中考数学几何专项练习：最值问题之阿氏圆（解析版）.docx

1、中考数学几何专项练习：最值问题之阿氏圆一、填空题1如图，正方形的边长为4，的半径为2，为上的动点，则的最大值是【答案】2【分析】解法1，如图：以为斜边构造等腰直角三角形，连接，连接、，推得，因为，求出即可求出答案解法2：如图：连接、，在上做点，使，连接，证明，在上做点，使，连接，证明，接着推导出，最后证明，即可求解【详解】解法1如图：以为斜边构造等腰直角三角形，连接，四边形正方形，又，在与中，故答案为：2解法2如图：连接、根据题意正方形的边长为4，的半径为2，在上做点，使，则，连接在与中，则在上做点，使，则，连接在与中，则如图所示连接在与中，故答案为：2【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形

2、，勾股定理等知识，难度较大，熟悉以上知识点运用是解题关键2如图所示的平面直角坐标系中，是第一象限内一动点，连接、，则的最小值是 【答案】【分析】取点，连接，根据，有，即可证明，即有，进而可得，则有，利用勾股定理可得，则有，问题得解【详解】解：如图，取点，连接，（当B、P、T三点共线时取等号）的最小值为故答案为：【点睛】本题考查阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题3如图所示，半径为2的圆内切于为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为 【答案】【分析】根据题意，本题属于动点最值问题-“阿氏圆”模型，首先作

3、于，作于，如图所示，通过代换，将转化为，得到当与相切时，取得最大值和最小值，分两种情况，作出图形，数形结合解直角三角形即可得到相应最值，进而得到取值范围【详解】解：作于，作于，如图所示：，当与相切时，取得最大和最小，连接，如图1所示：可得：四边形是正方形，在中，在中，即；连接，如图2所示：可得：四边形是正方形，由上同理可知：在中，在中，即，故答案为：【点睛】本题考查动点最值模型-“阿氏圆”，难度较大，掌握解决动点最值问题的方法，熟记相关几何知识，尤其是圆的相关知识是解决问题的关键4如图，在中，点A、点在上，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 【答案】【分析】延长到，使得，连

4、接，利用相似三角形的性质证明，求的最小值问题转化为求的最小值求出即可判断【详解】解：延长到，使得，连接，又在中，的最小值为，故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题5如图，边长为4的正方形，内切圆记为O，P是O上一动点，则PAPB的最小值为【答案】【分析】PAPB（PAPB），利用相似三角形构造PB即可解答【详解】解：设O半径为r，OPrBC2，OBr2，取OB的中点I，连接PI，OIIB， ， ，O是公共角，BOPPOI，PIPB，APPBAPPI，当A、P、I在一条直线上时，APPB最小，作IEAB于E，

5、ABO45，IEBEBI1，AEABBE3，AI，APPB最小值AI，PAPB（PAPB），PAPB的最小值是AI故答案是【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形6如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为【答案】【分析】如图，连接，在上取一点，使得，进而证明,则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值连接PD，在PDM中，PD-PMDM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，勾股定理即可求得【详解】如图，连接，在上取一点，使得，在PDM中，PD-PMDM，当D、M、P共线时，PD-PM=D

6、M为最大值，四边形是正方形在中，故答案为：【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造是解题的关键7如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90得到线段PQ连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为 【答案】5【分析】连接AC、AQ，先证明BCPACQ得即AQ2，在AD上取AE1，证明QAEDAQ得EQQD，故DQ+CQEQ+CQCE，求出CE即可【详解】解：如图，连接AC、AQ，四边形ABCD是正方形，PC绕点P逆时针旋转90得到线段PQ，ACBPCQ45，BCPACQ，cosACB，cosPCQ，ACB=PCO，BCPACQ

