2013-2014学年高中数学课件：1.2 第2课时《充要条件的应用》（新人教A版选修2-1）.ppt

1、第2课时 充要条件的应用充要条件一般地,如果既有pq,又有q_p,就记作p_q,此时,我们说,p是q的充分必要条件,简称_.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.充要条件思考:符号“”的含义是什么?提示:符号“”的含义是“等价于”,例如“pq”可以理解为“p是q的充要条件”“p等价于q”“q当且仅当p”;“pq”的含义还可以理解为“pq且qp”.【知识点拨】常见的四种条件与命题真假的关系如果原命题为“若p,则q”,逆命题为“若q,则p”,那么p与q的关系有以下四种情形:原命题逆命题p与q的关系真真p是q的充要条件q是p的充要条件真假p是q的充分不必要条件q是p的必要不充分条件假真

2、p是q的必要不充分条件q是p的充分不必要条件假假p是q的既不充分也不必要条件q是p的既不充分也不必要条件类型 一充要条件的判断【典型例题】1.(2012重庆高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为0,1上的增函数”是“f(x)为3,4上的减函数”的()A.既不充分也不必要的条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.充要条件2.已知命题“若a0,则函数f(x)=x2+2x+a有两个零点”,有下列条件:充要;充分;必要;充分不必要;必要不充分;既不充分又不必要.其中,命题的结论是条件的条件.(将满足题意的序号都填上)【解题探究】1.如何确定命题的真假?2.题2

3、中命题的条件与结论分别是什么?探究提示:1.对于命题“若p,则q”,由pq一定成立,则为真命题,不一定成立,则为假命题,通常可举反例验证.2.条件是“a0a1,由于a0a1,且a0 a1,所以“函数f(x)=x2+2x+a有两个零点”是“a0且a1,则“函数f(x)=ax在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.当f(x)=ax为R上的减函数时,0a0,此时g(x)=(2-a)x3在R上为增函数成立;当g(x)=(2-a)x3为增函数时,2-a0,a0,且a1,即0a1或1a

4、2,但1a0,tan0”的过程中,由sin0,tan0推出是第一象限角是证明的性(填“充分”或“必要”).2.设a,b,c为ABC中A,B,C所对边,求证:方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是A=90.【解题探究】1.充分性与必要性分别指的是什么?2.题2中证明充分性与必要性分别是由谁推谁?探究提示:1.充分性是由条件推出结论,必要性正好相反.2.充分性是由“A=90”推出“方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根”,必要性正好相反.【解析】1.由题意知:条件:sin0,tan0,结论:是第一象限角,条件结论,应为充分性.答案:充分2.必要性

5、:设两个方程有公共根,则2+(a+c)=0.若=0,代入任一方程得b=0,这与已知a,b,c为ABC的三边相矛盾.=-a-c.代入上面方程组中任何一个式子,均可得a2=b2+c2,A=90.充分性:A=90,a2=b2+c2,x2+2ax+b2=0可化为x2+2ax+a2-c2=0,即(x+a)2-c2=0,(x+a+c)(x+a-c)=0,x1=-a-c,x2=-a+c.同理,x2+2cx-b2=0可化为x2+2cx+c2-a2=0,即(x+c)2-a2=0,(x+a+c)(x+c-a)=0,x3=-a-c,x4=a-c.所以两个方程有公共根-a-c.综上所述,方程x2+2ax+b2=0与x

6、2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是A=90.【拓展提升】证明充要条件的注意事项(1)由充要条件的意义可知,如果原命题与逆命题都是真命题,即pq,那么p与q互为充要条件.尽管如此,在证明“p的充要条件是q”(或q是p的充要条件)时,通常将“qp”作为充分性,将“pq”作为必要性进行证明.(2)一般情况下,必要性比充分性更易于证明,所以可以先证明必要性,再证明充分性.【变式训练】1.已知x,y是非零实数,且xy,求证:的充要条件为xy0.2.求证:关于x的方程x2+mx+1=0有两个负数根的充要条件是m2.【证明】1.必要性:,0,即y,y-x0.充分性:xy,xy0,即2.必要性:设关于x

7、的方程x2+mx+1=0有两个负数根为x1,x2,则即 m2.充分性:m2,=m2-40,且x1+x2=-m-20,关于x的方程x2+mx+1=0有两个负数根.【误区警示】在证明充要条件时,因充分性、必要性区别不清易失分,原因是分不清谁是条件,谁是结论,若分不清,证明时,可不注明充分性、必要性.充要条件的应用【典型例题】1.函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是()A.ab=0B.a+b=0C.a=bD.a2+b2=02.求关于x的不等式ax2-ax+10对xR恒成立的充要条件.【解题探究】1.求一个命题的充要条件的实质是什么?2.题2中不等式恒成立的条件是什么?探究提示:1.求一

