培优专题10 二次函数的综合--特殊图形的存在性问题-解析版.docx

1、培优专题10 二次函数的综合-特殊图形的存在性问题存在性问题之直角三角形的存在性问题【技巧】明确哪几个点构成的直角三角形，先利用两点间的距离公式（可由勾股定理推导）把三角形的三边的平方表示出来，然后利用勾股定理求出即可；但是此方法有个弊端就是会有高次方出现，不易求解。另外一种方法就是利用两直线的垂直关系，直线的解析式k值乘积为-1，可求出。1（2022山东济南中考真题）抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线ykx6经过点B点P在抛物线上，设点P的横坐标为m(1)求抛物线的表达式和t，k的值；(2)如图1，连接AC，AP，PC，若APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；【答案】(1

2、)，t=3，(2)点【分析】（1）分别把代入抛物线解析式和一次函数的解析式，即可求解；（2）作轴于点，根据题意可得，从而得到，再根据，可求出m，即可求解；（1）解：在抛物线上，抛物线解析式为，当时，（舍），在直线上，一次函数解析式为（2）解：如图，作轴于点，对于，令x=0，则y=-6，点C（0，-6），即OC=6，A（3，0），OA=3，点P的横坐标为m，CAP=90，AOC=AMP=90，即，（舍），点2（2022山东滨州中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接(1)求线段AC的长；(2)若点为该抛物线对称轴上的一个动点，当时

3、，求点P的坐标；(3)若点M为该抛物线上的一个动点，当为直角三角形时，求点M的坐标【答案】(1)(2)(3)或或或【分析】（1）根据解析式求出A，B，C的坐标，然后用勾股定理求得AC的长；（2）求出对称轴为x=1，设P（1，t），用t表示出PA2和PC2的长度，列出等式求解即可；（3）设点M（m,m2-2m-3），分情况讨论，当，分别列出等式求解即可（1）与x轴交点：令y=0，解得，即A（-1，0），B（3，0），与y轴交点：令x=0，解得y=-3，即C（0，-3），AO=1,CO=3,;（2）抛物线的对称轴为：x=1，设P（1，t）， t=-1，P（1，-1）；（3）设点M（m,m2-2m-

4、3），,当时，解得，（舍），M（1，-4）；当时，解得，（舍），M（-2，5）；当时，解得，M或；综上所述：满足条件的M为或或或【点睛】本题是二次函数综合题，考查了与坐标轴交点、线段求值、存在直角三角形等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想，属于中考压轴题存在性问题之等腰三角形的存在性问题【技巧】等腰三角形的存在性先利用圆规把满足条件的点求出来，再求坐标，以免漏掉。一般是画圆和作中垂线。3（2022广西贺州中考真题）如图，抛物线过点，与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线对称轴上一动点，当是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；(3)在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第

5、一象限上的点，使得？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)；(2)点P坐标为；(3)存在，【分析】（1）把代入即可的得出抛物线解析式；（2）依题意可得出即P点在的平分线上且在抛物线的对称轴上利用等腰三角形的性质，即可得出P点的坐标；（2）利用铅垂线ME，即可表达出，再由即可列出方程求解（1）根据题意，得，解得，抛物线解析式为：（2）由（1）得，点，且点，当是以BC为底边的等腰三角形PC=PB，OP=OP，设抛物线的对称轴与轴交于H点，则，抛物线对称轴，点P坐标为（3）存在理由如下：过点M作轴，交BC于点E，交x轴于点F设，则，设直线BC的解析式为：，依题意，得：，解得，直

6、线BC的解析式为：，当时，点E的坐标为，点M在第一象限内，且在BC的上方，解得【点睛】此题考查了求抛物线的解析式、等腰三角形的存在性问题，三角形的面积，掌握待定系数法求抛物线的解析式，等腰三角形与函数的特征，三角形面积与函数的做法是解题的关键4（2019辽宁本溪中考真题）抛物线与轴交于两点，顶点为，对称轴交轴于点，点为抛物线对称轴上的一动点（点不与重合）过点作直线的垂线交于点，交轴于点(1)求抛物线的解析式；(2)当的面积为时，求点的坐标；(3)当PCF为等腰三角形时，请直接写出点的坐标【答案】(1)；(2)，；(3)或或或【分析】把代入函数，利用交点式求解即可先求出点C，设点然后得函数的表达

