中考数学复习课件 练习：专题复习(六)　几何综合题（有答案）.docx

1、专题复习(六)几何综合题类型1类比探究的几何综合题1(2019岳阳)问题背景：已知EDF的顶点D在ABC的边AB所在直线上(不与A，B重合)DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N.记ADM的面积为S1，BND的面积为S2.(1)初步尝试：如图1，当ABC是等边三角形，AB6，EDFA，且DEBC，AD2时，则S1S212；(2)类比探究：在(1)的条件下，先将点D沿AB平移，使AD4，再将EDF绕点D旋转至如图2所示位置，求S1S2的值；(3)延伸拓展：当ABC是等腰三角形时，设BAEDF.()如图3，当点D在线段AB上运动时，设ADa，BDb，求S1S2的表达式(结果用a，b和的

2、三角函数表示)；()如图4，当点D在BA的延长线上运动时，设ADa，BDb，直接写出S1S2的表达式，不必写出解答过程解：(1)在图1中，ABC是等边三角形，ABCBAC6，AB60.DEBC，EDFA60，BNDEDF60.BDNADM60.ADM，BDN都是等边三角形S122，S2424.S1S212.(2)在图2中，设AMx，BNy.MDBMDNNDBAAMD，MDNA，AMDNDB.AB，AMDBDN.xy8.S1ADAMsin60x，S2DBBNsin60y，S1S2xyxy12.(3)()在图3中，设AMx，BNy，同法可证AMDBDN，可得xyab.S1ADAMsinaxsin，

3、S2DBBNsinbysin，S1S2(ab)2sin2.()在图4中，设AMx，BNy，同法可证AMDBDN，可得xyab，S1ADAMsinaxsin，S2DBBNsinbysin，S1S2(ab)2sin2.2(2019自贡)如图，已知AOB60，在AOB的平分线OM上有一点C，将一个120角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA，OB相交于点D，E.(1)当DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)，请猜想OEOD与OC的数量关系，并说明理由；(2)当DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，(1)中的结论是否成立？并说明理由；(3)当DCE绕点C旋转到CD与OA的反

4、向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给予证明；若不成立，线段OD，OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明图1 图2 图3解：(1)OM是AOB的平分线，AOCBOCAOB30.CDOA，ODC90.OCD60.OCEDCEOCD60.在RtOCD中，ODOCcos30OC，同理，OEOC.ODOEOC.(2)(1)中的结论仍然成立理由：过点C作CFOA于点F，CGOB于点G，OFCOGC90.AOB60，FCG120.同(1)的方法得OFOC，OGOC.OFOGOC.CFOA，CGOB，且点C是AOB的平分线OM上一点，CFCG.DCEFCG12

5、0，DCFECG.CFDCGE.DFEG.OFODDFODEG，OGOEEG.OFOGODEGOEEGODOE.ODOEOC. (3)(1)中的结论不成立，结论为OEODOC.3(2019东营)(1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目： 如图1，在ABC中，点O在线段BC上，BAO30，OAC75，AO3，BOCO13，求AB的长经过社团成员讨论发现，过点B作BDAC，交AO的延长线于点D，通过构造ABD就可以解决问题(如图2)请回答：ADB75，AB4；(2)请参考以上解决思路，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，ACAD，AO3，ABCACB75， B

6、OOD13，求DC的长 图1 图2 图3解：过点B作BEAD交AC于点E.ACAD，DAO BEO90.AOD EOB，AODEOB.BOOD13，.AO3，EO.AE4.ABCACB75，BAC30，ABAC.ABAC8.BEAB4，AD3BE12.在RtCAD中，AC2AD2CD2，即82122CD2，得CD4.4(2019江西)在菱形ABCD中，ABC60，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化 图1 图2 图3图4(1)如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是BPCE，CE与AD的位置关系是ADCE；(

7、2)当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理)；(3)如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE.若AB2，BE2，求四边形ADPE的面积解：(1)提示：连接AC，延长CE交AD于点H，证明ABPACE.(2)结论仍然成立理由：选图2，连接AC交BD于点O，设CE交AD于点H.四边形ABCD是菱形，ABC60，ABC，ACD都是等边三角形，ABDCBD30.ABAC.APE是等边三角形，APAE，BACPAE60.BAPCAE.BAPCAE.BPCE，ACEABP30.CAH60，CAHACH9