7、，BP，AQ2，Q在以A为圆心，AQ为半径的圆上，在AD上取AE1，QAEDAQ， QAEDAQ，即EQQD，DQ+CQEQ+CQCE，连接CE，DQ+CQ的最小值为5故答案为：5【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，三角函数，解题的关键在于能够连接AC、AQ，证明两对相似三角形求解.8如图，在中，以点B为圆心作圆B与相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是【答案】【分析】作BHAC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，根据切线的性质得BH为B的半径，再根据等腰直角三角形的性质得到BHAC，接着证明BPDBCP得到PDPC，所以PAPCPA+PD，而PA+PD

8、AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），从而计算出AD得到PA的最小值【详解】解：作BHAC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，AC为切线，BH为B的半径，ABC90，ABCB2，ACBA2，BHAC，BP，而PBDCBP，BPDBCP，PDPC，PAPCPA+PD，而PA+PDAD（当且仅当A、P、D共线时取等号），而AD，PA+PD的最小值为，即PA的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径解决问题的关键是利用相似比确定线段PDPC也考查了等腰直角三角形的性质9如图，在Rt中，ABAC4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连

9、接BP，CP，则BP+CP的最小值是【答案】【分析】在AB上取一点T，使得AT1，连接PT，PA，CT证明，推出，推出PTPB，推出PB+CPCP+PT，根据PC+PTTC，求出CT即可解决问题【详解】解：在AB上取一点T，使得AT1，连接PT，PA，CTPA2AT1，AB4，PA2ATAB，PATPAB，PTPB，PB+CPCP+PT，PC+PTTC，在Rt中，CAT90，AT1，AC4，CT，PB+PC，PB+PC的最小值为故答案为【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键10如图，在ABC中，AC

10、B=90，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是.【答案】【分析】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4，先证DCEACD，将转化为DE，从而求得的最小距离，进而得出2AD+3BD的最小值【详解】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4AC=9，CD=6，CE=4ECD=ACDDCEACDED=在EDB中，ED+DBEBED+DB最小为EB，即ED+DB=EB在RtECB中，EB=2AD+3DB=故答案为：【点睛】本题考查求最值问题，解题关键是构造出DCEACD11如图，已知正方形ABCD的边长为4，B的半径为2，点P是B

11、上的一个动点，则PDPC的最大值为【答案】5【详解】分析: 由PDPCPDPGDG，当点P在DG的延长线上时，PDPC的值最大，最大值为DG5详解: 在BC上取一点G，使得BG1，如图，PBGPBC，PBGCBP，PGPC，当点P在DG的延长线上时，PDPC的值最大，最大值为DG5故答案为5点睛: 本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题二、解答题12已知与有公共顶点C，为等边三角形，在中，(1)如图1，当点E与点B重合时，连接AD，已知四边形AB

12、DC的面积为，求的值；(2)如图2， A、E、D三点共线，连接、，取中点M，连接，求证：；(3)如图3，将以C为旋转中心旋转，取中点F，当的值最小时，求的值【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）延长到T，使得连接，过点D做于N，证明，得出，证明为等边三角形，设，得出，求出x的值即可得出答案；（2）延长到使得，连接、，证明，得出，证明为的中位线，得出，即可证明结论；（3）连接，过点A作于点G，以点C为圆心，为半径作圆，在上截取，连接，证明，得出，即，得出，连接与交于一点，当点F在此点时，最小，即最小，过点M作于点N，过点A作于点Q，求出，即可得出答案【详解】（1）解：延长到T，使得连接，

13、过点D做于N，如图所示：为等边三角形，四边形中，在和中，为等边三角形，四边形ABDC的面积为，设，（2）证明：延长到使得，连接、，如图所示：，为等边三角形，为等边三角形，在和中，A为中点，M为中点，为的中位线，；（3）解：如图，连接，过点A作于点G，以点C为圆心，为半径作圆，在上截取，连接，点F为等边三角形的边中点，的长度为定值，在旋转时，点F在以C为圆心，为半径的圆上运动，如图，连接与交于一点，当点F在此点时，最小，即最小，过点M作于点N，过点A作于点Q，【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，特殊角的三角函数，求正切值，勾股定理，直角三

