备战2021年高考数学一轮复习 易错题04 导数及其应用（含解析）.docx

1、易错点04 备战2021年高考数学一轮复习易错题【典例分析】（2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）已知函数（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）1，求a的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；（2）解法一：利用导数研究，得到函数得导函数的单调递增，当a=1时由得,符合题意；当a1时，可证，从而存在零点，使得，得到，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得恒成立；当时，研究.即

2、可得到不符合题意.综合可得a的取值范围.解法二：利用指数对数的运算可将,令,上述不等式等价于,注意到的单调性，进一步等价转化为，令,利用导数求得，进而根据不等式恒成立的意义得到关于a的对数不等式，解得a的取值范围.【详解】（1），.，切点坐标为(1,1+e),函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为,即,切线与坐标轴交点坐标分别为,所求三角形面积为;（2）解法一：,，且.设,则g(x)在上单调递增，即在上单调递增，当时，,成立.当时， ，,存在唯一，使得，且当时，当时，因此1,02恒成立；当时， 不是恒成立.综上所述，实数a的取值范围是1,+).解法二：等价于,令,上述不等式等价于,显然为

3、单调增函数，又等价于，即，令,则在上h(x)0,h(x)单调递增；在(1,+)上h(x)0,h(x)单调递减，,，a的取值范围是1,+).【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想，属较难试题.【易错警示】易错点1误解导函数与单调区间的关系【例1】是在区间的导函数，则“在区间内”是“在该区间内单调递增”的_条件【错解】充要【错因】一般地，由能推出为增函数，反之，则不一定如函数在区间上单调递增，但是，因此是函数为增函数的充分不必要条件【正解】充分不必要易错点2 误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系【例2】 函数在处有极值10，求

4、的值【错解】由解得【错因】对“导数为0”与“有极值”逻辑关系分辨不清，错把为极值的必要条件当作充要条件【正解】，依题意得，解得或，当时，所以在处取得极值；当时，此时在无极值所以易错点3对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚【例3】 已知函数f（x）的导函数的图像如左图所示，那么函数的图像最有可能的是 【错解】选【错因】概念不清，凭空乱猜【正解】由导函数的图像，可得：当时，当时， ，且开口向下；则在上递减，在上递增，在递减；故选A 易错点4 遗忘复合函数求导公式【例4】函数 的导数为 【错解】【错因】遗忘复合函数求导公式，复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量

5、对自变量的导数，即【正解】易错点5切线问题中忽视切点的位置致错【例5】已知曲线，过点作曲线的切线，求切线方程【错解】由导数的几何意义知，所以曲线的切线方程为【错因】点根本不在曲线上，忽视切点位置致错【正解】设切点坐标为，则切线的斜率，故切线方程为，又因为点N在切线上， 所以，解得，所以切线方程为y=21x+32注意：导数的几何意义是过曲线上该点的切线的斜率，应注意此点是否在曲线上易错点6混淆极值与最值是两个不同的概念致错【例6】求函数在3，3上的最值【错解】=3x24x+1=（3x1）（x1）， 所以极值点为或，又 =0， 所以函数最大值为，最小值为0【错因】需注意在闭区间上的最值应是区间内的

6、极值点的值与闭区间端点的值进行比较而得，而不能简单地把极值等同于最值【正解】=3x24x+1=（3x1）（x1）， 所以极值点为或，又 =0，所以函数最大值为12，最小值为48易错点7用错恒成立的条件【例7】 已知函数若时，0恒成立，求的取值范围【错解一】恒成立，0恒成立解得的取值范围为；【错解二】若时，0恒成立，即，解得的取值范围为【错因】对二次函数“当上0恒成立时，0”片面理解为“0，恒成立时，0” ；或者理解为这都是由于函数性质掌握得不透彻而导致的错误二次函数最值问题中“轴变区间定”要对对称轴进行分类讨论；“轴定区间变”要对区间进行讨论【正解】设的最小值为，（1） 当，即4时，730，得

7、故此时不存在；（2） 当，即44时，恒成立,故44；（3），即4时，70，得7，又4，故74；综上，得72 【变式练习】1.若函数在上为减函数，求实数的取值范围【解析】由在上恒成立，当时，满足题意；当， ，解得综上所述，2.函数的导函数的图象如右图所示，则函数的图象可能是（ ）【解析】试题分析：由图像可知导数值先正后负，所以原函数先增后减，只有D符合3.已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（1，f（1）处的切线方程为，求函数的解析式；【解析】由的图象经过P（0，2），知d=2，所以由在处的切线方程是，知故所求的解析式是4.（2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学）已知函数.（1）当

8、时，讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.【解析】（1）当时，令，解得，令，解得，所以的减区间为，增区间为；（2）若有两个零点，即有两个解，从方程可知，不成立，即有两个解，令，则有，令，解得，令，解得或，所以函数在和上单调递减，在上单调递增，且当时，而时，当时，所以当有两个解时，有，所以满足条件的的取值范围是：.5.（2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学）已知函数.（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x0时，f（x）x3+1，求a的取值范围.【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增.（2）【解析】(1)当时，由于，

9、故单调递增，注意到，故：当时，单调递减，当时，单调递增.(2)由得，其中，.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意；.当时，分离参数a得，记，令，则，故单调递增，故函数单调递增，由可得：恒成立，故当时，单调递增；当时，单调递减；因此，,综上可得，实数a的取值范围是.【真题演练】1【2020年高考全国卷理数】函数的图像在点处的切线方程为ABCD【答案】B【解析】，因此，所求切线的方程为，即.故选：B【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题.2【2020年高考全国III卷理数】若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为Ay=2x+1By=2x+Cy=x+

