人教A版选修21第二章第一节曲线与方程.docx

1、曲线与方程教学目标 （1）结合己学实例，初步理解”曲线的方程”与”方 程的曲线”的含义，深化对解析法思想的认识； （2）经历曲线与方程对应关系的探究过程，发展抽象概括能力； （3）能运用曲线的方程（方程的曲线）的概念辨析或证明简单的具体问题，发展逻辑思维能力，培育理性精神。 教学重点 “曲线的方程”与”方程的曲线”的概念。 教学难点 （1）如何引导学生自主探究获得定义中的两个条件； （2）怎样利用定义证明方程是曲线的方程（曲线是方程的曲线）。 教学过程1、新课引入 教师：在解析几何中，我们已经学习了直线、圆、椭圆等多种曲线，经常有这样的问题，给一条曲线，让你求出它的方程；或者给一个方程，让你画

2、出它的曲线。这难道就没有值得同学们怀疑的地方?比如，”曲线与方程”究竟是什么关系，它们能不能相互表 示?依据什么说一个方程就是某曲线的方程，一条曲线就是某方程的曲线? 这节课，我们就来学习”曲线与方程” （板书课题）。 2、探究新知 2.1、明确方法 教师：我们如何研究曲线与方程的关系呢? （让学生略做思考后）曲线可以看做是由什么构成的集合?众生：点。 教师：所以，研究曲线，关键是抓住曲线上的每一个点（板书：曲线点）。曲线是点集，方程有什么集啊? 众生：解集。 教师：所以，研究方程应该抓住方程的每一个解 （板书：方程解）。 我们现在研究的曲线是平面曲线，方程是关于x，y的二元方程，那么，怎样才

3、能把曲线上的点与方程的解联系起来呢? 学生1：我认为，点的坐标就是方程的解。 教师：你的意思是借助坐标就可以沟通曲线上的点与方程的解，这很好!问题是，曲线上的点一定有坐标吗?什么情况下才有坐标? 学生1 ：需要建立平面直角坐标系。 教师：这就是解析几何创始人笛卡儿的伟大之处!在平面直角坐标系下，点坐标的形式是有序数对（x，y），而方程解的形式也是有序数对（x，y），二者找到了”共同语言”和联系的”纽带”。 根据以上分析，你认为可以从什么角度去研究曲线与方程的关系呢? 学生2：对于曲线上的点，看它的坐标是不是方程的解；反过来，以方程的解为坐标画点，看它在不在 曲线上。 2.2、实例感知 教师：我

4、们先来看几个具体的例子。 问题1：下列每组曲线与方程，你认为它们能不能相互表示? （PPT投影，每组依次呈现） （1）曲线：过点（1，1）且斜率为1的直线；方程： （思考片刻后） 学生3：我认为不能相互表示。 教师：你的理由是什么? 学生3：因为曲线上有点（1，1），而方程中没有（1，1）这组解，所以不能相互表示。 教师：也就是，对于这个方程来说，曲线上的点（1，1）是一一学生3：多余的。 教师：很好。由此可见，要想曲线与方程能够相互表示，曲线上的点能不能多啊? 众生：不能，多一个都不行。 （板书：一点不多） （2）曲线：OAB中AB边上的中线，其中0（0，0），A（2，0），B（0，2）；方

5、程x-y=0。 （思考片刻后） 学生4：不能相互表示。 教师：你是怎么想的? 学生4：曲线是三角形的中线，它是一条线段；而方程表示一条直线，不一样。 教师：现在，你能否换一种方式说明曲线与方程 如何不一样?比如，这条曲线上的点有多余的吗? 学生4：没有。 教师：即然点没有多余的，为什么还不能相互表示? 学生4：曲线上的点少了。 教师：“点少了”是什么意思? 学生4：就是以方程的解为坐标画点，有的点不在中线上。 教师：能否举个例子? 学生4：比如，方程中有（-1，-1）这组解，但点（-1，-1）不在曲线上。 教师：很好!由此可见，要想曲线与方程能够相互表示，曲线上的点能不能少? 众生：不能。少一

