人教版数学九年级上册 课程讲义第二十一章：21.1 一元二次方程-解析版.docx

1、 初识一元二次方程知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础一般B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习一元二次方程，熟悉一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的解的概念和相关运算，本节课的重点和是一元二次方程概念的理解，难点是一元二次方程一般形式的判断，通过本节课的学习对一元二次方程有个整体的认识，为后面的解方程打下基础。知识梳理讲解用时：20分钟一元二次方程的定义（1）定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母，那么分母中无未

2、知数；只含有一个未知数；未知数的最高次数是2一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a0），这种形式叫一元二次方程的一般形式；其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项；c叫做常数项，一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了。（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式。一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，

3、又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根；（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解，当x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量：ax12+bx1+c=0（a0），ax22+bx2+c=0（a0）课堂精讲精练【例题1】方程2x26x5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）。A6、2、5 B2、6、5 C2、6、5 D2、6、5【答案】C【解析】本题考查了一元二次方程的一般形式，方程2x26x5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2、6、5，故选：

4、C。讲解用时：2分钟解题思路：一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项。教学建议：熟记一元二次方程定义。难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：红桥区模拟 年份：2019【练习1】把一元二次方程（1x）（2x）=3x2化成一般形式ax2+bx+c=0（a0）其中a、b、c分别为（）。A2、3、1 B2、3、1 C2、3、1 D2、3、1 【答案】B【解析】本题考查了一元二次方程的一般形式，原方程可整理为：2x23x1=0，a=2，b=3，c=1，故选：B。讲解用时：2分钟解题思路：首先将已知方程进行整理，化为一元二次方程的一般形

5、式，再来确定a、b、c的值。教学建议：首先将已知方程进行整理成一般形式，再来确定a、b、c的值。难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：宁波期中 年份：2019【例题2】下列方程中是一元二次方程的是（）。Axy+2=1 B Cx2=0 Dax2+bx+c=0【答案】C 【解析】本题考查了一元二次方程的定义，A、是二元二次方程，故本选项错误；B、是分式方程，不是整式方程，故本选项错误；C、是一元二次方程，故本选项正确；D、当a 、b 、c是常数，a0时，方程才是一元二次方程，故本选项错误，故选：C。讲解用时：3分钟解题思路：根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数是2次得

6、整式方程，即可判断答案。教学建议：熟记一元二次方程的一般形式即可，注意D选项的正误。难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：绥化模拟 年份：2019【练习2】 下列方程是一元二次方程的是（）。Aax2+bx+c=0B3x22x=3（x22）Cx32x4=0D（x1）2+1=0【答案】D 【解析】本题考查了一元二次方程的定义，A、当a=0时，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；B、由原方程得到2x6=0，未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项错误；C、未知数最高次数是3，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；D、符合一元二次方程的定义，故本选项正确，故选：D。讲解用时：3分钟解题思路

7、：一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数，由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案。教学建议：熟记一元二次方程的一般形式即可。难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：潮南区期末 年份：2019【例题3】 关于x的方程（a1）x|a|+13x+2=0是一元二次方程，则（）。Aa1 Ba=1 Ca=1 Da=1【答案】C【解析】本题考查一元二次方程的定义，由题意可知： a=1，故选：C。讲解用时：5分钟解题思路：根据一元一次方程的定义列出关于a的等式求解即可。教学建议：熟练运用一元二次方程的定义。难

8、度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：中江县模拟 年份：2019【练习3】 已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（）。A1 B1 C1 D不能确定【答案】A 【解析】此题主要考查了一元二次方程的定义，关于x的方程是一元二次方程，m+10，m2+1=2，解得：m=1，故选：A。讲解用时：5分钟解题思路：直接利用一元二次方程的定义得出关于m的等式，进而得出答案。教学建议：熟练运用一元二次方程的定义。难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：杭州期中 年份：2019【例题4】 若关于x的一元二次方程ax2bx+4=0的解是x=2，则2020+2a-b的值是 。【答案】2019【解析】本题考查了

9、一元二次方程的解定义，关于x的一元二次方程ax2bx+4=0的解是x=2，4a2b+4=0，则2ab=2，2020+2ab=2020+（2ab）=2020+（2）=2019。讲解用时：3分钟解题思路：把x=2代入已知方程求得2ab的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可。教学建议：先代入，再整理。难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：河北模拟 年份：2019【练习4】 已知m是方程x2x2=0的一个根，则代数式m2m+3= 。【答案】5 【解析】本题考查了一元二次方程的解定义，把x=m代入方程x2x2=0可得：m2m2=0，即m2m=2，m2m+3=2+3=5。讲解用时：3分钟解题思路

