初升高数学全体系衔接专题09三角形（教师版）.docx

1、专题09三角形专题综述课程要求三角形的“四心”有着明显的几何特征，这些几何特征与高中很多知识都有交汇，所以要熟练掌握它们的概念，理解对应的几何意义，为高中“四心”知识的综合奠定基础.1.四心的地位所谓三角形的“四心”，是指三角形的四种重要线段相交而成的四类特殊点.它们分别是三角形的内心、外心、垂心与重心，其中，外心与内心在初中课本中分别作出了叙述和介绍，而垂心与重心这两个概念是在高中加强的.在高中后续学习向量、立体几何、解析几何等内容时，垂心、重心、内心、外心都是不可缺少的知识点，在高考试卷中也屡屡出现，所以要清楚它们的基本概念，在三角形中用尺规作图的方法能够找到这四心，也就是要熟悉它们的几何

2、特征，正三角形四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.2.四心的概念与常用性质内心：三角形的三个内角的角平分线的交点，该点为三角形内切圆的圆心，内心到三角形的三边的距离相等；垂心：三角形的三条高的交点；通过作图可知锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外，该点分每条高线的两部分乘积相等；重心：三角形的三条中线的交点，该点到顶点的距离为到对边中点距离的2倍；外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点，该交点为三角形外接圆的圆心，外心到三个顶点的距离相等.四心在高中阶段具有代数与几何的双重身份，需要给这四心的几何特征以代数形式，数形结合，以

3、形助数，以数解形.课程要求初中课程要求1、三角形及其性质2、全等三角形3、相似三角形4、直角三角形高中课程要求1、三角变换与解三角形的综合问题2、解三角形与平面向量结合3、以平面图形为背景的解三角形问题知识精讲高中必备知识点1：三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.如图3.2-1 ，在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段. 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形

4、的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.高中必备知识点2：几种特殊的三角形结论一：等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上.结论二：正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、

5、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.典例剖析高中必备知识点1：三角形的“四心”【典型例题】如图，在O中，AB是的直径，PA与O 相切于点A，点C在O 上，且PCPA， （1）求证PC是O的切线；（2）过点C作CDAB于点E，交O于点D，若CDPA2， 求图中阴影部分面积；连接AC，若PAC的内切圆圆心为I，则线段IE的长为 【答案】（1）详见解析；（2）S阴影 【解析】（1）证明：连接OCOP，点C在O上，OC为半径 PA与O相切于点A，OAPAPAO90OCOA，OPOP，PCPA，PCOPAO PCOPAO90PCOCPC是O的切线（2）作CMAP于点M，CDAB，CEDE ，CEA

6、90四边形CMAE是矩形AMPMAMPCACPCPA，PCA是等边三角形PAC60CAB30COE60COD120在RtCOE中，sin60 ，OC2S阴影 AP=2 ,AH=CE=CH=AH=3又I为正PAC的内心CI= CH=2IE= = =【变式训练】已知菱形ABCD的边长为2ADC=60，等边AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。（1）特殊发现：如图，若点E、F分别是边DC、CB的中点求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边AEF的外心；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动记等边AEF的外心为点P猜想验证：如图猜想AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；拓展运用：如

7、图，当AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断1DM+1DN是否为定值若是请求出该定值；若不是请说明理由。【答案】（1）见解析；（2）外心P一定落在直线DB上，见解析；1DM+1DN为定值，1DM+1DN=1.【解析】（1）证明：如图I，分别连接OE、0F 四边形ABCD是菱形 ACBD，BD平分ADCAD=DC=BC， COD=COB=AOD=90 ADO=12ADC=1260=30， 又E、F分别为DC、CB中点 OE=12CD，OF=12BC，AO=12AD， 0E=OF=OA ， 点O即为AEF的外心，（2）猜想：外心P一定落在直线DB上，