6、个都不行。 （板书：一点不少） （3）曲线：到坐标原点距离为2的圆在x轴上方的部分；方程：x=4-y2。 （思考片刻后） 学生5：不能相互表示。教师：理由是什么?点有多余的还是点有遗漏的? 学生5：既有多余的点，也有遗漏的点。 教师：能否举具体的例子? 学生5：比如说，曲线上有点（-1，3），但（-1，3）不是方程的解；方程有（0，-2）这组解，但（0，-2） 这个点不在曲线上。 教师：这位同学说得非常到位! 2.3、归纳概括 教师：通过这三组例子，你能否概括一下，曲线与方程要想能够相互表示，需要满足哪些条件? （思考片刻后） 学生6：首先，曲线上所有点的坐标都是方程的解；然后，以方程的解为坐

7、标的点都在曲线上。（教师 板书） 教师：这两个条件是只需要满足其中一个即可，还是缺一不可? 众生：缺一不可。 教师：如果同时满足这两个条件，那么曲线与方程就可以相互表示，此时，曲线与方程之间建立了一种等价关系，方程就叫作曲线的方程，曲线就叫作方程的曲线。（教师板书并投影定义） 教师：你认为，“曲线的方程”和“方程的曲线”这两个概念有没有区别? 学生7 ：有区别，所强调的对象不一样“曲线的方程”，对象是方程；“方程的曲线”，对象是曲线。 教师：很好!那这两个概念有没有共同点呢? 学生8：无论是曲线的方程，还是方程的曲线，要想成立都必须同时满足上面两个条件。 深化理解 3.1、反思辩析 教师：学过

8、了概念之后，我们回到刚才的例子，共同反思。在每一组例子中，方程能否叫作曲线的方 程，曲线能否叫作方程的曲线?为什么? 众生：不能。因为至少不符合两条中的一条。 问题2：在上述每组曲线与方程中，你能否修改曲线与方程中的一个，使得方程变成曲线的方程，曲 线变成方程的曲线?试一试。（PPT投影，每组依次呈现） （1）曲线：过点（l，1）且斜率为1的直线；方程：学生9：曲线不动，方程改为y-2x-2=1。教师：这样修改后，方程是否就变成了曲线的方程? 学生9 ：是的。这样曲线上的点（l，1）坐标就满足方程了。 教师：嗯!这一个点的坐标满足方程就行了吗? 学生9 ：别的点的坐标本来就满足方程。 （教师微

9、笑地看着学生9，没有说一句话） 学生9（恍然大悟）：哦，曲线上的点（2，2）不行。 教师：这叫“按下葫芦浮起瓢”，我把方程改为y-3x-3=1，行不行？学生9：还不行，曲线上的点（3，3）是多余的。 教师：那到底该怎么改才行? 学生9：我明白了!去掉分母，改为y=x。 教师：现在行了吗?为什么? 众生：行了。符合定义中的两条，此时曲线上的所有点（包括点（l，1）的坐标都是方程的解；同时以这个方程的解为坐标的点都在曲线上。 教师：如果方程不动，修改曲线，怎么办? 学生10：过原点且斜率为1的直线，去掉（1，1）点。 教师：很好!如何说明答案的正确性呢? 学生11：还是抓定义，修改以后，曲线上没有

10、点（1，1），方程中也没有（1，1）这组解。其他的点和解都能建立一一对应关系。（2）曲线：OAB中AB边上的中线，其中O（0，0），A（2，0），B（0，2）；方程x-y=0。 学生12：曲线不动，修改方程。把方程中的x加一个范围限制，改为x-y=0（0x1），这样就符合定义中的两条。 教师：好的。如果方程不动，如何修改曲线? 学生13：把曲线改为OAB中AB边上的中线所在的直线，同样也能符合定义中的两条。 教师：非常棒! （3）曲线：到坐标原点距离为2的圆在x轴上方的部分；方程：x=4-y2。 学生14：若曲线不动，方程可改为y=4-x2 ，其中x2。 教师：为什么对x的范围加以限制啊? 学

11、生14：因为曲线是圆在x轴上方的部分，不包括圆与x轴的两个交点。 教师：这位同学的思维很严谨!我想把根号去掉，方程改为x2+y2=4，行不行? 众生：不行，要加上范围y0。 教师：若方程不动，曲线该怎么修改? 学生15：曲线可改为到坐标原点距离为2的圆在y轴及其右侧的部分。 教师：包不包括圆与y轴的两个交点? 学生15：包括。 教师：你的思维也非常严谨! 3.2、尝试证明 问题3：证明：以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程是x2+y2=25。（PPT投影） （教师没有做任何分析提示，让学生独立书写证明过程，教师巡视过程中与个别学生交流。3分钟后，展示学生证明过程） 教师：要想证明这个结论，需