10、：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将m代入原方程即可求m2m+1的值。教学建议：先代入，再整理。难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：潮南区期末 年份：2019秋【例题5】若方程ax2+bx+c=0（a0）中，a，b，c满足a+b+c=0和ab+c=0，则方程的根是 。【答案】1【解析】本题就是考查了方程的解的定义，在这个式子中，如果把x=1代入方程，左边就变成a+b+c，又由已知a+b+c=0可知：当x=1时，方程的左右两边相等，即方程必有一根是1，同理可以判断方程必有一根是1，则方程的根是1，1。讲解用时

11、：3分钟解题思路：本题根据一元二次方程的根的定义求解。教学建议：本题根据一元二次方程的根的定义求解。难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：龙口市期中 年份：2019【练习5】若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的一个根，则2019（a+b+c）= 。【答案】0【解析】本题考查了一元二次方程的解，把x=1代入ax2+bx+c=0（a0）得a+b+c=0，所以2019（a+b+c）=20190=0。讲解用时：3分钟解题思路：先根据一元二次方程的解的定义把x=1代入方程得到a+b+c=0，然后利用整体代入的方法计算2019（a+b+c）的值。教学建议：本题根据一元二次方程的

12、根的定义求解。难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：巫山县校级月考 年份：2019【例题6】已知关于x的方程（m21）x2+（m1）x2=0（1）当m为何值时，该方程为一元二次方程？（2）当m为何值时，该方程为一元一次方程？【答案】（1）m1；（2）1【解析】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的定义，（1）关于x的方程（m21）x2+（m1）x2=0为一元二次方程，m210，解得m1，即当m1时，方程为一元二次方程；（2）关于x的方程（m21）x2+（m1）x2=0为一元一次方程，m21=0，且m10，解得m=1，即当m为1时，方程为一元一次方程。讲解用时：8分钟解题思路：（1）由一元二

13、次方程的定义可得关于m的不等式，可求得m的取值；（2）由一元一次方程的定义可利关于m的方程，可求得m的值。教学建议：根据方程的一般形式求解即可。难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：新罗区校级期中 年份：2019【练习6】已知关于x的方程（m+2）x|m|+2x1=0，（1）当m为何值时是一元一次方程；（2）当m为何值时是一元二次方程。【答案】（1）m=0，-2，1；（2）m=2【解析】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的定义，（1）由题意，得当m=0时，2x+1=0是一元一次方程，当m+2=0时，（m+2）x|m|+2x1=0是一元一次方程，当m=1时，（m+2）x|m|+2x1=0是

14、一元一次方程，综上m=0，-2，1。（2）由题意，得|m|=2，且m+20，解得m=2，当m=2时，（m+2）x|m|+2x1=0是一元二次方程。讲解用时：8分钟解题思路：（1）根据一元一次方程的定义，可得答案；（2）根据一元二次方程的定义求解，未知数的最高次数是2；二次项系数不为0，由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可。教学建议：根据方程的一般形式求解即可。难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：靖远县校级月考 年份：2019【例题7】关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=1（a，m，b为常数，a0），求a（x+m+6）2+b=0的解。【答案】x=8或x=5【解析】本题

15、主要考查方程的解，根据方程的特点将待求方程中x+3看做已知方程中的未知数x是解题的关键，方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=1，方程a（x+m+6）2+b=0中x+6=2或x+6=1，解得：x=8或x=5，故答案为：x=8或x=5讲解用时：5分钟解题思路：两个方程只有平方项不一样，因而应该对平方项进行分析即可。教学建议：利用整体思想处理。难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：拱墅区校级期末 年份：2019【练习7】我们知道方程x2+2x3=0的解是x1=1，x2=3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）-3=0，求它的解。【答案】 x1=1，x2=3【解析】本题考查了一

16、元二次方程的解以及整体思想处理问题，把方程（2x+3）2+2（2x+3）-3=0看作关于2x+3的一元二次方程，所以2x+3=1或2x+3=3，所以x1=1，x2=3。讲解用时：8分钟解题思路：先把方程（2x+3）2+2（2x+3）3=0看作关于2x+3的一元二次方程，利用题中的解得到2x+3=1或2x+3=3，然后解两个一元一次方程即可。教学建议：整体思想的应用。难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：温州 年份：2019【例题8】 已知a、b、c为三角形三个边，求证：ax2+bx（x1）=cx22b是关于x的一元二次方程。【答案】证明：化简ax2+bx（x1）=cx22b，得（a+bc）x