8、0.AHC90，即CEAD.(3)连接AC交BD于点O，连接CE交AD于点H.由(2)可知，ECAD，CEBP.在菱形ABCD中，ADBC，ECBC.BCAB2，BE2，在RtBCE中，EC8.BPCE8.AC与BD是菱形的对角线，ABDABC30，ACBD.BD2BO2ABcos306.OAAB，DPBPBD862.OPODDP5.在RtAOP中，AP2，S四边形ADPESADPSAEP2(2)28.5(2019烟台)【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA1，PB2，PC3.你能求出APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：

9、思路一：将BPC绕点B逆时针旋转90，得到BPA，连接PP，求出APB的度数；思路二：将APB绕点B顺时针旋转90，得到CPB，连接PP，求出APB的度数请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程【类比探究】如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA3，PB1，PC，求APB的度数 图1 图2解：【问题解决】思路一：将BPC绕点B逆时针旋转90，得到BPA，连接PP，ABPCBP.PBP90，BPBP2，APCP3.在RtPBP中，BPBP2，BPP45，根据勾股定理，得PPBP2.AP1，AP2PP2189.AP2329，AP2PP2AP2.APP是直角三角形，且APP90.APBAPPB

10、PP9045135.【类比探究】将BPC绕点B逆时针旋转90，得到BPA，连接PP，ABPCBP.PBP90，BPBP1，APCP.在RtPBP中，BPBP1，BPP45，根据勾股定理，得PPBP.AP3，AP2PP29211.AP2()211，AP2PP2AP2.APP是直角三角形，且APP90.APBAPPBPP904545.6(2019黄石)在ABC中，E，F分别为线段AB，AC上的点(不与A，B，C重合)(1)如图1，若EFBC，求证：；(2)如图2，若EF不与BC平行，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由；(3)如图3，若EF上一点G恰为ABC的重心，求的值图1 图2 图3解：(1

11、)EFBC，AEFABC.()2.(2)若EF不与BC平行，(1)中的结论仍然成立分别过点F，C作AB的垂线，垂足分别为N，H.FNAB，CHAB，FNCH.AFNACH.(3)连接AG并延长，交BC于点M，连接BG并延长，交AC于点N，连接M，N，则M，N分别是BC，AC的中点，MNAB，且MNAB.，且SABMSACM.设a，由(2)知，a，则a.而a，aa，解得a.7(2019河南)(1)问题发现 如图1，在OAB和OCD中，OAOB，OCOD，AOBCOD40，连接AC，BD相交于点M.填空：的值为1；AMB的度数为40；(2)类比探究如图2，在OAB和OCD中，AOBCOD90，OA

12、BOCD30，连接AC交BD的延长线于点M.请判断 的值及AMB的度数，并说明理由；(3)拓展延伸在(2)的条件下，将OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M.若OD1，OB，请直接写出当点C与点M重合时AC的长图1 图2 图3解：(2)，AMB90.理由如下：AOBCOD90，OABOCD30，CODAODAOBAOD，即AOCBOD.AOCBOD.，CAODBO.AOB90，DBOABDBAO90.CAOABDBAO90.AMB90.(3)AC的长为2或3.提示：在OCD旋转的过程中，(2)中的结论仍然成立，即，AMB90.如图所示，点C与点M重合，AC1，AC2的长即为所求8

13、(2019淄博)(1)操作发现：如图1，小明画了一个等腰三角形ABC，其中ABAC，在ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN.小明发现了：线段GM与GN的数量关系是MGNG；位置关系是MGNG；(2)类比思考：如图2，小明在此基础上进行了深入思考把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中ABAC，其他条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由；(3)深入研究：如图3，小明在(2)的基础上，又作了进一步的探究向ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其他条件不变，试判断GMN的形状，并给予证明