10、1Dy=x+【答案】D【解析】设直线在曲线上的切点为，则，函数的导数为，则直线的斜率，设直线的方程为，即，由于直线与圆相切，则，两边平方并整理得，解得，（舍），则直线的方程为，即.故选：D【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.3【2020年高考北京】为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在时刻

11、，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强其中所有正确结论的序号是_【答案】【解析】表示区间端点连线斜率的负数，在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；正确；甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强错误；在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；正确；在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；正确；故答案为：【点睛】本题考查斜率应用

12、、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.4【2020年高考全国卷理数】已知函数.（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x0时，f（x）x3+1，求a的取值范围.【解析】（1）当a=1时，f（x）=ex+x2x，则=ex+2x1故当x（，0）时，0所以f（x）在（，0）单调递减，在（0，+）单调递增（2）等价于.设函数，则.（i）若2a+10，即，则当x（0，2）时，0.所以g（x）在（0，2）单调递增，而g（0）=1，故当x（0，2）时，g（x）1，不合题意.（ii）若02a+12，即，则当x(0，2a+1)(2，+)时，g(x)0.所以g(x)在(0，2a+1

13、)，(2，+)单调递减，在(2a+1，2)单调递增.由于g(0)=1，所以g(x)1当且仅当g(2)=(74a)e21，即a.所以当时，g(x)1.（iii）若2a+12，即，则g(x).由于，故由（ii）可得1.故当时，g(x)1.综上，a的取值范围是.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题（4）考查数形结合思想的应用5【2020

14、年高考全国卷理数】已知函数（1）讨论f(x)在区间(0，)的单调性；（2）证明： ；（3）设，证明：【解析】（1）当时，；当时，所以在区间单调递增，在区间单调递减（2）因为，由（1）知，在区间的最大值为，最小值为而是周期为的周期函数，故（3）由于，所以6【2020年高考全国卷理数】设函数，曲线在点(，f()处的切线与y轴垂直（1）求B（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1【解析】（1）依题意得，即.故（2）由（1）知，.令，解得或.与的情况为：x+00+因为，所以当时，只有大于1的零点.因为，所以当时，f（x）只有小于1的零点由题设可知，当时，只有两个零点和1.当

15、时，只有两个零点1和.当时，有三个等点x1，x2，x3，且，综上，若有一个绝对值不大于1的零点，则所有零点的绝对值都不大于1.7【2020年高考天津】已知函数，为的导函数（）当时，（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）求函数的单调区间和极值；（）当时，求证：对任意的，且，有【解析】（）（i）当时，故可得，所以曲线在点处的切线方程为，即（ii）依题意，从而可得，整理可得令，解得当变化时，的变化情况如下表：1-0+极小值所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；的极小值为，无极大值（）证明：由，得对任意的，且，令，则 令当时，由此可得在单调递增，所以当时，即因为，所以， 由（）（ii）可知，当时

16、，即，故 由可得所以，当时，对任意的，且，有8【2020年高考北京】已知函数（）求曲线的斜率等于的切线方程；（）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值【解析】（）因为，所以，设切点为，则，即，所以切点为，由点斜式可得切线方程：，即.（）显然，因为在点处的切线方程为：，令，得，令，得，所以，不妨设时，结果一样，则，所以，由，得，由，得，所以在上递减，在上递增，所以时，取得极小值，也是最小值为.【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.9【2020年高考浙江】已知，函数，其中e=2.71828是自然对数的底数（）证明：函数在上有唯一

17、零点；（）记x0为函数在上的零点，证明：（）；（）【解析】（）因为，所以在上存在零点因为，所以当时，故函数在上单调递增，所以函数以在上有唯一零点（）（）令，由（）知函数在上单调递增，故当时，所以函数在单调递增，故由得，因为在单调递增，故令，令，所以故当时，即，所以在单调递减，因此当时，由得，因为在单调递增，故综上，（）令，所以当时，故函数在区间上单调递增，因此由可得，由得10【2020年高考江苏】某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，为铅垂线(在AB上)经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式

18、；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为40米（1）求桥AB的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价(万元)(k0)，问为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？【解析】（1）设都与垂直，是相应垂足.由条件知，当时， 则.由得 所以（米）.（2）以为原点，为轴建立平面直角坐标系（如图所示）.设则 .因为所以.设则 所以 记桥墩和的总造价为，则 ，令 得 所以当时，取得最小值.答：（1）桥的长度为120米；（2）当为20米时，桥墩和的

19、总造价最低.【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.11【2020年高考江苏】已知关于x的函数与在区间D上恒有（1）若，求h(x)的表达式；（2）若，求k的取值范围；（3）若求证：【解析】（1）由条件，得，取，得，所以由，得，此式对一切恒成立，所以，则，此时恒成立，所以（2）.令，则令，得.所以.则恒成立，所以当且仅当时，恒成立另一方面，恒成立，即恒成立，也即恒成立因为，对称轴为，所以，解得因此，k的取值范围是 （3）当时，由，得，整理得 令 则记则恒成立，所以在上是减函数，则，即所以不等式有解，设解为，因此当时，设， 令，得当时，是减函数；当时，是增函数

20、，则当时，（或证：）则，因此因为，所以当时，因为，均为偶函数，因此也成立综上所述，【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.12【2020年新高考全国卷】已知函数（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）1，求a的取值范围【解析】的定义域为，（1）当时，曲线在点处的切线方程为，即直线在轴，轴上的截距分别为，因此所求三角形的面积为（2）当时，当时，当时，；当时，所以当时，取得最小值，最小值为，从而当时，综上，的取值范围是【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想，属较难试题.