人教版数学九年级上册 课程讲义第二十一章：21.2 解一元二次方程-解析版.docx

1、解一元二次方程知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础一般B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们要主要学习一元二次方程的求解，重点掌握直接开平方法、因式分解法、配方法以及公式法解一元二次方程，本节的重点是能够根据不同的方程特征选择合适的解法，难点是一元二次方程与其他知识点的结合考查，希望同学们认真学习，熟练使用各种解法，为后面一元二次方程的应用奠定良好基础。知识梳理讲解用时：30分钟特殊的一元二次方程的解法特殊的一元二次方程的解法主要有两种即直接开平方法和因式分解法：（1）解一元二次方程直接开平方法形如x2=p或（nx+m）2=p（p0）的一元二次方程可采用直接

2、开平方的方法解一元二次方程。如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=；如果方程能化成（nx+m）2=p（p0）的形式，那么nx+m=注意：等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程方法是根据平方根的意义开平方（2） 解一元二次方程因式分解法通过将一元二次方程因式分解成（x-p）（x-q）=0的形式，进而将一元二次方程的求解过程转化成求解两个一元一次方程的方法叫因式分解法。因式分解法的一般步骤： 移项，将方程右边化为零； 将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积； 令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；分别解这两个一元一次方程，

3、它们的解就是原方程的解一般的一元二次方程的解法一般的一元二次方程的解法主要有两种即配方法和公式法：（1）解一元二次方程配方法将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。用配方法解一元二次方程的步骤：把原方程化为ax2+bx+c=0（a0）的形式；方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；方程两边同时加上一次项系数一半的平方；把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解（2）解一元二次方程公式法把（b24ac0）叫做

4、一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的求根公式。用公式法解一元二次方程的一般步骤为：把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；求出b24ac的值（若b24ac0，方程无实数根）；在b24ac0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根注意：用公式法求解一元二次方程的前提条件有两个：a0；b24ac0课堂精讲精练【例题1】一元二次方程（x2019）2+2019=0的根的情况是（）。A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根C只有一个实数根 D无实数根【答案】D【解析】考查了直接开平方法解一元二次方程，由原方程得到：（x2019）2=2019，（x2019）20，2

5、0190，该方程无解，故选：D.讲解用时：2分钟解题思路：先移项，然后利用直接开平方法解方程。教学建议：形如x2=p或（nx+m）2=p（p0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程。难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：余干县校级期末 年份：2019秋【练习1】 已知一元二次方程mx2+n=0（m0），若方程有解，则必须（）。An=0 Bmn同号 Cn是m的整数倍 Dmn异号【答案】D 【解析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，mx2+n=0，则mx2=n，即x2=，x20，m0，mn异号，故选：D.讲解用时：2分钟解题思路：由mx2+n=0移项得mx2=n，再两边同时

6、除以m，可得x2=，再根据偶次幂的非负性可得mn异号。教学建议：解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a0）的形式，利用数的开方直接求解。难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：海原县校级期中 年份：2019秋【例题2】在实数范围内定义运算“”，其规则为ab=a2b2，则方程（43）x=13的根为 。【答案】x1=6，x2=6【解析】本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程，根据新定义可以列方程：（4232）x=13，则72x2=13，49x2=13，则x2=36，x1=6，x2=6，故答案为：x1=6，x2=6.讲解用时：3分钟解题思路：根据

7、新定义列出方程，把方程的左边化成完全平方的形式，右边是一个非负数，用直接开平方法求出方程的根。教学建议：根据定义转化为一元二次方程。难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：甘州区校级期中 年份：2019【练习2】 定义新运算“”，对于非零的实数a，b，规定ab=b2，若2（x1）=3，则x= 。【答案】1+或1 【解析】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程的知识，ab=b2，且2（x1）=3，（x1）2=3，x1=，x1=1+，x2=1，故答案为1+或1。讲解用时：2分钟解题思路：根据定义ab=b2把2（x1）=3转化为一元二次方程，利用直接开平方法求出方程的解即可。教学建议：根据定义转化

8、为一元二次方程。难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无棣县模拟 年份：2019【例题3】 三角形的每条边的长都是方程x27x+10=0的根，则三角形的周长是 。【答案】12或6或15【解析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，方程x27x+10=0，分解因式得：（x2）（x5）=0，解得：x=2或x=5，三角形三边长为2，2，5（舍去）；2，5，5；2，2，2；5，5，5，则周长为12或6或15讲解用时：5分钟解题思路：方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求出解，利用三角形的三边关系判断，求出三角形周长即可。教学建议

9、：先将方程整理为一般形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解。难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：和平区一模 年份：2019【练习3】 已知a，3是直角三角形的两条直角边，第三边的长满足方程x29x+20=0，则a的值为 。【答案】4或【解析】本题考查了解一元二次方程因式分解法以及勾股定理，x29x+20=0，即（x4）（x5）=0，x4=0，x5=0，解得x1=5，x2=4，a和3是两直角边时，第三边是5或4，a=4或故答案是：4或。讲解用时：5分钟解题思路：因式分解法解一元二次方程求出方程的解，得出直角三角形的斜边长，再根据勾股定理求出第三边即可