8、个命题的充要条件,实质就是找出这个命题成立的等价条件,即所有条件.2.不等式ax2-ax+10对xR恒成立的条件是a=0或【解析】1.选D.方法一(特殊值法):取a=1,b=0排除A;取a=1,b=-1排除B;取a=2,b=2排除C.方法二(直接解法):充分性:由a2+b2=0a=0且b=0f(x)=x|x|是奇函数;必要性:函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数-x|x+a|-b=-x|-x+a|+bx(|x+a|-|x-a|)+2b=0,取x=0,则b=0,再取x=1,则|1+a|-|1-a|=0,即|a+1|=|a-1|,所以a=0.所以a2+b2=0.2.当a=0时,不等式ax2-ax

9、+10为10,不等式显然成立.当a0时,要使不等式ax2-ax+10对xR恒成立,则有解得0a4.综上所述,对xR恒成立的充要条件是a=0或0a4,即0a0,对x(1,2)恒成立”,则如何求充要条件?【解析】1.方法一:依题意,得xR,先求函数为奇函数的必要条件,令f(0)=0,得loga =0a=或a=-(舍去).当a=时,充分性成立.方法二:依题意,函数为奇函数的充要条件为f(-x)+f(x)=0,得loga(x+)+loga(-x+)=0,loga(x+)(-x+)=0,loga(4a2)=0,4a2=1,解得a=或a=-(舍去).答案:2.若a=0,不等式ax2-ax+10为10,不等

10、式显然成立.若a0,令f(x)=ax2-ax+1,要使不等式ax2-ax+10对x(1,2)恒成立,当a0时,f(x)在 ,+)上为增函数,从而f(x)在(1,2)上为增函数,由于f(1)=10,从而a0满足f(x)0在x(1,2)上恒成立;当a0时,f(x)在 ,+)上为减函数,从而f(x)在(1,2)上为减函数,依题意,得f(2)=4a-2a+10,解得a-,即-a0,对x(1,2)恒成立的充要条件是a|a-.【拓展提升】一元二次不等式恒成立问题的解法(1)判别式法主要解决与一元二次不等式有关或经过转化与一元二次不等式有关的问题.(2)一般地,不等式ax2+bx+c0对任意实数x恒成立或不

11、等式ax2+bx+c0(a0)对任意实数x(m,n)恒成立,常常结合二次函数的图象,利用判别式、对称轴以及单调性共同解决.【规范解答】充要条件的求解问题【典例】【规范解答】方法一:利用一元二次方程根与系数的关系,设方程的两根为x1,x2,使x1,x2都大于1的充要条件是3分【条件分析】即7分10分解得m-2为所求.12分方法二:利用函数思想.令f(x)=x2+(2m-1)x+m2,3分依题意,函数的两个零点都大于1的充要条件为10分解得m1,x21x1+x22,x1x21”,但反过来,“x1+x22,x1x21 x11,x21”.例如,取x1=1,x2=3有x1+x22,且x1x21,但没有保

12、证两个根都大于1,所以仅是方程的两根都大于1的必要条件,而不是充分条件.2.整体思想的应用意识利用一元二次方程的根与系数的关系,体现了“设而不求,整体代入”的思想和方法,如本例处的化简即体现了这种思想.【类题试解】求关于x的方程x2+(m-2)x+5-m=0的两根都大于2的充要条件.【解析】方法一:设关于x的方程x2+(m-2)x+5-m=0的两根为x1,x2,依题意,得不等式组等价于解得 -5m-4.所以关于x的方程x2+(m-2)x+5-m=0的两根都大于2的充要条件为m|-5m-4.方法二:令f(x)=x2+(m-2)x+5-m,依题意,函数的两个零点都大于2的充要条件为解得-5m-4.

13、所以关于x的方程x2+(m-2)x+5-m=0的两根都大于2的充要条件为m|-5 ”是“2x2+x-10”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由2x2+x-10得x ,所以“x ”是“2x2+x-10”的充分而不必要条件.2.对于函数y=f(x),xR,“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.若y=f(x)是奇函数,则y=|f(x)|的图象关于y轴对称;反之不成立,比如偶函数y=f(x),满足y=|f(x)|的图象

14、关于y轴对称,但不是奇函数,故选B.3.数列an满足a1=1,an+1=ran+r(nN*,rR且r0),则“r=1”是“数列an成等差数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.若r=1,则an+1=an+1,故an成等差数列;若an成等差数列,则2a2=a1+a3,得4r=1+2r2+r,即(r-1)(2r-1)=0,r=1或r=,当r=1时,an=n,故an是等差数列;当r=时,an+1=an+,由a1=1,得an=1,故an是等差数列.所以“r=1”是“数列an成等差数列”的充分不必要条件.4.“sin=”是“cos2=”的条件.【解析】若sin=,则cos2=1-2sin2=;若cos2=,则1-2sin2=,sin=,“sin=”是“cos2=”的充分不必要条件.答案:充分不必要5.下列式子:x1;0 x1;-1x1;-1x0,其中,可以是x21的一个充分条件的所有序号为.【解析】由于x21即-1x1,显然不能使-1x0,当a0时,=4-4a0,a1,即0a1.当a0恒成立,所以方程恒有负实数根.综上所述,a1为所求.