14、图1 图2 图3解：(1)连接BE，CD相交于点H，ABD和ACE都是等腰直角三角形，ABAD，ACAE，BADCAE90.CADBAE.ACDAEB(SAS)CDBE，ADCABE.BDCDBHBDCABDABEBDCABDADCADBABD90.BHD90.CDBE.点M，G分别是BD，BC的中点，MGCD.同理NGBE.MGNG，MGNG.故答案为MGNG，MGNG.(2)连接CD，BE，相交于点H，同(1)的方法得，MGNG，MGNG.(3)连接EB，DC，延长线相交于点H，同(1)的方法得，ABEADC，MGNG.AEBACD.CEHECHAEHAEC180ACDACEACD4518

15、0ACD4590.DHE90.同(1)的方法得，MGNG.类型2与图形变换有关的几何综合题1(2019襄阳)如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GEBC，垂足为E，GFCD, 垂足为F.(1)证明与推断：求证：四边形CEGF是正方形；推断：的值为；(2)探究与证明：将四边形CEGF绕点C顺时针方向旋转角(045)，如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；(3)拓展与运用：四边形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图3所示，延长CG交AD于点 H若AG6，GH2，则BC3 图1 图2 图3解：(1)证明：四边形ABCD是正方形，BCD90，BC

16、A45.GEBC，GFCD，CEGCFGECF90.四边形CEGF是矩形，CGEECG45.EGEC.四边形CEGF是正方形(2)连接CG，由旋转性质可知，BCEACG.在RtCEG和RtCBA中，cos45，cos45.又ECGECAACBECA，即ACGBCE，ACGBCE.线段AG与BE之间的数量关系为AGBE.2(2019仙桃)问题：如图1，在RtABC中，ABAC，D为BC边上一点(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为BCDCEC；探索：如图2，在RtABC与RtADE中，ABAC，ADAE，将ADE绕点A

17、旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图3，在四边形ABCD中，ABCACBADC45.若BD9，CD3，求AD的长图1 图2 图3解：探索：BD2CD22AD2.连接CE.BADDAC90DACCAE，BADCAE.在ABD和ACE中，ABDACE(SAS)BDCE，BACE.RtABC与RtADE是等腰直角三角形，DE22AD2.B45.ACBACE454590.DCE90.DC2CE2DE2，即BD2CD22AD2.应用：以AD为腰作等腰RtADE，连接CE，由“探索”可知，ABDACE(SAS)CEBD9.ADCADE45，ED

18、C90.在RtCDE中，由勾股定理，得DE6.在等腰RtADE中，ADDE6.3(2019宜昌)在矩形ABCD中，AB12，P是边AB上一点，把PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BECG，垂足为E，且在AD上，BE交PC于点F.(1)如图1，若点E是AD的中点，求证：AEBDEC；(2)如图2，求证：BPBF；当AD25，且AEDE时，求cosPCB的值；当BP9时，求BEEF的值 图1 图2 图2备用图解：(1)证明：在矩形ABCD中，AD90，ABDC，点E是AD中点，AEDE.在AEB和DEC中，AEBDEC(SAS)(2)证明：在矩形ABCD中，ABC90.BPC沿P

19、C折叠得到GPC，PGCPBC90，BPCGPC.BECG，BEPG.GPFPFB.BPFPFB.BPBF.当AD25时，BEC90，AEBPEC90.AEBABE90，DECABE.AD90，ABEDEC.设AEx，则DE25x，.x9或x16.AEDE，AE9，DE16.由勾股定理，得CE20，BE15.由折叠得，BPPG，BCGC，BPBFPG.BEPG，ECFGCP.设BPBFPGy，.y，即BP.在RtPBC中，由勾股定理，得PC，cosPCB.连接FG，GEFG90，BEPG.BFPG，BFPGBP，四边形BPGF是菱形BPGF，且BPGF.GFEEBA.GEFEAB.BEEFAB