8、证明：如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PICD于I，P JAD于JPIE=PJD=90，ADC=60IPJ=360-PIE-PJD-JDI=120点P是等边AEF的外心，EPA=120，PE=PA，IPJ=EPA，IPE=JPAPIEPJA， PI=PJ，点P在ADC的平分线上，即点P落在直线DB上，1DM+1DN为定值1.当AEDC时AEF面积最小，此时点E、F分别为DC、CB中点连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P即为AEF的外心，解法：如图3设MN交BC于点G设DM=x，DN=y(x0yO)，则 CN=y-2由BCDA 易证GBPMDPBG=DM=xCG=2-x，BCDA，N

9、CGNDMCNDN=CGDM，y-2y=2-xxx+y=xy.1x+1y=1，即1DM+1DN=1.【能力提升】定义：到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心，例如：如图1，PDAC，PEAB，垂足分别为点D、E，若PDPE，则点P为ABC的准内心（1）应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准内心P在高CD上，且PD12AB，求APB的度数（2）探究：如图3，已知ABC为直角三角形，斜边BC5，AB3，准内心P在AC边上（不与点A、C重合），求PA的长【答案】（1）APB90；（2）PA=32.【解析】（1）准内心P在高CD上，点P为CAD的角平分线与CD的交点，ABC是等边三角形

10、，PADPAC30，CD为等边三角形ABC的高，AD3DP，ADBD，与已知PD12AB矛盾，点P不可能为CAD的角平分线与CD的交点，同理可知点P不可能为CBD的角平分线与CD的交点，CDAB，点P为BCA的平分线，此时，点P到AC和BC的距离相等，PD12AB，PDADBD，APDBPD45，APB90；（2）BC5，AB3，ACBC2-AB24，准内心在AC边上，（不与点A，B重合），点P为CBA的平分线与AC的交点，作PDBC与点D，PAPD，BDBA3，设PAx，则x2+22（4x）2，x32，即PA32高中必备知识点2：几种特殊的三角形【典型例题】问题发现：如图1，ABC是等边三角

11、形，点D是边AD上的一点，过点D作DEBC交AC于E，则线段BD与CE有何数量关系？拓展探究：如图2，将ADE绕点A逆时针旋转角（0360），上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明问题解决：如果ABC的边长等于2，AD2，直接写出当ADE旋转到DE与AC所在的直线垂直时BD的长【答案】问题发现：BDCE；拓展探究：结论仍然成立，见解析；问题解决：BD的长为2和2【解析】 问题发现：如图1,BD=CE,理由是ABC是等边三角形,AB=AC,DEBC,BD=CE,拓展探究：结论仍然成立,如图2,由图1得,ADE是等边三角形,AD=AE,由旋转得BAD=CAE,BADCAE,(

12、旋转的性质)BD=CE,问题解决：当ADE旋转到DE与AC所在的直线垂直时,设垂足为点F,此时有两种情况:如图3,ADE是等边三角形,AFDE,DAF=EAF=30,BAD=30,过D作DGAB,垂足为G,AD=2,DG=1,AG=,AB=2,BG=AB-AG=,BD=2（勾股定理）,如图4,同理得BADCAE,BD=CE,ADE是等边三角形,ADE=60,AD=AE,DEAC,DAF=EAF=30,EF=FD=AD=1,AF=,CF=AC+CF=2+=3,在RtEFC中,EC=,BD=EC=2.综上所述,BD的长为2和2.【变式训练】如图，两条射线BA/CD，PB和PC分别平分ABC和DCB

13、，AD过点P，分别交AB，CD与点A，D（1）求BPC的度数；（2）若，求AB+CD的值；（3）若为a，为b，为c，求证：a+b=c【答案】（1）90；（2）4；（3）证明见解析【解析】（1）BACD，ABC+BCD=180PB和PC分别平分ABC和DCB，PBCABC，PCBBCD，PBC+PCB（ABC+BCD）=90，BPC=90；（2）若BCD=60，BP=2，ABC=18060=120，PCDBCD=30，ABPABC=60在RtABP中，BP=2，AB=1在RtBCP中，CP=2在RtPCD中，PD，CD=3，AB+CD=4（3）如图，作PQBCABP=QBP，BAP=BQP，BP

