2012高考数学一轮复习：1.3.2《算法案例——秦九邵算法》课件（人教A版必修3）.ppt

1、1.3 算法案例第二课时 例2 求325，130，270三个数的最大公约数.因为325=1302+65，130=652，所以325与130的最大公约数是65.因为270=654+10，65=106+5，10=52，所以65与270最大公约数是5.故325，130，270三个数的最大公约数是5.问题提出 1.辗转相除法和更相减损术，是求两个正整数的最大公约数的优秀算法，我们将算法转化为程序后，就可以由计算机来执行运算，实现了古代数学与现代信息技术的完美结合.2.对于求n次多项式的值，在我国古代数学中有一个优秀算法，即秦九韶算法，我们将对这个算法作些了解和探究.问题1设计求多项式f(x)=2x5-

2、5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值的算法,并写出程序.x=5f=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7PRINT fEND程序点评:上述算法一共做了15次乘法运算,5次加法运算.优点是简单,易懂;缺点是不通用,不能解决任意多项多求值问题,而且计算效率不高.知识探究(一):秦九韶算法的基本思想思考2:在上述问题中，若先计算x2的值，然后依次计算x2x，(x2x)x，(x2x)x)x的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，那么一共做了多少次乘法运算和多少次加法运算？9次乘法运算，5次加法运算.第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数减少了,因而能提高运算效率.而且对于计算机来说,

3、做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多,因此第二种做法能更快地得到结果.思考3:能否探索更好的算法,来解决任意多项式的求值问题?f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7=(2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7=(2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7=(2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7v0=2v1=v0 x-5=25-5=5v2=v1x-4=55-4=21v3=v2x+3=215+3=108v4=v3x-6=1085-6=534v5=v4x+7=5345+7=2677所以,当x=5时,多项式的值是2677.这种求多项式值

4、的方法就叫秦九韶算法.5次乘法运算，5次加法运算.思考4:利用最后一种算法求多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0的值，这个多项式应写成哪种形式？f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+a2x+a1)x+a0=(anxn-2+an-1xn-3+a2)x+a1)x+a0=(anx+an-1)x+an-2)x+a1)x+a0.思考4:对于f(x)=(anx+an-1)x+an-2)x+a1)x+a0，由内向外逐层计算一次多项式的值，其算法步骤如何？第一步，计算v1=anx+an-1.第二步，计算v2=v1x+an-2.第三步，计算v

5、3=v2x+an-3.第n步，计算vn=vn-1x+a0.思考5:上述求多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0的值的方法称为秦九韶算法，利用该算法求f(x0)的值，一共需要多少次乘法运算，多少次加法运算？思考6:在秦九韶算法中，记v0=an，那么第k步的算式是什么？vk=vk-1x+an-k(k=1，2，n)n次乘法运算，n次加法运算知识探究(二):秦九韶算法的程序设计思考1:用秦九韶算法求多项式的值，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？第一步，输入多项式的次数n，最高次项的系数an和x的值.第二步，令v=an，i=n-1.第三步，输入i次项的系数ai.第四步，

6、v=vx+ai，i=i-1.第五步，判断i0是否成立.若是，则返回第二步；否则，输出多项式的值v.思考2:该算法的程序框图如何表示？开始输入n，an，x的值v=anv=vx+ai输入aii0？i=n-1i=i-1结束是输出v否思考3:该程序框图对应的程序如何表述？开始输入n，an，x的值v=anv=vx+ai输入aii0？i=n-1i=i-1结束是输出v否INPUT “n=”；nINPUT “an=”；aINPUT “x=”；x v=ani=n-1WHILE i=0INPUT“ai=”；b v=v*x+bi=i-1 WENDPRINT yEND理论迁移 例1 已知一个5次多项式为用秦九韶算法求

7、f(5)的值.f(x)=(5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8.v1=55+2=27；v2=275+3.5=138.5；v3=138.55-2.6=689.9；v4=689.95+1.7=3451.2；v5=3451.25-0.8=17255.2.所以f(5)=17255.2.变式：例2 已知一个5次多项式为 用秦九韶算法求当x=5时，V1,V3的值及求f(5)的值做多少次乘法运算.解：f(x)=(5x+0)x+3.5)x+0)x+1.7)x-0.8.v1=55+0=25；v2=255+3.5=128.5；v3=128.55+0=642.5；v4=642.55+1.7=3214.2；v5=3214.25-0.8=16070.8.所以v1=25，v3=642.5，f(5)=16070.8.例3 阅读下列程序，说明它解决的实际问题是什么？INPUT“x=”；an=0y=0WHLE n5 y=y+(n+1)*an n=n+1WENDPRINT yEND求多项式在x=a时的值.小结作业 评价一个算法好坏的一个重要标志是运算的次数，如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论算法.在多项式求值的各种算法中，秦九韶算法是一个优秀算法.作业：P45练习：2.P48习题1.3A组：2.