14、角形的性质，解题的关键是作出辅助线，找出取最小值时，点F的位置13如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴是直线(1)求抛物线的解析式；(2)若点是直线下方的抛物线上一个动点，是否存在点使四边形的面积为16，若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由；(3)如图2，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，2为半径作，点为上的一个动点，求的最小值【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）根据点的坐标为，抛物线的对称轴是直线待定系数法求二次函数解析式即可，（2）先求得直线解析式，设，则，过点作轴交直线于点，根据等于16建立方程，解一元二次方程即可求得的值，然后求得的坐标

15、，（3）在上取，过点作，构造，则当三点共线时，取得最小值，最小值为，勾股定理解直角三形即可【详解】（1）解：抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，抛物线的对称轴是直线，解得， 抛物线解析式为：，（2）当，即，解得，设直线解析式为，解得，直线解析式为，设，过点作轴交直线于点，则，四边形的面积为16，解得，或，（3）如图，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，2为半径作，是抛物线的对称轴，在上取，过点作，交轴于点，交抛物线对称轴于点，则，当三点共线时，取得最小值，最小值为，则的最小值为【点睛】本题考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，掌握二次函数的性质与相似三角形的性质与判定是解题的

16、关键14如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，在x轴上有一动点（），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PMAB于点M(1)求a的值和直线AB的函数表达式：(2)设PMN的周长为，AEN的周长为，若求m的值(3)如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到，旋转角为（），连接、，求的最小值【答案】(1)a=-直线AB解析式为y=-x+3；(2)2(3)【分析】（1）令y=0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式；（2）由PNMANE，推出，列出方程即可解决问题；（3）在y轴上 取一点M使得OM=，构造相似三角形

17、，可以证明AM就是EA+EB的最小值【详解】（1）令y=0，则ax2+（a+3）x+3=0，（x+1）（ax+3）=0，x=-1或-，抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a0）与x轴交于点A（4，0），-=4，a=-A（4，0），B（0，3），设直线AB解析式为y=kx+b，则，解得，直线AB解析式为y=-x+3；（2）如图1，PMAB，PEOA，PMN=AEN，PNM=ANE，PNMANE，NEOB，抛物线解析式为，解得m=2或4，经检验x=4是分式方程的增根，m=2；（3）如图2，在y轴上 取一点M使得OM=，连接AM，在AM上取一点E使得OE=OEOE=2，OMOB=，OE2=OMOB，

18、BOE=MOE，MOEEOB，此时最小（两点间线段最短，A、M、E共线时），最小值【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM就是的最小值15如图，RtABC，ACB90，ACBC2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD，连接AF，BD（1）求证：BDCAFC（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BDAD的值；（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BDAD的最小值【答案】（1）见解析；（2）或 ；（3）【分析】（1）利用SAS，即可证

19、明FCADCB；（2）分两种情况当点D，E在AB边上时和当点E，F在边AB上时，讨论即可求解；（3）取AC的中点M连接DM，BM则CM1，可证得DCMACD，可得DMAD，从而得到当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，即可求解【详解】（1）证明： 四边形CDEF是正方形，CFCD，DCFACB90，ACFDCB，ACCB，FCADCB（SAS）；（2）解：如图2中，当点D，E在AB边上时，ACBC2，ACB90，CDAB，ADBD，BD+AD；如图3中，当点E，F在边AB上时BDCF，AD，BD+AD，综上所述，BDAD的值或；（3）如图4中取AC的中点M连接DM，BM则CM1，CD，CM1

20、，CA2，CD2CMCA，DCMACD，DCMACD，DMAD，BD+ADBD+DM，当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，最小值【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数，熟练掌握相关知识点是解题的关键16如图1，在平面直角坐标系中，直线y5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线yx2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B（1）求抛物线解析式及B点坐标；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；（3）如图2，若P点是半

