专题训练(四)　巧用抛物线的对称性解题.docx

1、专题训练(四)巧用抛物线的对称性解题 类型一利用抛物线的对称性求对称轴或点的坐标1二次函数的图象与x轴的交点坐标分别为(2，0)和(4，0)，则该二次函数图象的对称轴是直线()Ax1 Bx1Cx2 Dx22已知抛物线yax2bxc的对称轴为直线x2，且经过点P(3，0)，则抛物线与x轴的另一个交点的坐标为()A(1，0) B(0，0)C(1，0) D(3，0)3抛物线yax2bxc经过点A(2，7)，B(6，7)，C(3，8)，求该抛物线上纵坐标为8的另一点的坐标类型二利用抛物线的对称性比较函数值的大小4已知(1，y1)，(2，y2)，(4，y3)是抛物线y2x28xm上的点，则()Ay1y2

2、y3 By3y2y1Cy3y1y2 Dy2y3y15若二次函数yx26xc的图象经过A(1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)三点，则y1，y2，y3从大到小排列是_类型三利用抛物线的对称性求代数式的值6已知P(a，m)，Q(b，m)是抛物线y2x24x3上的两个不同的点，则ab_7当xm或xn(mn)时，代数式x22x3的值相等，则当xmn时，代数式x22x3的值为_类型四利用抛物线的对称性确定自变量的取值范围8二次函数yax2bxc中x，y的部分对应值如下表：x32101234y60466406则当y0时，x的取值范围为_9二次函数y(x1)21，当2y5时，相应x的取值范围为_类型五

3、利用抛物线的对称性求面积10如图4ZT1，O的半径为2，C1是函数y2x2的图象，C2是函数y2x2的图象，则图中阴影部分的面积为_图4ZT111已知二次函数y2x2m(m为常数)(1)若点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_y2(填“”“”或“”)；(2)如图4ZT2，此二次函数的图象经过点(0，4)，正方形ABCD的顶点A，B在抛物线上，顶点C，D在x轴上，求图中阴影部分的面积图4ZT2类型六巧用抛物线的对称性求二次函数的表达式12已知二次函数y有最大值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为直线x3，则此二次函数的表达式为_13已知二次函数的图象与x轴的两个交点A

4、，B关于直线x1对称，且AB6，顶点在函数y2x的图象上，则这个二次函数的表达式为_14二次函数的图象经过点A(0，0)，B(12，0)，且顶点P到x轴的距离为3，求该二次函数的表达式类型七利用对称性解决线段和最短问题15已知二次函数yax2bx6的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点A，B的横坐标是一元二次方程x24x120的两个根(1)请直接写出点A、点B的坐标(2)请求出该二次函数的表达式及图象的对称轴和顶点坐标(3)如图4ZT3，在二次函数图象的对称轴上是否存在点P，使APC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由图4ZT316如图4ZT4

5、，已知抛物线yax2bxc的对称轴为直线x1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，它与x轴的另一个交点为B.(1)若直线ymxn经过B，C两点，求直线BC和抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴x1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴直线x1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标图4ZT4详解详析1解析 B二次函数的图象与x轴的交点坐标分别为(2，0)和(4，0)，图象的对称轴是直线x1.故选B.2解析 C由于抛物线的对称轴为直线x2，而点P(3，0)位于x轴上，设抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(m，0)，根据题意得2，

6、解得m1，则抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(1，0)，故选C.3解：由点A(2，7)，B(6，7)的纵坐标相同，可知点A，B关于抛物线的对称轴对称，且对称轴方程为x2.设该抛物线上纵坐标为8的另一点的坐标为(x2，8)，则有2，从而得x21，故该抛物线上纵坐标为8的另一点的坐标为(1，8)4解析 C抛物线y2x28xm的对称轴为直线x2，且开口向下，当x2时y取得最大值41，且4到2的距离大于1到2的距离，根据抛物线的对称性，知y3y1.y3y1y2.故选C.5答案 y1y3y26答案 2解析 已知点P(a，m)和Q(b，m)是抛物线y2x24x3上的两个不同的点，因为点P(a，m)和Q(b