12、要完成哪几件事? 学生16：两件事，一是要证明圆上所有点的坐标都是这个方程的解；二是要证明以这个方程的解为坐 标的点都在圆上。教师：你能回到定义去思考问题，这很好。对于第一件事，我们要弄清楚“已知什么，要证明什么”，你 是怎么想的? 学生16：已知P（X0，Y0）是这个圆上任意一点，要证明（X0 ，Y0）是方程的解。 教师：对于第二件事，我们也要弄清楚“己知什 么，要证明什么”，你又是怎么想的? 学生16：已知（Xl ，Y1）是方程的任意一组解，要证明点Q（Xl ，Y1）在这个圆上。 教师：请同学们具体操作，分别完成这两件事。 （学生动手，教师巡视，然后用实物投影仪展示学生17的求解过程） 教

13、师：己知P（X0，Y0）是圆上任意一点，得到x02+y02=5，依据是什么? 学生17：（思考片刻后）根据圆的定义，圆上任意一点到圆心的距离等于半径，然后利用两点间的距离公式得到这个式子。 教师：很好，接下来，两边平方得到 x02+y02=25，这个等式意味着什么? 学生17 ：意味着（X0，Y0）满足方程x02+y02=25，是这个方程的解。 教师：第一件事完成得漂亮!再来看第二件事：设数对P1 （X1，Y1）是方程X2 + y2 = 25的一组解，则 x12十y12 =25，这里的数对P1 （X1，Y1）是方程的某一组解，还是任意一组解? 学生17：是任意一组解。 教师：好的，无论证明定义

14、的哪一方面，都要体现任意性。接下来，两边同时取算术平方根，得到x12+y12=5 ，为什么就可以判定点P1在这个圆上? 学生17：利用了等式的几何意义，等式可化为（x-0）2+（y-0）2=5，即（X1，Y1）到（0，0）的距离为5，再根据圆的定义知，点P1 （X1，Y1）一定在圆上。 教师：从上述过程可以看出，无论是证明哪一件事，都需要充分利用曲线的定义或性质，合理地对等式进行代数运算、恒等变形等。 教师：现在，对于点A（-4 ，2） ，B（3，4），你如何判断它们是否在这个圆上? 学生18：（-4，2）不是方程的解，所以点A不在圆上；（3，4）是方程的解，所以点B在圆上。 教师：点在不在圆

15、上，是一个几何问题；有序数对是不是方程的解，是一个代数问题。代数问题的结 论，为什么可以用来回答几何问题呢? 学生19：我们刚刚已经证明了这个方程就是圆的方程，方程与圆是一种等价关系，因此可以用方程来代替曲线。 教师：毫不夸张地说，曲线与方程的定义是整个解析几何的根基，如果没有它，用代数方法处理几何问题就失去了依据。 课堂小结 教师：现在，大家共同回顾本节课，看看有哪些收获? 一点不少一点不多一点不多一点不少点曲线解方程教师引导学生结合板书从三个方面归纳：（l）曲线的方程、方程的曲线慨念，特别是定义中两个条件的本质以及它们之间相互依存、缺一不可的关系；（2）在概念学习的过程中，运用了从特殊到一

16、般、数形 结合、转化与化归等数学思想方法；（3）曲线的方程、 方程的曲线概念对解析几何具有奠基意义。如图1， 具体从略。 中图1 布置作业 （1）各举一组曲线与方程的例子，使其分别具备条件1而不具备条件2、具备条件2而不具备条件1。 （2）前面我们推导过焦点为F1（-c，0），F2（c，0），长轴长为2的椭圆方程，主要过程如下： 设M（x，y）是该椭圆上的任意一点，根据椭圆的定义，有MF1+MF2=2a，即（x+c）2+y2+(x-c）2+y2=2a，移项、平方、整理得： a2-cx=a(x-c)2+y2。再平方、整理得： a2-c2x2+a2y2=a2(a2-c2)令b2=a2-c2，可得b2x2+a2y2=a2b2 ，即x2a2+y2b2=1 (b0）。 至此，我们能断定这个方程就是该椭圆的方程吗?怎样才能断定?请补充必要的证明过程。