7、式为：设直线CE的表达式为y=kx+h，根据，证明，推出直线表达式中的值为，求出直线的表达式为，联立并解得： ，求出，利用的面积为，求出m即可；由点的坐标得：分别算出，时的m即可(1)解：将抛物线化为交点式：将代入可得故抛物线解析式为(2)将抛物线化为顶点式：则点C的坐标为抛物线对称轴为x=2，设点将点的坐标代入一次函数表达式：得：，解得： ，代入一次函数表达式，函数的表达式为： 设直线PB与y轴的交点为G(0，g)，则当x=0时，点G坐标为设直线CE的表达式为y=kx+h，CE与y轴的交点为H，则x=0时，y=h，y=0时，所以点H的坐标为(0，h)，点F的坐标为，又HOF=BOG=90，

8、，解得：直线表达式为，将点的坐标代入，得，解得，直线的表达式为： 点F的坐标为，故点F坐标为，直线CE与x轴交于点F，DF为CPF中CP边上的高，DF=，CP=2-m，解得：或，故点P的坐标为或(3)点的坐标为，点P的坐标为，点C的坐标为，当时，即： ，解得或（m=0时点P与点D重合，与题意不符，舍去），当时， ，解得：，当时，解得：（m=0时点P与点C重合，与题意不符，舍去），故点P的坐标为： 或或或【点睛】本题考查的是抛物线，熟练掌握抛物线的性质，等腰三角形是解题的关键，解题时要注意分析等腰三角形任意两边都有可能相等存在性问题之（特殊）平行四边形的存在性问题5（2022四川资阳中考真题）已

9、知二次函数图象的顶点坐标为，且与x轴交于点(1)求二次函数的表达式；(2)如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点旋转，此时点A、B的对应点分别为点C、D连结，当四边形为矩形时，求m的值；在的条件下，若点M是直线上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)（或）(2)，存在符合条件的点Q，其坐标为或或【分析】（1）根据二次函数的图象的顶点坐标，设二次函数的表达式为，再把代入即可得出答案；（2）过点作轴于点E，根据，又因为，证明出，从而得出，将，代入即可求出m的值；根据上问可以得到，点M的横坐

10、标为4，要让以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形，所以分为三种情况讨论：1）当以为边时，存在平行四边形为；2）当以为边时，存在平行四边形为；3）当以为对角线时，存在平行四边形为；即可得出答案（1）二次函数的图象的顶点坐标为，设二次函数的表达式为，又，解得：，（或）；（2）点P在x轴正半轴上，由旋转可得：，过点作轴于点E，在中，当四边形为矩形时，又，解得；由题可得点与点C关于点成中心对称，点M在直线上，点M的横坐标为4，存在以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形，1）、当以为边时，平行四边形为，点C向左平移8个单位，与点B的横坐标相同，将点M向左平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，代入，解得：，2

11、）、当以为边时，平行四边形为，点B向右平移8个单位，与点C的横坐标相同，将M向右平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，代入，解得：，3）、当以为对角线时，点M向左平移5个单位，与点B的横坐标相同，点C向左平移5个单位后，与点Q的横坐标相同，代入，得：，综上所述，存在符合条件的点Q，其坐标为或或【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，中心对称，平行四边形的存在性问题，矩形的性质，熟练掌握以上性质并作出辅助线是本题的关键6（2022湖南郴州中考真题）已知抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，将直线BC间上平移，得到过原点O的直线MN点D是

12、直线MN上任意一点当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，关x轴相交于点E，水线段OE的长；如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)；在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形当点F的坐标为时，点D的坐标：或；当点F的坐标为时，点D的坐标：【分析】(1)把，代入即可得出抛物线的表达式；（2）求出直线BC解析式：，再由直线MN：及抛物线的对称轴：，即可得出进而得出直线CD的解析式为：，即可得出答案；分以BC为边时，即， ，以及分以BC为对角线时，进行讨论即可得出答案

13、 （1）解：将点，代入得：解得抛物线的表达式为（2）由（1）可知：，设直线BC：，将点，代入得：解得直线BC：，则直线MN：抛物线的对称轴：，把代入，得，设直线CD：，将点，代入得：解得直线CD：当时，得，存在点F，使得以B，C，D，F为项点的四边形是平行四边形理由如下：（I）若平行四边形以BC为边时，由可知，FD在直线MN上，点F是直线MN与对称轴l的交点，即由点D在直线MN上，设如图2-1，若四边形BCFD是平行四边形，则过点D作y轴的垂线交对称轴l于点G，则，轴，又，解得，如图2-2，若四边形BCDF是平行四边形，则同理可证：，解得（II）若平行四边形以BC为对角线时，由于点D在BC的上

