所以，综上所述，当时，若，则恒成立，所以取任意实数；若时，可化为，令，当且仅当时取等号，

21、此时须满足，综上可得，的取值为，故选：A30已知函数(1)求证：的图象关于原点对称；(2)设，若的图象恒在函数图象的上方，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据奇函数的定义即得；（2）由题可得，然后分和讨论结合函数的单调性即得.【详解】（1）因为，定义域为R，所以是奇函数，所以的图象关于原点对称；（2）若的图象恒在函数图象的上方，则有，即，当时，即，所以；当时，即，所以，所以；故实数的取值范围为.31已知函数是定义在R上的奇函数，若不等式对任意的恒成立，则实数m的取值范围是_【答案】【分析】利用函数的奇偶性和单调性可得不等式在恒成立，换元法讨论函数在给定区间的单

22、调性和最值，结合分类讨论即可求的范围.【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，所以解得，此时，函数为奇函数，满足题意，所以，因为在R上单调递增，所以在R上单调递减，所以在R上单调递增，所以由可得，即，所以即在恒成立，令，即，当时，不等式可化为，令，单调递减，所以，所以；当时，不等式显然成立；当时，不等式可化为，令，单调递减，所以，所以；综上，,故答案为: .1已知函数，关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（）ABCD【答案】D【分析】易得为奇函数，将问题转化为恒成立，再由，转化为恒成立，然后利用的单调性求解.【详解】由，得因为的定义域为R，所以为奇函数，因此又，所以当时，单调递增，而为奇函数，

23、所以在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以，解得，故的取值范围为故选：D.2已知定义在上的函数满足，且当时，若对任意，都有，则t的取值范围是_.【答案】【分析】根据，且当时，类比周期函数的性质，求出函数的解析式，然后作出图象，利用数形结合法求解.【详解】因为当时，所以，因为，当时，即时，由，所以，同理可得，依此类推，作出函数的图象，如图所示：由图象知：当时，令，则，解得，对任意，都有，只需对任意，函数的图象不在直线的上方即可，由图知，即t的取值范围是.故答案为：3已知正数，满足，若恒成立，写出一个满足条件的值_.【答案】(答案不唯一，大于等于均可)【分析】由基本不等式求出即可得出答案

24、.【详解】正数，若恒成立，则，因为，所以，当且仅当时取等，所以.故答案为：(答案不唯一，大于等于均可).4已知(1)若的解集为或，求的值；(2)若对任意，恒成立，求的取值范围【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可知，是方程的根，从而可得，求解即可；（2）由题意可知，而，利用基本不等式求得最小值，从而可求解.【详解】（1），若的解集为或，则，是方程的根，即，解得：（2）若对任意，恒成立，即若对任意，由已知得，当且仅当时取等号，所以，即的取值范围为.5已知函数，(1)若，函数在区间上存在零点，求的取值范围；(2)若a1，且对任意，都有，使得成立，求a的取值范围【答案】(1)(2)【分析】（1）

25、函数在区间上单调递减，要使函数在区间上存在零点，则由零点存在定理可得，解不等式即可得出答案；（2）若对任意，都有，使得成立，则当时，讨论a1，1a2或，求出，解不等式即可得出答案.【详解】（1）函数在区间上单调递减，则由零点存在定理可得，即解得，所以的取值范围是（2）若对任意，都有，使得成立，则当时，因为a1，所以当时，单调递减，单调递增，所以，所以当1a2时，不符合条件，当时，符合条件，所以a的取值范围是6已知函数(1)分析的最值情况；(2)若函数在区间上，恒成立，求正实数a的取值范围【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）令，则，根据基本不等式求范围即可；（2）讨论在区间上单调性，求出

26、的最值，根据，求得正实数a的取值范围【详解】（1）函数，则，令，故 当时，即时，当且仅当时等号成立；当时，即时，当且仅当时等号成立，综上：当时，的最小值为，没有最大值；当时，的最大值为，没有最小值（2）易知，因为，解得（i）当时，即当时，在上单调递增，所以，当时，解得，此时；（ii）当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，可得，因为，则，所以，可得，此时综上所述，7设函数(为实数).(1)当时，求方程的实数解；(2)当时，存在使不等式成立，求的范围；【答案】(1)或(2)【分析】（1）代入得，解出值即可；（2）根据复合函数单调性得在上单调递增，转化为，则，求出右边最小值即可.

27、【详解】（1）当时，则或，或.（2）当时，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增.因为存在，使不等式成立，所以，所以，所以只需，又当时，则当时，所以，即的取值范围为.8定义在上的奇函数，已知当时，.(1)求在上的解析式；(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可得，求得，再由奇函数的定义，结合已知解析式，可得在上的解析式；（2）由题意可得在时恒成立，由参数分离和指数函数的单调性，结合恒成立，可得的取值范围【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，时，所以，解得，所以时，当时，所以，又，所以，即在上的解析式为；（2）因为时，所以可化为，整理得，令

28、，根据指数函数单调性可得，与都是减函数，所以也是减函数，所以，故数的取值范围是.9已知函数(1)若，解关于的方程.(2)若在上恒成立，求实数的取值范围【答案】(1)或(2)【分析】（1）根据代入求出的值，即可得到函数解析式，再解方程即可；（2）依题意可得在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，再利用换元法及二次函数的性质计算可得.【详解】（1）由题意，则，由可整理得，则可得或，或；（2）若在上恒成立，则在上恒成立，整理得在上恒成立，令，由，则，又令，所以是上的减函数，所以，故实数的取值范围为.10已知函数是定义在上的奇函数，且.(1)求实数a的值；(2)对于，成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用奇偶性定义可求出答案； （2）由可得，然后求出右边对应函数的最小值即可.【详解】（1）是定义在上的奇函数，于是，因此 ；（2）在上恒成立，在上成立，于是，在上恒成立，记，当且仅当，即等号成立.因此，即，所汉，实数m的取值范围为.11.若对于恒成立，则实数x的取值范围为_【答案】解析：设g(m)mx2mx1(x2x)m1，其图象是直线，当m1,2时，图象为一条线段，则即解得x，故x的取值范围为.12.设函数的定义域为R，满足，且当时，若对任意，都有，则m的取值范围是AB C D【答案】B【解析】，时，；时，；时，如图：当时，由解得，若对任，都有，则.则m的取值范围是.