14、=BPABPBQP（AAS）同理PQCPCD（AAS），SBCP=SBPQ+SPQC=SABP+SPCD，a+b=c【能力提升】如图，ABC、DCE、FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且AB= ，BC=1，连结BF，分别交AC、DC、DE于点P、Q、R (1)求证：BFGFEG (2)求sinFBG的值【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】解：(1)依题可得：BC=CE=EG=1，FG=AB=， BG=3，在BFG和FEG中，G=G，BFGFEG. (2)过点F作FHBG于点H，如图， 则FHG=90，FEG是等腰三角形，EG=1， FH= ， BFGFEG，B

15、FG=FEG=G，BF=BG=3BC=3，在RtFBH中，sinFBG=.对点精练1如图，等边的顶点，；规定把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，等边的顶点的坐标为（ ）ABCD【答案】D过点作交于点 等边 ， 第一次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得，即；第二次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得，即；第三次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得，即；当为奇数时，第次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得当为偶数时，第次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得2021为奇数第2021次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得，即；故选：D

16、2如图，在中，点D是边上的中点，连接，将沿着翻折，得到，与交于点F，连接若，则点C到的距离为（ ）ABCD【答案】C连接BE，延长CD交BE于G点，过C作CHAB于H，如图所示由折叠的性质，得：BD=ED，CB=CECG是线段BE的垂直平分线BG=BED点是AB的中点BD=AD，AD=EDDAE=DEA BD=ED DEB=DBE DAE+BEA+DBE=180即DAE+DEA+DEB+DBE=1802DEA+2DEB=180DEA+DEB=90即AEB=90在RtAEB中，由勾股定理得： 故选：C3在中，点D为中点，绕点D旋转，分别与边，交于E，F两点，下列结论：；始终为等腰直角三角形，其中

17、正确的是（ ）ABCD【答案】D解：连接，点为中点，在和中，始终为等腰直角三角形，正确的有故选D4如图，在ABC中，BAC90，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）ABE的面积BCE的面积；FAGFCB；AFAG；BHCHABCD【答案】D解：BE是AC边的中线，AECE，ABE的面积，BCE的面积AB，ABE的面积BCE的面积，故正确；AD是BC边上的高，ADC90，BAC90，DAC+ACB90，FAG+DAC90，FAGACB，CF是ACB的角平分线，ACFFCB，ACB2FCB，FAG2FCB，故错误；在

18、ACF和DGC中，BACADC90，ACFFCB，AFG180BACACF，AGFDGC180ADCFCB，AFGAGF，AFAG，故正确；根据已知不能推出HBCHCB，即不能推出HBHC，故错误；即正确的为，故选：D5已知a、b为两正数，且，则代数式最小值为（ ）A12B13C14D15【答案】B解：如图所示，构造RtBEA和RtAFC使得 BE=a，EA=2，AF=3，FC=b，根据勾股定理可得：AB=和AC=，所以：，当A，B，C三点共线时有最小值，即BC，在RtBDC中故选：B6已知、4分别是等腰三角形三边的长，且、是关于的一元二次方程的两个根，则的值等于（ ）A6B7C-7或6D6或

19、7【答案】D解：a、b、4分别是等腰三角形三边的长，当a4或b4时， 即：4264k20，解得：k6，此时，的两个根为：x1=2，x2=4，符合题意；当ab时，即（6）24（k2）0，解得：k7，此时，的两个根为：x1=x2=3，符合题意；综上所述，k的值等于6或7，故选：D7如图，在锐角ABC中，AB，BAC45，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）AB1CD【答案】B如图，作于点H，交于点，作于点，则为所求最小值由角平分线的性质可知，即长为所求最小值，为等腰直角三角形故选B8如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，则的度数为（ ）AB

