人教版高数选修4-4第2讲：参数方程（教师版）.docx

1、参数方程_1.了解直线参数方程,曲线参数方程的条件及参数的意义2.会选择适当的参数写出曲线的参数方程3.掌握参数方程化为普通方程几种基本方法4.了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义5.利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题一.参数方程的定义1.一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任一点P的坐标x和y都可以表示为某个变量t的函数：；反过来，对于t的每个允许值，由函数式所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程叫作曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程，参数方程可以转化为普通方程2关于参数的说明参数方程中参数可以有

2、物理意义、几何意义，也可以没有明显意义3曲线的参数方程可通过消去参数而得到普通方程；若知道变数x、y中的一个与参数t的关系，可把它代入普通方程，求另一变数与参数t的关系，则所得的，就是参数方程二.圆的参数方程点P的横坐标x、纵坐标y都是t的函数：(t为参数)我们把这个方程叫作以圆心为原点，半径为r的圆的参数方程圆的圆心为O1(a，b)，半径为r的圆的参数方程为：（t为参数）.三椭圆1(ab0)的参数方程为(为参数)规定的范围为0，2)这是中心在原点O、焦点在x轴上的椭圆参数方程四双曲线1的参数方程为(为参数)规定的范围为0，2)，且，.这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线参数方程五曲线C的参数

3、方程为(t为参数，tR)其中p为正的常数这是焦点在x轴正半轴上的抛物线参数方程六.直线的参数方程1过定点M0(x0，y0)、倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)，这一形式称为直线参数方程的标准形式，直线上的动点M到定点M0的距离等于参数t的绝对值当t0时，的方向向上；当t0时，的方向向下；当点M与点M0重合时，t0.2若直线的参数方程为一般形式为：(参数)，可把它化为标准形式：(t为参数)其中是直线的倾斜角，tan，此时参数t才有如前所说的几何意义类型一.参数方程与普通方程的互化例1：指出参数方程表示什么曲线解析：由(为参数)得x2y29.又由0，得0x3，0y3，所以所求方程为x2y29

4、(0x3且0y3)这是一段圆弧(圆x2y29位于第一象限的部分)答案：这是一段圆弧(圆x2y29位于第一象限的部分)练习1：指出参数方程(为参数，02)表示什么曲线解析：由参数方程(为参数)得(x3)2(y2)2152，由02知这是一个整圆弧答案：一个整圆弧例2：设直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的方程为y=3x+4,则l1与l2间的距离为_.解析：由条件知,l1l2,在l1中令t=0,则得坐标为(1,1).由点到直线距离公式得l1与l2距离为:答案：练习2：若直线(t为参数)与直线l2:(s为参数)垂直,则k=_.解析：由l1消去参数t得,斜率为-由l2消去参数s得,斜率为-2.两

5、直线垂直,得k=-1.答案：-1类型二.曲线参数方程例3：已知点P(x, y)在曲线(为参数)上,则的取值范围为_.解析：曲线(为参数)是以(-2,0)为圆心,以1为半径的圆,设,求的取值范围,即求当直线y=kx与圆有公共点时k的取值范围,如图22-60结合圆的几何性质可得故填答案：练习1：已知点A(1,0),P是曲线(R)上任一点,设P到直线l:y=的距离为d,则|PA|+d的最小值是_.解析：y消去其图像是一段抛物线弧,如图22-61,是它的焦点,l是准线,d=|PF|,当A,P,F三点共线时,最小,其值是答案：例4：已知为参数,则点(3,2)到方程,的距离的最小值是_.解析：把,化为普通

6、方程为所以点(3,2)到方程,的距离的最小值是答案：练习1：已知圆C的参数方程为(为参数),则点P(4,4)与圆C上的点的最远距离是_.解析：由得,则点P(4,4)与圆C上的点的最远距离是答案：6例5：已知双曲线方程为x2y21，M为双曲线上任意一点，点M到两条渐近线的距离分别为d1和d2，求证：d1与d2的乘积是常数答案：设d1为点M到渐近线yx的距离，d2为点M到渐近线yx的距离，因为点M在双曲线x2y21，则可设点M坐标为(sec，tan)d1，d2，d1d2，故d1与d2的乘积是常数练习1：将参数方程(t为参数，a0，b0)化为普通方程解析：t，t，又t22，t22，4，即1.答案：1

7、类型三.直线参数方程例6：曲线C1:(为参数)上的点到曲线C2:(t为参数)上的点的最短距离为_.解析：C1:则圆心坐标为(1,0).由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为d=,所以要求的最短距离为d-1=1.答案：1练习1：直线(t为参数)上对应t0，t1两点间的距离是()A1B.C10D2解析：根据点到直线的距离公式可以得出结果.答案：B类型四.曲线参数方程的应用例7：在直角坐标系xOy中，直线l的方程为xy40，曲线C的参数方程为(为参数)(1)已知在极坐标(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；(2)