21、径为2的B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由【答案】（1）yx26x+5， B（5，0）；（2）当M（3，4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18；（3）PC+PA的最小值为，理由详见解析.【分析】（1）由直线y5x+5求点A、C坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点B坐标（2）从x轴把四边形AMBC分成ABC与ABM；由点A、B、C坐标求ABC面积；设点M横坐标为m，过点M作x轴的垂线段MH，则能用m表示MH的长，进而求ABM的面积，得到ABM面积与m的二次函数关系式，且对应的a值小于0，配方即求得m为何值时取得最

22、大值，进而求点M坐标和四边形AMBC的面积最大值（3）作点D坐标为（4，0），可得BD1，进而有，再加上公共角PBDABP，根据两边对应成比例且夹角相等可证PBDABP，得等于相似比，进而得PDAP，所以当C、P、D在同一直线上时，PC+PAPC+PDCD最小用两点间距离公式即求得CD的长【详解】解：（1）直线y5x+5，x0时，y5C（0，5）y5x+50时，解得：x1A（1，0）抛物线yx2+bx+c经过A，C两点解得：抛物线解析式为yx26x+5当yx26x+50时，解得：x11，x25B（5，0）（2）如图1，过点M作MHx轴于点HA（1，0），B（5，0），C（0，5）AB514，O

23、C5SABCABOC4510点M为x轴下方抛物线上的点设M（m，m26m+5）（1m5）MH|m26m+5|m2+6m5SABMABMH4（m2+6m5）2m2+12m102（m3）2+8S四边形AMBCSABC+SABM10+2（m3）2+82（m3）2+18当m3，即M（3，4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18（3）如图2，在x轴上取点D（4，0），连接PD、CDBD541AB4，BP2PBDABPPBDABPPDAPPC+PAPC+PD当点C、P、D在同一直线上时，PC+PAPC+PDCD最小CDPC+PA的最小值为【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的

24、性质、圆的性质及相似三角形的判断与性质.17如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点，点是轴下方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点（1）求抛物线的解析式；（2）设点的横坐标为，当时，求的值；（3）当直线为抛物线的对称轴时，以点为圆心，为半径作，点为上的一个动点，求的最小值【答案】（1）yx2x3；（2）；（3）【分析】对于（1），结合已知先求出点B和点C的坐标，再利用待定系数法求解即可；对于（2），在RtOAC中，利用三角函数的知识求出OAC的度数，再利用角平分线的定义求出OAD的度数，进而得到点D的坐标；接下来求出

25、直线AD的解析式，表示出点P，H，F的坐标，再利用两点间的距离公式可完成解答；对于（3），首先求出H的半径，在HA上取一点K，使得HK=14，此时K（-，）；然后由HQ2=HKHA，得到QHKAHQ，再利用相似三角形的性质求出KQ=AQ，进而可得当E、Q、K共线时，AQ+EQ的值最小，据此解答.【详解】（1）由题意A（，0），B（3，0），C（0，3），设抛物线的解析式为ya（x+3）（x），把C（0，3）代入得到a，抛物线的解析式为yx2x3（2）在RtAOC中，tanOAC，OAC60AD平分OAC，OAD30，ODOAtan301，D（0，1），直线AD的解析式为yx1，由题意P（m，m

26、2m3），H（m，m1），F（m，0）FHPH，1m1（m2m3）解得m或（舍弃），当FHHP时，m的值为（3）如图，PF是对称轴，F（，0），H（，2）AHAE，EAO60，EOOA3，E（0，3）C（0，3），HC2，AH2FH4，QHCH1，在HA上取一点K，使得HK，此时K（）HQ21，HKHA1，HQ2HKHA，QHKAHQ，QHKAHQ，KQAQ，AQ+QEKQ+EQ，当E、Q、K共线时，AQ+QE的值最小，最小值【点睛】本题考查了相似三角形对应边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、待定系数法求二次函数的表达式、二次函数的图象与性质、数轴上两点间的距离公式，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.