17、2bx+2b=0，a、b、c为三角形的三条边，a+bc，即a+bc0，ax2+bx（x1）=cx22b是关于x的一元二次方程。【解析】本题主要考查了一元二次方程的概念及三角形三边关系定理，证明：化简ax2+bx（x1）=cx22b，得（a+bc）x2bx+2b=0，a、b、c为三角形的三条边，a+bc，即a+bc0，ax2+bx（x1）=cx22b是关于x的一元二次方程。讲解用时：8分钟解题思路：首先将ax2+bx（x-1）=cx2-2b化简整理成（a+b-c）x2bx+2b=0，然后根据一元二次方程的定义解答。教学建议：熟悉三角形三边关系。难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：淮北校级月考

18、 年份：2019【练习8】一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是1，且a、b、c满足，请问x=2是该一元二次方程的根吗？【答案】不是【解析】本题考查了二次根式的定义和一元二次方程的解，a20，2a0，解得：a=2，b=0+03=3，一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是1，代入得：212+（3）1+c=0，则23+c=0，c=1，即方程为2x23x+1=0，把x=2代入得：左边=86+1=0，右边=0，左边右边，即x=2不是该一元二次方程的解。讲解用时：10分钟解题思路：根据二次根式的定义求出a，代入求出b，把x a b的值代入方程，求出c，即可得出该方程，把x=2代入方程看看方程两边

19、是否相等即可。教学建议：判断出a的值是解题的关键。难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：罗田县期中 年份：2019【例题9】若m是一元二次方程方程x2=0的一个实数根。（1）求a的值；（2）不解方程，求代数式（m2m）（m+1）的值。【答案】（1）a=3；（2）4【解析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义，（1）由于x2=0是关于x的一元二次方程，所以|a|1=2，解得：a=3；（2）由（1）知，该方程为x2x2=0，把x=m代入，得m2m=2，又因为m1=0，所以m=1，把代入（m2m）（m+1），得（m2m）（m+1）=2（1+1）=4讲解用时：10分钟解题思路：（1）

20、根据一元二次方程的定义来求a的值；（2）由（1）得到该方程为x2x2=0，把x=m代入可以求得（m2m）、（m+1）的值；然后将其整体代入即可求得所求代数式的值。教学建议：整体思想的应用。难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：郾城区校级期中 年份：2019秋【练习9】如果关于x方程有实数根，试确定a、b应满足的关系。【答案】a、b异号或a=0且b=0【解析】本题考查了含参数方程的分类讨论，（1）当a0时，原方程为一元二次方程， 当a、b异号时，原方程有实数根；（2）当a=0时，原方程为等式，当b=0时，原方程有无数解； 综上：当a，b异号或a=0且b=0时，原方程有实数根讲解用时：10分钟解

21、题思路：根据未知数最高次项的系数是否为0，判断方程类型。当a0时，原方程为一元二次方程，当a=0时，原方程为等式。教学建议：根据未知数最高次项的系数是否为0，判断方程类型。难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2019课后作业【作业1】 下列方程中，是一元二次方程的是（）。Ax23=（x2）（x+3）B（x+3）（x3）=6CDxy+2x=1【答案】B【解析】本题考查一元二次方程的定义，（A）x23=x2+x6，所以3=x6，故A不是一元二次方程；（C）该方程不是整式方程，故C不是一元二次方程；（D）该方程有两个未知数，故D不是一元二次方程；故选：B。讲解用时：3分钟难度：3 适应

22、场景：练习题 例题来源：滨湖区期末 年份：2019【作业2】 m是方程x2+x1=0的根，则式子2m2+2m+2019的值为（）。A2019 B2019 C2019 D2019【答案】D【解析】本题考查了一元二次方程的解，m是方程x2+x1=0的根，m2+m1=0，m2+m=1，2m2+2m+2019=2（m2+m）+2019=21+2019=2019，故选：D。讲解用时：5分钟难度：4 适应场景：练习题 例题来源：金平区期末 年份：2019【作业3】已知关于x的方程（m29）x2+（m+3）x5=0，当m为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解；当m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个方程的二次項系数、一次项系数及常数项。【答案】m=3，6x5=0，x=；m3，二次项系数为：m29（m3）；一次项系数为：m+3；常数项为：-5【解析】本题考查一元二次方程和一元一次方程的概念，根据一元一次方程的定义可知：m29=0，m+30，解得：m=3，此时化简方程为：6x5=0，解得：x=；根据一元二次方程的定义可知：m290，解得：m3，该方程的二次项系数为：m29（m3）；一次项系数为：m+3；常数项为：-5。讲解用时：4分钟难度：4 适应场景：练习题 例题来源：巴东县期末 年份：2019