20、CD【答案】A解：如图，连接CG、AG，由勾股定理得：AC2AG212225，CG2123210，AC2AG2CG2，CAG90，CAG是等腰直角三角形，ACG45，CFAB，ACFBAC，在CFG和ADE中，CFGADE（SAS），FCGDAE，BACDAEACFFCGACG45，故选：A9如图，在中，平分，于E，则下列结论中，不正确的是（ ）A平分BC平分D【答案】AAD平分CAB，CDAC，EDABCD=ED，BC=BD+CD=BD+ED故选项B正确；AD平分CABCAD=EADCDAC，EDABC=DEA=90ADC=ADE即AD平分EDC故选项C正确； 在ACD中，AC+CDADED

21、+ACAD故选项D正确；若DE平分ADB则有BDE=ADEADE=ADCADE=ADC=BDEADE+ADC+BDE=180BDE=60B=90-BDE=30 显然这里B是不一定为30故选项A错误故选：A10如图，一艘轮船在处测的灯塔在北偏西15的方向上，该轮船又从处向正东方向行驶20海里到达处，测的灯塔在北偏西60的方向上，则轮船在处时与灯塔之间的距离（即的长）为（ ）A海里B海里C40海里D海里【答案】D解：过作于，如图所示：在中，海里，（海里），（海里），是等腰直角三角形，海里，海里，故选：D11如图，在正方形中，点是线段上的动点，将沿直线翻折，得到，点是上一点，且，连接，当的长为_时，

22、是直角三角形【答案】或当E在AH的上方时，且AEH=90，根据折叠的性质，AEP=D=90，AD=AE，DP=PE，AEP=AEH=90，AD=AE=AB，点P、E、H在同一直线上，在RtABH和RtAEH中，RtABHRtAEH(HL)，EH=BH=3，设DP=x，则PC=8x，HC=8-3=5，PH=PE+HE=x+3，在RtCPH中，即，解得，即DP=；当E在AH的下方时，且AEH=90，如图：此时，点E与点B重合，则点P与点C重合，DP=；综上，当DP的长为或时，是直角三角形故答案为：或12如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作过点轴

23、交直线和直线于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，按此规律进行下去，则等腰直角的边长为_（用含正整数的代数式表示）【答案】解：点在直线上，点横坐标为2，将代入得，点坐标为为等腰直角三角形，点坐标为过点作轴，的横坐标为3，将分别代入与中得，的纵坐标分别为3，即，点坐标为同理可得，故答案为：13如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在直线上若，且都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为，则可表示为_【答案】解：由等边三角形可知：A1B1A2B2AnBn，B1A2B2A3BnAn+1，直线yx与x轴的夹角B1OA130，OA1B1120，OB1A130，OA1A1

24、B1，A1（1，0），A1B11，同理OB2A230，OBnAn30，B2A2OA22，B3A34，BnAn2n1，可知OB1A290，OBnAn+190，B1B2，B2B32，BnBn+12n1，S1，S2，Sn22n3当n=2021时，故答案为：14如图，四边形ABCD中，ADBC，连接AC，ACBC，BAD135，E为AC上一点，连接BE，BEC2ACD，AD2，CE3，则线段BE_【答案】5解：如图，过点E作EF/CD交BC于点F，作FGBE于点G，EF/CD，FECACD，BEC2ACDBEF+CEF，BEFCEF，ACBC，FGBE，CFGF，AD/BC，DACACB90，BACB

25、ADCAD1359045，ABC45，ABC是等腰直角三角形，ACBC，设AEx，ACBCAE+ECx+3，在RtEGF和RtECF中，RtEGFRtECF（HL），EGEC，DACFCE90，ACDCEF，ADCCFE，CF，GF，BGFBCE90，FBGEBC，BFGBEC，BG2，BEBG+GEBG+EC2+35故答案为：515如图，ABC中，C90，AC4，BC3，将ABC绕点B逆时针旋转一定的角度（090），直线A1C1分别交AB，AC于点G，H当AGH为等腰三角形时，则CH的长为_【答案】或1解：如图1中，当AG=AH时，AG=AH，AHG=AGH，A=A1，AGH=A1GB，AH