10、教学建议：当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解。难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：西城区校级期末 年份：2019春【例题4】将一元二次方程x2+6x5=0化成（xm）2=n的形式，则（mn）2019=。【答案】 1【解析】本题考查了解一元二次方程配方法，由已知方程得x26x=5，x26x+9=5+9，则（x3）2=4，m=3，n=4，-（m-n）2019=（34）2019=1讲解用时：5分钟解题思路：先利用配方法得到（x3）2=4，则m=3，n=4，然后利用乘方的意义计算-（m-n）2019的值。教学建议：熟练掌握配方法的过程。难度：3 适应场景：

11、当堂例题 例题来源：中山市月考 年份：2019春【练习4】若方程2x2+8x32=0能配方成（x+p）2+q=0的形式，则直线y=px+q不经过的象限是 。【答案】第二象限【解析】本题考查了解一元二次方程配方法以及一次函数图像的相关知识点，由已知方程得x2+4x=16，则x2+4x+4=20，（x+2）2=20，则p=2，q=20，直线解析式为y=2x20，此直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限讲解用时：5分钟解题思路：利用配方法得到（x+2）2=20，所以p=2，q=20，则直线解析式为y=2x20，然后根据一次函数的性质解决问题。教学建议：通过配方法确定p和q的值，再根据一次函数的图像

12、性质解题。难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：和平区校级月考 年份：2019秋【例题5】小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式时，对于b24ac0的情况，他是这样做的：小明的解法从第 步开始出现错误；这一步的运算依据应是。【答案】四、平方根的定义【解析】本题考查了利用配方法推导一元二次方程求根公式，小明的解法从第四步开始出现错误；这一步的运算依据应是平方根的定义；故答案为四；平方根的定义讲解用时：8分钟解题思路：用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边

13、写成完全平方式；第四步，直接开方即可；（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方。教学建议：可先带领学生一起推导。难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：丰台区一模 年份：2019【练习5】等腰三角形的边长是方程x2+1=0的两根，则它的周长为 。【答案】 3+1【解析】本题考查了一元一次方程的解法、等腰三角形的性质和三角形的三边关系，由一元二次方程求根公式解方程x22x+1=0的两根，得x1=+1，x2=1，等腰三角形的边长是方程x22x+1=0的两根，等腰三角形的三边为+1，+1，1，+1，1，1，+11+1，不能构成三角形，等腰三角形

14、的三边为+1，+1，1，它的周长为3+1.讲解用时：8分钟解题思路：先解方程，求得两根为x1=+1，x2=1，再根据三角形的三边关系，得等腰三角形的腰为+1，从而求出周长。教学建议：能够根据三角形三边关系进行取舍。难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：涪陵区校级月考 年份：2019【例题6】 解方程：（1）（2x1）2=9 （2）x2+3x4=0（用配方法）（3）3x2+5（2x+1）=0（用公式法） （4）7x（5x+2）=6（5x+2）【答案】（1）x1=2，x2=1；（2）x1=1，x2=4；（3）x1=，x2=；（4）x1=，x2=【解析】本题考查一元二次方程的解法，（1）（2x1）

15、=3，x1=2，x2=1（2）x23x=4，x23x+（）2=4+（）2，（x）2=，x= ，x1=1，x2=4（3）3x2+10x+5=0，a=3，b=10，c=5，=10060=400，x=，x1=，x2=（4）（5x+2）（7x6）=0，5x+2=0或7x6=0，x1=，x2=讲解用时：10分钟解题思路：（1）利用直接开方法解方程即可；（2）根据配方法的步骤解方程即可；（3）根据公式法的步骤解方程即可；（4）利用因式分解法解方程即可；教学建议：根据方程的特点，选择合适的方法解方程。难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：蓬溪县期末 年份：2019秋【练习6】（1）用配方法解方程：3x21

16、2x+9=0；（2）用公式法解方程：3x29x+4=0【答案】（1）x1=3，x2=1；（2）x1=，x2=【解析】本题考查了解一元二次方程，（1）两边同除以3，得x24x+3=0，移项，得x24x=3，配方，得x24x+4=3+4，（x2）2=1，则x2=1，x1=3，x2=1；（2）a=3，b=9，c=4，=b24a c=（9）2434=330，方程有两个不相等的实数根为x=，x1=，x2=讲解用时：8分钟解题思路：（1）移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可；（2）先求出b24ac的值，再代入公式求出即可。教学建议：熟记解一元二次方程的各个方法。难度：4 适应场