20、GFABBP129108.4(2019永州)如图1，在ABC中，矩形EFGH的一边EF在AB上，顶点G，H分别在BC，AC上，CD是边AB上的高，CD交GH于点I.若CI4，HI3，AD，矩形DFGI恰好为正方形 图1 图2 图3(1)求正方形DFGI的边长；(2)如图2，延长AB至P，使得ACCP.将矩形EFGH沿BP的方向平移，当点G刚好落在CP上时，试判断移动后的矩形与CBP重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？(3)如图3，连接DG，将正方形DFGI绕点D顺时针旋转一定的角度得到正方形DFGI，正方形DFGI分别与线段DG，DB相交于点M，N，求MNG的周长解：(1)HIAD，.C

21、D6.IDCDCI2.正方形的边长为2.(2)如图2，设点G落在PC上时对应的点为点G，点F的对应点为点F.CACP，CDPA，ACDPCD，AP.HGPA，CHGA，CGHP.CHGCGH.CHCG.IHIGDF3.IGDB，.DB3.DBDF3.点B与点F重合移动后的矩形与CBP重叠部分是三角形，即BGG.(3)将DMI绕点D顺时针旋转90得到DRF，此时N，F，R共线MDR90.NDM45，NDMNDR90，NDMNDR45.DNDN，DMDR，NDMNDR.MNNRNFRFNFMI.MNG的周长MNMGNGNFNGMIFGIG2IG4.5(2019岳阳)已知在RtABC中，BAC90，

22、CD为ACB的平分线，将ACB沿CD所在的直线对折，使点B落在点B处，连接AB，BB，延长CD交BB于点E，设ABC2.(045)(1)如图1，若ABAC，求证：CD2BE；(2)如图2，若ABAC，试求CD与BE的数量关系；(用含的式子表示)(3)如图3，将(2)中的线段BC绕点C逆时针旋转角(45)，得到线段FC，连接EF交BC于点O，设COE的面积为S1，COF的面积为S2，求.(用含的式子表示)图1 图2 图3解：(1)证明：点B，B关于EC对称，BBEC，BEEB.DEBDAC90.EDBADC，DBEACD.ABAC，BABCAD90，BABCAD.CDBB2BE.(2)如图2，结

23、论：CD2BEtan2.理由：由(1)可知，ABBACD，BABCAD90，BABCAD.CD2BEtan2.(3)如图 3，在RtABC中，ACB902.EC平分ACB，ECB(902)45.BCF45，ECF454590.BECECF180.BBCF.BEOCFO.sin(45)，sin(45)6(2019潍坊)如图1，在ABCD中，DHAB于点H，CD的垂直平分线交CD于点E，交AB于点F，AB6，DH4，BFFA15.(1)如图2，作FGAD于点G，交DH于点M，将DGM沿DC方向平移，得到CGM，连接MB.求四边形BHMM的面积；直线EF上有一动点N，求DNM周长的最小值；(2)如图

24、3，延长CB交EF于点Q，过点Q作QKAB，过CD边上的动点P作PKEF，并与QK交于点K，将PKQ沿直线PQ翻折，使点K的对应点K恰好落在直线AB上，求线段CP的长 图1 图2 图3解：(1)在ABCD中，AB6，直线EF垂直平分CD，DEFH3.又BFFA15，BF1，FA5.AH2.RtAHDRtMHF，.HM.根据平移的性质，得MMCD6，S四边形BHMMSBMMSBHM64.连接CM交直线EF于点N，连接DN.CNDN.MH，DM.在RtCDM中，MC2DC2DM2.MC262()2，即MC.MNDN的最小值MNCNMC，DNM周长的最小值为9.(2)BFCE，DNM周长的最小值为9

25、.(2)BFCE，.QF2.PKPK6.过点K作EFEF，分别交CD于点E，交QK于点F.当点P在线段CE上时，在RtPKE中，PE2PK2EK2，PE2.RtPEKRtKFQ，.FQ.PEPEEE2.CPCEPE.同理可得，当点P在线段ED上时，CP.综上可得，CP的长为或.类型3与动点有关的几何综合题1(2019黄冈)如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，点B，C在第一象限，C120，边长OA8.点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长度的速度作匀速运动，点N从A出发沿边ABBCCO以每秒2个单位长度的速度作匀速运动，过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OC