26、G=A1BG，A1GB=A1BG，A1B=A1G=5，GC1=A1G-C1G=1，BC1G=90，如图2中，当GA=GH时，过点G作GMAH于M同法可证，GB=GA1，设GB=GA1=x，则有x2=32+（4-x）2，解得，GMBC，GA=GH，GMAH，AM=HM，AH=3，CH=AC-AM=1当HG=AH时，HGA=HAG45ABC（大边对大角，小边对小角），A1HC=HGA+HAG90，C1BC=360-90-90-A1HC90，即旋转角度大于90，不符合题意综上所述，满足条件的CH的值为或1故答案为：或116如图，在中，点D是的中点，点E在上，将沿折叠，若点B的落点在射线上，则与所夹锐

27、角的度数是_【答案】如下图，连接DE，与相交于点O，将 BDE 沿 DE 折叠，,又D为BC的中点，,即与所夹锐角的度数是故答案为：17如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D 是网格线交点，则ABC与DBC面积的大小关系为：SABC _ SDBC（填“”，“”或“”）【答案】=3，故填：18如图，_【答案】BAC和DAE分别是ACE和ABD的外角，BAC=C+E，DAE=B+D，CAD+BAC+DAE=180，故答案为：18019如图，在中，平分，则的长是_【答案】5在中， 平分，ABD=DBC，ADB=DBC，ABD=ADB，AB=AD=5故答案为：520如图，将一个含30角的三角尺AB

28、C绕点A按顺时针方向旋转得到ADE，使点B的对应点D恰好落在BC边上，若AB=，则CD的长为_【答案】解：由旋转得：AD=AB=，在RtABC中，C=30，CAB=90，B=60，AD=AD，ADB=B=60，DAB+ADB+B=180，DAB=ADB=B=60，AD=AB=DB=，在RtCAB中，C=30，CAB=90，AB=BC，BC=2AB=2，CD=BC-BD=2-=故CD的长为21如图1，在中，点是的中点，连接，点是上一点，连接并延长交于点（1）若点是中点，求证：；（2）如图2，若求证：；猜想的值并写出计算过程【答案】（1）见解析；（2）见解析；解：（1）证明：，点是的中点，点是中点

29、，；（2）证明：连接，即，；设，则，；猜想：，理由如下：，22如图，边长为1的正方形中，点在上，连接，过点，作的垂线，垂足分别为，点是正方形的中心，连接，（1）求证：；（2）请判断的形状，并说明理由；（3）若点在线段上运动（不包括端点），设，的面积为，求关于的函数关系式（写出的范围）；若点在射线上运动，且的面积为，请直接写出长【答案】（1）见解析；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3），长为或3解：（1）证明：，又，在AMB和BNC中，（2）是等腰直角三角形，理由如下：连接，为正方形的中心，即在AMO和BNO中，是等腰直角三角形（3）在RtABK中，BK=，SABK=AKAB=BKAM，AM

30、=，BN=AM=，cosABK=，BM=，MN=BM-BN=，OM=ON=，SOMN=，SOMN=，当点在线段上时，则，解得：（不合题意舍去），当点在线段的延长线时，同理可求得，解得：，（不合题意舍去），综上所述：长为或3时，的面积为23如图，在正方形中，动点，分别在边，上移动（不与顶点重合），且满足连接和，交于点（1）请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）由于点，的移动，使得点也随之运动请用文字描述并且在图中画出点的运动路径；若，请求出线段的最小值【答案】（1），见解析；（2）点的运动路径是以为直径的圆的圆弧（去除端点，）；解：（1），理由是：四边形是正方形，在和中，；（2）如图