8、设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值解析：(1)把极坐标系下的点P化为直角坐标，得P(0，4)因为点P的直角坐标(0，4)满足直线l的方程xy40，所以点P在直线l上(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cos，sin)，从而点Q到直线l的距离dcos2.由此得，当cos 1时，d取得最小值，且最小值为.答案：(1)点P在直线l上(2)最小值为.练习1：已知曲线C的方程为当t是非零常数，为参数时，C是什么曲线？当为不等于(kZ)的常数，t为参数时，C是什么曲线？两曲线有何共同特征？答案：当为参数时，将原参数方程记为，将参数方程化为平方相加消去，得1.(etet)2(e

9、tet)20，方程表示的曲线为椭圆当t为参数时，将方程化为平方相减，消去t，得1.方程表示的曲线为双曲线，即C为双曲线又在方程中1，则c1，椭圆的焦点为(1，0)，(1，0)因此椭圆和双曲线有共同的焦点类型五.极坐标与参数方程的综合应用例8： 在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线C1的极坐标方程为(cos sin )2，曲线C2的参数方程为(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为_解析：曲线C1的直角坐标方程为xy2，曲线C2的普通方程为y28x，由得：，所以C1与C2交点的直角坐标为(2，4)答案：(2，4)练习1：求圆被直线(t是参数)截得的弦长.

10、解析：将极坐标方程转化成直角坐标方程:即,可得所以圆心到直线的距离即直线经过圆心,所以直线截得的弦长为3.答案：31.将参数方程(为参数)化为普通方程是()Ayx2Byx2Cyx2(2x3)Dyx2(0y1)答案：C2.椭圆(为参数)的焦距为()A.B2C.D2答案：B3.参数方程(t为参数)表示的曲线是()A双曲线B双曲线的下支C双曲线的上支D圆答案：C4.双曲线,(为参数)的渐近线方程为答案：y(x2)5. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4sin，则直线l和曲线C的公共点有_个答案：16若直线3x+

11、4y+m=0与圆(为参数),没有公共点,则实数m的取值范围是_.答案：7.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系若极坐标方程为cos4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|_答案：168.已知直线l:与圆C:(为参数),试判断它们的公共点的个数.答案：圆的方程可化为其圆心为C(-1,2),半径为2.由于圆心到直线l的距离故直线l与圆C的公共点个数为2.9.求直线(t为参数)被双曲线x2-y2=1截得的弦长答案：把直线(t为参数)化为普通方程为把它代入双曲线方程并整理得,设直线交双曲线于两点,则则直线被双曲线截得的弦长_基础巩固1.当参数变化时，动点P

12、(2cos，3sin)所确定的曲线必过()A点(2，3)B点(2，0)C点(1，3)D点答案：B2双曲线(为参数)的两焦点坐标是()A(0，4)，(0，4)B(4，0)，(4，0)C(0，)，(0，)D(，0)，(，0)答案：A3参数方程(为参数)的普通方程为()Ay2x21Bx2y21Cy2x21(|x|)Dx2y21(|x|)答案：C4.参数方程(为参数)表示的曲线是()A直线B圆C线段D射线答案：C5.设O是椭圆(为参数)的中心，P是椭圆上对应于的点，那么直线OP的斜率为()A.B.C.D.答案：D6.将参数方程(为参数)化为普通方程是_.答案：(x1)2y247.点P(x，y)在椭圆4

13、x2y24上，则xy的最大值为_，最小值为_答案：8.在平面直角坐标系中，已知直线l与曲线C的参数方程分别为l：(s为参数)和C：(t为参数)，若l与C相交于A、B两点，则|AB|_答案：能力提升9.点(2，3)对应曲线(为参数)中参数的值为()Ak(kZ)Bk(kZ)C2k(kZ)D2k(kZ)答案：D10.椭圆1的点到直线x2y40的距离的最小值为()A.B.C.D0答案：A11 直线(t为参数)被圆x2y24截得的弦长为_答案：12.在平面直角坐标系xOy中，若l：(t为参数)过椭圆C：(为参数)的右顶点，则常数a的值为_答案：313. 已知在平面直角坐标系xOy中圆C的参数方程为：(为

14、参数)，以Ox为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：cos0，则圆C截直线所得弦长为_解析：圆C(为参数)表示的曲线是以点(，1)为圆心，以3为半径的圆，将直线cos0的方程化为xy0，圆心(，1)到直线xy0的距离:d1，故圆C截直线所得弦长为24.答案：414. 将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2xy20与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程答案:(1)设(x1，y1)为圆上的点，经变换为C上点(x，y)，依题意，得由xy1得x21，即曲线C的方程为x21.故C的参数方程为(t为参数)(2)由解得或不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k，于是所求直线方程为y1，化为极坐标方程并整理得2cos4sin3，即.