26、B于点P，交对角线OB于点Q，点M和点N同时出发，分别沿各自路线运动，点N运动到原点O时，M和N两点同时停止运动(1)当t2时，求线段PQ的长；(2)求t为何值时，点P与N重合；(3)设APN的面积为S，求S与t的函数关系式及t的取值范围解：(1)当t2时，OM2，在RtOPM中，POM60，PMOMtan602.在RtOMQ中，QOM30，QMOMtan30.PQPMQM2.(2)由题意，得8(t4)2t24，解得t.(3)当0t4时，S2t44t；当4t时，S8(t4)(2t8)4406t；当t8时，S(t4)(2t8)846t40；当8t12时，SS菱形ABCOSAONSABPSPCN3

27、2(242t)48(t4)4(t4)8(242t)t212t56.综上，S2(2019青岛)已知：如图，四边形ABCD，ABDC，CBAB，AB16 cm，BC6 cm，CD8 cm.动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2 cm/s.点P和点Q同时出发，以QA，QP为边作平行四边形AQPE，设运动的时间为t(s)，0t5. 根据题意解答下列问题：(1)用含t的代数式表示AP；(2)设四边形CPQB的面积为S(cm2)，求S与t的函数关系式；(3)当QPBD时，求t的值；(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点E在ABD的平分线上？若存在，求

28、出t的值；若不存在，请说明理由解：(1)过点D作DHAB于点H，则四边形DHBC是矩形，CDBH8，DHBC6.AHABBH8，AD10，BD10.APADDP102t.(2)过点P作PNAB于点N，连接PB.在RtAPN中，PA102t，PNPAsinDAH(102t)，ANPAcosDAH(102t)BN16AN16(102t)，SSPQBSBCP(162t)(102t)616(102t)t2t72(0t5)(3)当PQBD时，PQNDBA90，QPNPQN90，QPNDBA.tanQPN.解得t.经检验，t是分式方程的解，当t s时，PQBD.(4)存在理由：连接BE交DH于点K，过点K

29、作KMBD于点M.当BE平分ABD时，KBHKBM，KHKM，BHBM8.设KHKMx，在RtDKM中，(6x)222x2，解得x.过点E作EFAB于点F，则AEFQPN，EFPN(102t)，AFQN(102t)2t，BF16(102t)2tKHEF，.解得t.经检验，t是分式方程的解当t s时，点E在ABD的平分线上3(2019绵阳)如图，已知ABC的顶点坐标分别为A(3，0)，B(0，4)，C(3，0)动点M，N同时从A点出发，M沿AC，N沿折线ABC，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动的时间记为t秒，连接MN.(1)求直线BC的解析式

30、；(2)移动过程中，将AMN沿直线MN翻折，点A恰好落在BC边上点D处，求此时t值及点D的坐标；(3)当点M，N移动时，记ABC在直线MN右侧部分的面积为S，求S关于时间t的函数关系式 备用图解：(1)设直线BC的解析式为ykxb，则有解得直线BC的解析式为yx4.图1(2)如图1，连接AD交MN于点O.由题意可知，四边形AMDN是菱形，M(3t，0)，N(3t，t)，O(3t，t)，D(3t，t)点D在BC上，t(3t)4，解得t.t s时，点A恰好落在BC边上点D处，此时D(，)图2(3)如图2，当0t5时，ABC在直线MN右侧部分是AMN，Sttt2；如图3，当5t6时，ABC在直线MN

31、右侧部分是四边形ABNM.图3SSABCSCMN64(6t)4(t5)t2t12.4(2019广东)已知RtOAB，OAB90，ABO30，斜边OB4，将RtOAB绕点O顺时针旋转60，如图1，连接BC.(1)填空：OBC60；(2)如图1，连接AC，作OPAC，垂足为P，求OP的长度；(3)如图2，点M，N同时从点O出发，在OCB边上运动，M沿OCB路径匀速运动，N沿OBC路径匀速运动，当两点相遇时运动停止已知点M的运动速度为1.5单位长度/秒，点N的运动速度为1单位长度/秒设运动时间为x秒，OMN的面积为y，求当x为何值时，y取得最大值？最大值为多少？(结果可保留根号)图1 图2 备用图解