7、，m)的纵坐标相等，所以它们关于抛物线的对称轴对称，而抛物线y2x24x3的对称轴为直线x1，故ab2.故答案为2.7答案 3解析 设yx22x3，当xm或xn(mn)时，代数式x22x3的值相等，mn2，当xmn，即x2时，x22x3222233.故答案为3.8答案 2x39答案 1x0或2x3解析 当y2时，(x1)212，解得x0或x2；当y5时，(x1)215，解得x3或x1，又抛物线的对称轴为直线x1，1x0或2x3.10答案 2解析 利用图形的对称性可知图中阴影部分的面积为半圆面积O的半径为2，图中阴影部分的面积为222.11解：(1)y2x2m，图象开口向上，对称轴为直线x0，则

8、当x0时，y随x的增大而增大，y1y2，故答案为：.(2)二次函数的图象经过点(0，4)，将(0，4)代入y2x2m可得m4，二次函数的表达式为y2x24.设AB与y轴交于点E，四边形ABCD为正方形，ABx轴由抛物线的对称性知AEEB，BC2OC.设点C的坐标为(p，0)(p0)，则点B的坐标为(p，2p)，将(p，2p)代入二次函数表达式，得2p2p24，解得p1(舍去)或p2，点B的坐标为(2，4)，BC4.由图形的对称性可知阴影部分的面积为正方形面积的一半，S阴影S正方形ABCDBC2168.12答案 yx2x解析 该函数图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为直线x3，二次函数图象与x

9、轴的两个交点坐标分别是(7，0)，(1，0)，故设该二次函数的表达式为ya(x7)(x1)把顶点坐标(3，4)代入，得4a(37)(31)，解得a.则该二次函数的表达式为y(x7)(x1)，即yx2x.13答案 yx2x解析 对称轴为直线x1，且图象与x轴交于A，B两点，AB6，直线与x轴交于(4，0)，(2，0)，顶点的横坐标为1.顶点在函数y2x的图象上，y2(1)2，顶点坐标为(1，2)设二次函数的表达式为ya(x1)22，把(2，0)代入，得09a2，解得a.y(x1)22x2x.14解：A，B两点关于二次函数图象的对称轴对称，二次函数图象的对称轴为直线x6.顶点P到x轴的距离为3，顶

10、点P的坐标为(6，3)或(6，3)当二次函数图象的顶点P的坐标为(6，3)时，设二次函数的表达式为ya(x6)23，把A(0，0)代入表达式，得a(06)230，解得a，二次函数的表达式为y(x6)23，即yx2x；当二次函数图象的顶点P的坐标为(6，3)时，同理可求得二次函数的表达式为y(x6)23，即yx2x.故二次函数的表达式为yx2x或yx2x.15解：(1)解方程x24x120得x12，x26，即A(2，0)，B(6，0)(2)将A，B两点的坐标代入yax2bx6，得解得二次函数的表达式为yx22x6.yx22x6(x2)28，二次函数图象的对称轴为直线x2，顶点坐标为(2，8)(3

11、)存在如图，作点C关于二次函数图象的对称轴的对称点C，连接AC，交二次函数图象的对称轴于点P，此时APC的周长最小C(0，6)，C(4，6)设直线AC的表达式为ykxn，则解得yx2，当x2时，y4，即P(2，4)16解：(1)依题意，得解之，得抛物线的表达式为yx22x3.抛物线的对称轴为直线x1，且经过点A(1，0)，B(3，0)把B(3，0)，C(0，3)分别代入ymxn，得解之，得直线BC的表达式为yx3.(2)点A，B关于对称轴对称，点M在对称轴上，MAMB，MAMCMBMC.使MAMC最小的点M应为直线BC与对称轴x1的交点把x1代入yx3，得y2，M(1，2)(3)设P(1，t)，结合B(3，0)，C(0，3)，得BC218，PB2(13)2t24t2，PC2(1)2(t3)2t26t10.若B为直角顶点，则BC2PB2PC2，即184t2t26t10，解之，得t2；若C为直角顶点，则BC2PC2PB2，即18t26t104t2，解之，得t4；若P为直角顶点，则PB2PC2BC2，即4t2t26t1018，解之，得t1，t2.综上所述，满足条件的点P共有四个，坐标分别为P1(1，2)，P2(1，4)，P3(1，)，P4(1，)