31、，点在运动中保持，设正方形的中心为，得出点的运动路径是以为直径的圆的圆弧（去除端点，），设的中点（圆心）为，连接交圆弧于点，此时线段的长度最小在中，即线段的最小值是24在平面直角坐标系中，直线与轴负半轴交于点，与轴交于点，点坐标为，点在轴上（点在点的右侧），动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动设运动时间为秒（）（1）如图，当点在线段上时求点的坐标：当是等腰三角形时，求的值；（2）是否存在时刻，使得，若存在，直接写出的值；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）存在，解：（1），在中，；在中，

32、在中，BP=t，AQ=3t，CP=3-t，CQ=5-3t，当是等腰三角形时，3-t=5-3t，t=1；（2）如图，设运动t秒时， PQAB，则PB=t，PC=3-t,AQ=3t，Q的坐标为3t-；sinCBO=,CBO=30，过点P作PEOC，垂足为E，PEOB，CBO=CPE=30，PE=PCcos30=（3-t），CE=PCsin30=（3-t），点E(t，0)，QE=3t-（t）=t-，延长QP交AB于点D，PQAB，A=A，ADQAOB，AQD=ABO，tanAQD=tanABO，根据（1）知OA=，tanAQD=tanABO=，=，（3-t）：(t-)=，解得t=1.9625如图，在

33、中，点D，E分别在边，上，且，点P与点C关于直线成轴对称（1）求作点P；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）连接EP，若，判断点P是否在直线上，并说明理由【答案】（1）见解析；（2）点P在直线上，见解析（1）如图点P即为所求解法一： 解法二： （2）点P在直线上，理由如下：如图，连接，设线段与交于点Q，点P与点C关于直线成轴对称，垂直平分，四边形是菱形，设，则，又点Q在上，点Q与点P重合点P在直线上26如图，在矩形中，点是边上一点，（1）过作于点（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，要下结论）；（2）求证：【答案】（1）见解析；（2）见解析解：（1）解：如图，在DE另一侧取点K， 以

34、A为圆心，以AK为半径画弧，交DE于点M、N，分别以M、N为圆心，以大于MN为半径画弧，两弧交于点G，连接AG交DE与F， 线段AF即为所求作线段；（2）证明：四边形ABCD是矩形，ADBC，B90，ABCDAEBDAE，DADE，DAEDEA，AEBAED，ABBE，AFED，ABAF，AFCD27如图，中，点在的边上，以为直角边在同侧作等腰直角三角形，使，过作于点，连接（1）求证：；（2）求的最小值；（3）若，求的值【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）解：（1）证明：，又是等腰直角三角形，在和中，；（2）由（1）得，由勾股定理得，当时，的最小值为，的最小值为；（3）由（1）得，整理得，

35、在中，由勾股定理得，28如图，直线过点，直线，直线，垂足分别为、，且（1）求证；（2）求证【答案】证明见解析证明：（1）BM直线l，CN直线l，AMBCNA，在RtAMB和RtCNA中，RtAMBRtCNA（HL）；（2）由（1）得：RtAMBRtCNA，BAMACN，CAN+ACN，CAN+BAM，BAC29如图，在ABC中，BAC90，AD是BC边上的中线，AEBC，CEAD（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）连接BE，若ABC30，AC2，求BE的长【答案】（1）见解析；（2）（1）证明：AEBC，CEAD，四边形ADCE是平行四边形BAC=90，AD是BC边上的中线，AD=BD=CD四边形ADCE是菱形（2）解：过点E作EHBA交BA的延长线于点H在RtABC中，ABC30，AC2，BC，ABADBC2，四边形ADCE是菱形，AEAD2，AE/BC，EAHABC30在RtAEH中，EH，AH HBAHAB 在RtBEH中，BE30如图，在中，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好落在边上，则周长为_【答案】6将ABC绕点C按逆时针方向旋转得到ABC，ACAC，ABAB，ACAB ，AAC是等边三角形，AC2周长为2+2+2=6故答案为：6