32、：(2)OB4，ABO30，OAOB2，ABOA2.SAOCOAAB222.BOC是等边三角形，BCBO4.OBC60，ABCABOOBC90.AC2.OP.(3)当0x时，点M在OC上运动，点N在OB上运动，此时过点N作NEOC且交OC于点E.则NEONsin60x，yOMNE1.5xx，即yx2.当x时，y有最大值，最大值为.当x4时，点M在BC上运动，点N在OB上运动图3过点M作MHOB于点H.则BM81.5x，MHBMsin60(81.5x)，yONMHx22x.当x时，y取最大值，y.当4x4.8时，点M，N都在BC上运动，过点O作OGBC于点G.则MN122.5x，OGAB2，图4

33、yMNOG12x.当x4时，y有最大值，y2.综上所述，y有最大值，最大值为.类型4与实践操作有关的几何综合题1(2019齐齐哈尔)折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动，确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论实践操作如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B落在矩形ABCD所在平面内，BC和AD相交于点E

34、，连接BD. 图1 图2解决问题(1)在图1中BD和AC的位置关系为BDAC(互相平行)；将AEC剪下后展开，得到的图形是菱形； (2)若图1中的矩形变为平行四边形(ABBC)，如图2所示，结论和结论是否成立，若成立，请挑选其中一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；(3)小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长和宽之比为11或1拓展应用(4)在图2中，若B30，AB4，当ABD恰好为直角三角形时，BC的长度为4或6或8或12解：结果仍成立选择结论证明四边形ABCD是平行四边形，ADBC.DACBCA.由折叠性质

35、，得BCBC，BCAACB，DACACB，BCAD.AECE，BEDE.CBDADB.AECBED，ACBCAD，ADBDAC.BDAC.选择结论证明设点E的对应为点F，连接AF.由折叠性质，得AEAF，CECF.由知AECE，AECEAFCF.四边形AECF是菱形2.(2019山西)综合性实践问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AD2AB，E是AB延长线上一点，且BEAB，连接DE，交BC于点M，以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG，连接AM，试判断线段AM与DE的位置关系探究展示：勤奋小组发现，AM垂直平分DE，并展示了如下的证明方法：证明：B

36、EAB，AE2AB.AD2AB，ADAE.四边形ABCD是矩形，ADBC.(依据1)BEAB，1.EMDM，即AM是ADE的DE边上的中线又ADAE，AMDE.(依据2)AM垂直平分DE.反思交流：(1)上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；(2)创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE，以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证明；探索发现：(3)如图3，连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，可以发现点C，点B都在线段AE的垂直平分

37、线上，除此之外，请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明图1 图2 图3解：(1)依据1：两条直线被一组平行线所截，所得到的对应线段成比例(或平行线分线段成比例)依据2：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合(或等腰三角形的“三线合一”)点A在线段GF的垂直平分线上(2)证明：过点G作GHBC于点H.四边形ABCD为矩形，点E在AB的延长线上，CBEABCGHC90.BCEBEC90.四边形CEFG为正方形，CGCE，GCE90.BCEBCG90.BECBCG.GHCCBE(AAS)HCBE.四

38、边形ABCD是矩形，ADBC.AD2AB，BEAB，BC2BE2HC.HCBH.GH垂直平分BC.点G在BC的垂直平分线上(3)点F在BC边的垂直平分线上(或点F在AD边的垂直平分线上)过点F作FMBC于点M，过点E作ENFM于点N.BMNENMENF90.四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，CBEABC90.四边形BENM为矩形BMEN，CEBCEN90.四边形CEFG为正方形，EFEC，CEF90.CENFEN90.CEBFEN.ENFEBC(AAS)NEBE.BMBE.四边形ABCD是矩形，ADBC.AD2AB，ABBE.BC2BM.BMMC.FM垂直平分BC.点F在BC边的垂直