14、方，则点F一定在BC的下方如图2-3，存在一种平行四边形，即设，同理可证：，解得，综上所述，存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形当点F的坐标为时，点D的坐标：或；当点F的坐标为时，点D的坐标：【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法，二次函数的性质，平行四边形的性质，熟练掌握相关知识，正确进行分类讨论是解题的关键.存在性问题之等腰直角三角形7（2022山东东营中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C(1)求抛物线的表达式；(2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标；(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为

15、腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标【答案】(1)(2)（1，-2）(3)（-1，0）或（，-2）或（，2）【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出点C的坐标和抛物线的对称轴，如图所示，作点C关于直线的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），根据轴对称最短路径可知AE与抛物线对称轴的交点即为点Q；（3）分两种情况当BPM=90和当PBM=90两种情况讨论求解即可（1）解：抛物线与x轴交于点，点，抛物线解析式为；（2）解：抛物线解析式为，与y轴交于点C，抛物线对称轴为直线，点C的坐标为（0，-3）如图所示，作点C关于直线的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为

16、（2，-3），由轴对称的性质可知CQ=EQ，ACQ的周长=AC+AQ+CQ，要使ACQ的周长最小，则AQ+CQ最小，即AQ+QE最小，当A、Q、E三点共线时，AQ+QE最小，设直线AE的解析式为，直线AE的解析式为，当时，点Q的坐标为（1，-2）；（3）解： 如图1所示，当点P在x轴上方，BPM=90时，过点P作轴，过点M作MFEF于F，过点B作BEEF于E，PBM是以PB为腰的等腰直角三角形，PA=PB，MFP=PEB=BPM=90，FMP+FPM=FPM+EPB=90，FMP=EPB，FMPEPB（AAS），PE=MF，BE=PF，设点P的坐标为（1，m），点M的坐标为（1-m，m-2），

17、点M在抛物线上，解得或（舍去），点M的坐标为（-1，0）；同理当当点P在x轴下方，BPM=90时可以求得点M的坐标为（-1，0）；如图2所示，当点P在x轴上方，PBM=90时，过点B作轴，过点P作PEEF于E，过点M作MFEF于F，设点P的坐标为（1，m），同理可证PEBBFM（AAS），点M的坐标为（3-m，-2），点M在抛物线上，解得或（舍去），点M的坐标为（，-2）；如图3所示，当点P在x轴下方，PBM=90时，同理可以求得点M的坐标为（，2）；综上所述，当PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，点M的坐标为（-1，0）或（，-2）或（，2）【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式

18、，二次函数综合，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键8（2022山东枣庄中考真题）如图，已知抛物线L：yx2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作ACx轴交抛物线于点C，AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点(1)求抛物线的关系式；(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当OPE面积最大时，求出P点坐标；(3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在OAE内（包括OAE的边界），求h的取值范围；(4)如图，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使POF成为以点

19、P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)抛物线的解析式为：yx24x+3(2)P点坐标为（，）(3)h的取值范围为3h4(4)存在，点P的坐标是（，）或（，）或（，）或（，）【分析】（1）利用待定系数法可得抛物线的解析式；（2）过P作PGy轴，交OE于点G，设P（m，m24m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得OPE的面积，利用二次函数的最值可得其最大值；（3）求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与OE的交点坐标、与AE的交点坐标，用含h的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h

20、的取值范围；（4）存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明OMPPNF，根据|OM|PN|，列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标（1）解：抛物线L：yx2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0）， ，解得，抛物线的解析式为：yx24x+3；（2）如图1，过P作PGy轴，交OE于点G，设P（m，m24m+3），OE平分AOB，AOB90，AOE45，AOE是等腰直角三角形，AEOA3，E（3，3），设直线OE的解析式为ykx，把点（3，3）代入得，33k，解得k1，直线OE的解析式为：yx，G（m，m），PGm（m24m+3）m2+5m3，SOPESOPG+SEPGPG

21、AE3（m2+5m3）（m25m+3）（m）2，0，当m时，OPE面积最大，此时m24m+3，P点坐标为（，）；（3）由yx24x+3（x2）21，得抛物线l的对称轴为直线x2，顶点为（2，1），抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，1+h）设直线x2交OE于点M，交AE于点N，则N（2，3），如图2，直线OE的解析式为：yx，M（2，2），点F在OAE内（包括OAE的边界），21+h3，解得3h4；（4）设P（m，m24m+3），分四种情况：当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图3，过P作MNy轴，交y轴于M，交l于N，OMPPNF90，OPF是等腰直角三角形，OPPF，OPF90，