17、景：当堂练习 例题来源：惠民县期末 年份：2019秋【例题7】关于x的一元二次方程mx2+nx=0的一根为x=3，则关于x的方程m(x+2)2+nx+2n=0的根为 。【答案】1或2【解析】本题主要考查一元二次方程的解，由方程根的定义求得m和n的关系是解题的关键。关于x的一元二次方程mx2+nx=0的一根为x=3，9m+3n=0，解得n=3m，且m0，关于x的方程m（x+2）2+nx+2n=0为mx2+4mx+4m3mx6m=0，整理可得mx2+mx2m=0，m0，x2+x2=0，解得x=1或x=2，故答案为：1或2.讲解用时：8分钟解题思路：把x=3代入方程可求得m和n的关系，再代入所求方程

18、整理可求得答案。教学建议：本题的关键在于找出m与n的关系，可由方程的根构造等式解决。难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：惠山区校级期中 年份：2019秋【练习7】若mn0，m2+n2=4mn，则的值等于 。【答案】2 【解析】本题考查了完全平方公式的运用以及配方法处理一元二次方程，mn0，m2+n2=4mn，（m+n）2=6mn，（mn）2=2mn，m+n=，mn=，讲解用时：8分钟解题思路：根据已知条件求得m+n=，mn=；然后将所求的代数式转化为含有m+n、mn的形式的代数式，并将m+n=，mn=代入求值即可。教学建议：根据已知条件将m+n、mn用所求代数式的分母mn表示的形式，便于约

19、分，从而求得的值。难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：苏州模拟 年份：2019【例题8】已知方程x23x+1=0（1）求x+的值；（2）求x的值；（3）若a为方程x23x+1=0一个根，求2a26a+2019的值【答案】 （1）3；（2）；（3）2019【解析】本题考查了一元二次方程的解的意义、等式的性质以及完全平方公式，（1）x23x+1=0，x0，方程两边同时除以x，得x3+=0，x+=3；（2）（x）2=（x+）24=94=5，x=；（3）a为方程x23x+1=0一个根，a23a+1=0，a23a=1，2a26a+2019=2（a23a）+2019=2+2019=2019.讲解用时：

20、8分钟解题思路：（1）由x23x+1=0，可知x0，将方程两边同时除以x，得到x3+=0，即可求出x+=3；（2）利用完全平方公式得出（x）2=（x+）24=94=5，那么x=；（3）将x=a代入方程x23x+1=0，整理得出a23a=1，那么2a26a+2019=2（a23a）+2019=2019。教学建议：经典题型，熟练运用公式进行分析处理。难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：洪泽县期末 年份：2019秋【练习8】阅读下列材料：（1） 关于x的方程x23x+1=0（x0）方程两边同时乘以得：即，（2）a3+b3=（a+b）（a2ab+b2）；a3b3=（ab）（a2+ab+b2）根据以

21、上材料，解答下列问题：（1）x24x+1=0（x0），则=， ；（2）2x27x+2=0（x0），求的值。【答案】（1）4，14，194；（2）【解析】本题考查一元一次方程的解、完全平方公式、立方和公式，（1）x24x+1=0，（）2=16，14，=196，196，194（2）2x27x+2=0，讲解用时：10分钟解题思路：（1）模仿例题利用完全平方公式即可解决；（2）模仿例题利用完全平方公式以及立方和公式即可。教学建议：灵活应用完全平方公式，记住两边平方不能漏项（利用完全平方公式整体平方）。难度：5 适应场景：当堂练习 例题来源：郴州模拟 年份：2019课后作业【作业1】 方程x2+m=0有

22、实数根的条件是（）。Am0 Bm0 Cm0 Dm0 【答案】D【解析】方程x2+m=0有实数根的条件是m0，即m0，故选：D讲解用时：2分钟难度：3 适应场景：练习题 例题来源：西陵区校级月考 年份：2019秋【作业2】等腰三角形的边长是方程x26x+8=0的解，则这个三角形的周长是 。【答案】10或6或12【解析】此题考查了一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质，x26x+8=0，（x2）（x4）=0，解得：x=2或x=4，等腰三角形的底和腰是方程x26x+8=0的两根，当2是等腰三角形的腰时，2+2=4，不能组成三角形，舍去；当4是等腰三角形的腰时，2+44，则这个三角形的周长为2+4+4=10当边长为2的等边三角形，得出这个三角形的周长为2+2+2=6当边长为4的等边三角形，得出这个三角形的周长为4+4+4=12这个三角形的周长为10或6或12。讲解用时：8分钟难度：4 适应场景：练习题 例题来源：曲靖一模 年份：2019【作业3】定义，则方程（x*x2）（x2*x）=2的解为 。【答案】【解析】此题考查了解一元二次方程公式法，根据题中的新定义得：，方程变形为，整理得：x2x4=0，这里a=1，b=1，c=4，=1+16=17，讲解用时：8分钟难度：4 适应场景：练习题 例题来源：茶陵县校级月考 年份：2019