39、平分线上3(2019菏泽)问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到ABC和ACD，并且量得AB2 cm，AC4 cm.操作发现：(1)将图1中的ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转a，使aBAC，得到如图2所示的ACD，过点C作AC的平行线，与DC的延长线交于点E，则四边形ACEC的形状是菱形；(2)创新小组将图1中的ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B，A，D三点在同一条直线上，得到如图3所示的ACD，连接CC，取CC的中点F，连接AF并延长至点G，使得FGAF，连接CG，CG，得到四边形A

40、CGC，发现它是正方形，请你证明这个结论；实践探究：(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作，将ABC沿着BD方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至A点，AC与BC相交于点H，如图4所示连接CC，试求tanCCH的值 图1图2 图3 图4解：(2)证明：在图1中，四边形ABCD是矩形，ABCD.CADACB，B90.BACACB90.在图3中，由旋转知DACDAC，ACBDAC.BACDAC90.点D，A，B在同一条直线上，CAC90.由旋转知ACAC，点F是CC的中点，AGCC.CFCFAEFG.四边形ACGC是正方形(3)易得BC2，ACB30，DBC30，CBC60.由

41、平移可得：AB2，ACB30.BHC90.BHBCsinBCH.CHBCBH4.在RtABH中，AHAB1，CHACAH413.在RtCHC中，tanCCH.4(2019德州)再读教材：宽与长的比是(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形(提示：MN2)：第一步，在矩形纸片一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平图1图2第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图3中所示的AD处第四步

42、，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DEND，则图4中就会出现黄金矩形图3图4问题解决：(1)图3中AB；(保留根号)(2)如图3，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；(3)请写出图4中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由；实际操作：(4)结合图4，请在矩形BCDE中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并写出它的长和宽解：(2)四边形BADQ是菱形理由如下：四边形ACBF是矩形，BQAD.BQAQAD.由折叠得BAQQAD，ABAD，BQABAQ.BQAB.BQAD.BQAD，四边形BADQ是平行四边形ABAD，四边形BADQ是菱形(3)图4中的黄金矩形有：矩形BCDE、

43、矩形MNDE.以矩形BCDE为例，理由如下：ADAB，ANAC1，CDADAC1.又BC2，.故矩形BCDE是黄金矩形(4)在矩形BCDE上添加线段GH，使四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为所要的黄金矩形长GH1，宽HE3.类型5其他类型的几何综合题1(2019武汉)在ABC中，ABC90.(1)如图1，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M，N，求证：ABMBCN；(2)如图2，P是边BC上一点，BAPC，tanPAC，求tanC的值；(3)如图3，D是边CA延长线上一点，AEAB，DEB90，sinBAC，直接写出tanCEB的值 图1 图2 图3解：(1)证明：A

44、MMN，CNMN，AMBBNC90.BAMABM90.ABC90，ABMCBN90.BAMCBN.ABMBCN.(2)过点P作PFAP交AC于点F，过点F作PQBC于点Q，在RtAFP中，tanPAC，同(1)的方法得，ABPPQF，.设ABa，PQ2a，BPb，FQ2b(a0，b0)，BAPC，BCQF90，ABPCQF.CQ2a.BCBPPQCQb2a2a4ab.BAPC，BB90，ABPCBA.BC.4ab.a1b，a2b(舍去)BC4bb5b，ABa5b.在RtABC中，tanC.(3)tanBEC.提示：过点A作AGBE于点G，过点C作CHBE交EB的延长线于点H.2(2019宁波)

45、若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形(1)已知ABC是比例三角形，AB2，BC3，请直接写出所有满足条件的AC的长；(2)如图1，在四边形ABCD中，ADBC，对角线BD平分ABC，BACADC.求证：ABC是比例三角形；(3)如图2，在(2)的条件下，当ADC90时，求的值 图1 图2解：(1)或或.(2)ADBC，ACBCAD.又BACADC，ABCDCA.，即CA2BCAD.ADBC，ADBCBD.BD平分ABC，ABDCBD.ADBABD.ABAD.CA2BCAB.ABC是比例三角形(3)过点A作AHBD于点H.ABAD，BHBD.ADBC，ADC90.BCD90.BHABCD90.又ABHDBC，ABHDBC.ABBCBD2.又ABBCAC2，BD2AC2.