22、OPM+NPFPFN+NPF90，OPMPFN，OMPPNF（AAS），OMPN，P（m，m24m+3），则m2+4m32m，解得：m或，m2，不合题意，舍去，m，此时m24m+3，P的坐标为（，）；当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2mm24m+3，解得：m1或m2，2，不合题意，舍去，m，此时m24m+3，P的坐标为（，）；当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图4，过P作MNx轴于N，过F作FMMN于M，同理得ONPPMF，PNFM，则m2+4m3m2，解得：m1或m2；2，不合题意，舍去，m，此时m24m+3，P的坐标为（，）；当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图5，同理

23、得m24m+3m2，解得：m或（舍），P的坐标为：（，）；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象与性质及图形的平移，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，运用分类讨论思想和方程的思想是解决问题的关键存在性问题之相似三角形的存在性问题（人教版九下内容）9（2022四川绵阳中考真题）如图，抛物线yax2bxc交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为1(1)求抛物线的解析式；(2)在y轴的负半轴上是否存在点P使APBACB180若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明

24、理由；(3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MFl，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由【答案】(1)y=-x2+2x+3；(2)存在，P（0，-1）使APBACB180，理由见解析；(3)存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或【分析】（1）由抛物线的对称轴可得点B的坐标，由此设出交点式，代入点C的坐标，即可得出抛物线的解析式；（2）由题意可知，点A，C，B，P四点共圆，画出图形

25、，即可得出点P的坐标；（3）由抛物线的对称性可得出点E的坐标，点D的坐标，根据两点间的距离公式可得出AD，DE，AE的长，可得出ADE是直角三角形，且DEAE=1：3，再根据相似三角形的性质可得出EF和FM的比例，由此可得出点M的坐标（1）解：顶点D的横坐标为1，抛物线的对称轴为直线x=1，A（-1，0），B（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），把C（0，3）代入抛物线的解析式得：-3a=3，解得a=-1，抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3；（2）存在，P（0，-1），理由如下：APB+ACB=180，CAP+CBP=180，点A，C，B，P四

26、点共圆，如图所示，点A（0，-1），B（3，0），C（0，3），OB=OC=3，OCB=OBC=45，APC=ABC=45，AOP是等腰直角三角形，OP=OA=1，P（0，-1）；（3）解：存在，理由如下：y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，D（1，4），由抛物线的对称性得：E（2，3），A（-1，0），ADE是直角三角形，且AED=90，DEAE=13，点M在直线l下方的抛物线上，设，则t2或t0，MFl，点F（t，3），以M，F，E三点为顶点的三角形与ADE相似，或，或，解得t=2（舍去） 或t=3或t=-3或（舍去）或，点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或，综上所述，存在点M

27、，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，圆内四边形的性质，相似三角形的性质与判定，分类讨论思想等，第（2）问得出四点共固是解题关键；第（3）问得出ADE是直角三角形并得出ADAE的值是解题关键10（2022湖北恩施中考真题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴交于点(1)直接写出抛物线的解析式(2)如图，将抛物线向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为

28、直角三角形，并说明理由(3)直线BC与抛物线交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由(4)若将抛物线进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出拋物线平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标【答案】(1)(2)以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形，理由见解析(3)存在，或，(4)最短距离为，平移后的顶点坐标为【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式；（2）分别求得B、C、Q的坐标，勾股定理的逆定理验证即可求解；（3）由，故分两种情况讨论，根据相似三

29、角形的性质与判定即可求解；（4）如图，作且与抛物线只有1个交点，交轴于点，过点作于点，则是等腰直角三角形，作于，进而求得直线与的距离，即为所求最短距离，进而求得平移方式，将顶点坐标平移即可求解(1)解：抛物线与y轴交于点抛物线解析式为(2)以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：的顶点坐标为依题意得，平移后的抛物线解析式为令，解得令，则，即以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形(3)存在，或，理由如下，是等腰直角三角形设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为，联立解得，是等腰直角三角形，设直线的解析式为,直线的解析式为当时，设的解析式为，由NT过点则解得的解析式为，令解得，当时，则即解得综上所述，或(4)如图，作，交轴于点，过点作于点，则是等腰直角三角形，作于直线的解析式为设与平行的且与只有一个公共点的直线解析式为则整理得：则解得直线的解析式为，即拋物线平移的最短距离为，方向为方向把点P先向右平移EF的长度，再向下平移FC的长度即得到平移后的坐标平移后的顶点坐标为，即【点睛】本题是二次函数综合，考查了相似三角形的性质，求二次函数与一次函数解析式，二次函数图象的平移，勾股定理的逆定理，正确的添加辅助线以及正确的计算是解题的关键