临界生三角、数列冲刺练（9）-2024届高三数学一轮复习.docx

1、临界生三角、数列冲刺练（9）时间： 60分钟 班级：_ 姓名：_1已知数列an满足a1=1，an-an+1=2anan+1，记bn=1an(1)证明：数列bn为等差数列； (2)设数列bn的前n项和为Sn，求数列-1nSn的前n项的和Tn2已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且a2=3，an=Sn+Sn-1（nN*且n2）(1)求an的通项公式； (2)若bn=an2n，求数列bn的前n项和Tn3在数列an中，a1=2，an+1=4an-3n+1nN+(1)证明：数列an-n是等比数列. (2)求数列an的前n项和Sn.4在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,ABC的面积为S

2、，已知4StanB=a2cosB+abcosA.(1)求角B； (2)若b=3,ABC的周长为l，求Sl的最大值.10如图，在三棱锥P-ABC中，PAC为等边三角形，PB=AC=4,AB=2，BAC=60.(1)求证：平面PAC平面ABC；(2)点D是棱BC上的动点，当直线BC与平面APD所成角的正弦值为255时，求D点的位置.12如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为线段CD中点，现将ADE沿AE折起，使得点D到点P位置，且APBE(1)求证：平面AEP平面ABCD；(2)已知点M是线段CP上的动点（不与点P，C重合），若使平面MAE与平面APE的夹角为4，试确定点M的位置参考答案

3、1【详解】（1）证明：因为数列an满足a1=1，an-an+1=2anan+1，可得1an+1-1an=2，又因为bn=1an，即bn+1-bn=2，且b1=1，所以数列bn表示首项为1，公差为2的等差数列.（2）解：由（1），可得数列bn的通项公式为bn=2n-1，可得Sn=n(1+2n-1)2=n2，所以-1nSn=-1nn2当n为偶数时，Tn=b1+b2+b3+bn=-1+22-32+42+-(n-1)2+n2 =(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+n+(n-1)n-(n-1) =1+2+3+n=n(n+1)2；当n为奇数时，Tn=b1+b2+b3+bn=-1+22-32+42+

4、-(n-2)2+(n-1)2-n2 =(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+(n-1)+(n-2)(n-1)-(n-2)-n2 =1+2+3+(n-1)2-n2=(n-1)(1+n-1)2-n2=-n(n+1)2，所以数列-1nSn的前n项和为：Tn=n(n+1)2,n为偶数-n(n+1)2,n为奇数.2【详解】（1）当n=2时，a2=S2+S1，即3=3+a1+a1，解得a1=1因为an=Sn-Sn-1（n2），所以an=Sn-Sn-1Sn+Sn-1（n2），又an=Sn+Sn-1（n2，nN*），an0，所以Sn-Sn-1=1（n2），又S1=a1=1=1，所以数列Sn是以1为首项，

5、1为公差的等差数列，所以Sn=1+n-1=n，所以Sn=n2当n2时，an=Sn-Sn-1=n2-n-12=2n-1，当n=1时，a1=1，满足上式，所以数列an的通项公式为an=2n-1（2）由（1）知bn=an2n=2n-12n，所以Tn=b1+b2+b3+bn=12+322+523+2n-12n，所以12Tn=122+323+524+2n-12n+1，所以12Tn=12+222+223+22n-2n-12n+1=1+12+122+12n-1-12-2n-12n+1 =1-12n1-12-12-2n-12n+1= 32-2n+32n+1，所以Tn=3-2n+32n3【详解】（1）由an+1

6、=4an-3n+1得an+1-n+1=4an-4n=4an-n，a1-1=10，所以数列an-n为首项为1，公比为4 的等比数列.（2）由（1）得an-n=14n-1，则an=4n-1+n，Sn=40+41+42+4n-1+1+2+3+n=14n-14-1+1+nn2=4n-13+n2+n2.4【详解】（1）因为4StanB=a2cosB+abcosA，所以412acsinBcosBsinB=a2cosB+abcosA，即2ccosB=acosB+bcosA，由正弦定理，得2sinCcosB=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)，因为A+B=-C，所以2sinCcosB=sin

7、C，因为C0,，所以sinC0，所以cosB=12，又B0,，所以B=3.（2）由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB，即9=a2+c2-ac，所以9=a+c2-3ac，即ac=13a+c2-9，因为S=12acsinB=34ac，l=a+c+3，所以Sl=3ac4a+c+3=3a+c2-912a+c+3，所以Sl=312a+c-3，又aca+c24（当且仅当a=c时取等号），所以9=a+c2-3aca+c24（当且仅当a=c=3时取等号），所以a+c6（当且仅当a=c=3时取等号），所以Sl=312a+c-33126-3=34（当且仅当a=c=3时取等号），即Sl的最大值为34.5【

8、详解】（1）如图，取AC中点为E，连接PE,BE.因为AC=4，AB=2，BAC=60，在ABC中，由余弦定理可得BC2=AC2+AB2-2ACABcos60 =12，所以BC=23，且BC2+AB2=AC2，所以BABC.又因为PAC为等边三角形，AC中点为E，所以，BE=12AC=2，PEAC，且PE=PA2-AE2=23.在PEB中，有PE2+BE2=16=PB2，所以，PEBE.因为BE平面ABC，AC平面ABC，BEAC=E，所以，PE平面ABC.因为PE平面PAC，所以，平面PAC平面ABC.（2）由（1）知，BABC，PE平面ABC.分别以BA,BC所在的直线为x,y轴，以过点B

9、且与PE平行的直线为z轴，如图建立空间直角坐标系，则B0,0,0，A0,2,0，C23,0,0，E3,1,0，P3,1,23，设Da,0,00a23，则BC=23,0,0，AP=3,-1,23，AD=a,-2,0，设n=x,y,z是平面APD的一个法向量，则有APn=0ADn=0，即3x-y+23z=0ax-2y=0，取x=43，则y=23a，z=a-23，n=43,23a,a-23.因为直线BC与平面APD所成角的正弦值为255时，所以有cosBC,n=255，即BCnBCn=255，所以有23432348+12a2+a-232=255，整理可得，13a2-43a=0，解得a=0或a=431

10、3.所以，点D与点B重合或BD=4313.6【详解】（1）E为CD中点，AB=4，DE=CE=2，又AD=2，四边形ABCD为矩形，AE2=BE2=22，AE2+BE2=AB2，AEBE又APBE，AEAP=A，AP，AE平面APE，BE平面APE，又BE平面ABCE，平面AEP平面ABCE（2）过点E作EQ平面ABCE，以E为坐标原点，以EA，EB，EQ所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A22,0,0，P2,0,2，C-2,2,0，E0,0,0，B0,22,0CP=22,-2,2，EC=-2,2,0，EA=22,0,0，设CM=CP，0,1，则EM=EC+CM=22-2,2-2,2，设n=x,y,z是平面AME的一个法向量，则nEM=0nEA=0即22x=022-2x+2-2y+2z=0，取y=，则x=0z=-1，n=0,-1又EB=0,22,0为平面APE的一个法向量，cosn,EB=22222+-12=2+-12，平面MAE与平面APE的夹角为4，2+-12=22，解得=12，点M为线段PC的中点