2013-2014学年高中数学（人教A版必修四）课件：1.ppt

1、第一章三 角 函 数1.1 任意角和弧度制1.1.1 任 意 角一、角的概念的推广和分类1.角的概念角可以看成平面内一条射线绕着_从一个位置旋转到另一个位置_.端点所成的图形2.按旋转方向对任意角分类思考:角的概念中主要包含哪些要素?提示：角的概念包含的三要素为:顶点、始边、终边.逆时针顺时针不作任何二、象限角与终边相同的角1.象限角角的终边在第几象限,则此角称为第几_.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.2.终边相同的角(1)图示：象限角(2)集合表示：_.(3)语言叙述：任一与角终边相同的角，都可以表示成角与_的和.S=|=+k360,kZ整数个周角判断：(正确的打“”

2、，错误的打“”)(1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点.()(2)锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定是锐角.()(3)象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的.()提示：(1)错误.研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点,且角的始边与x轴的非负半轴重合.(2)正确.如390的角是第一象限的角，但不是锐角.(3)错误.不唯一，如终边落在y轴的非正半轴上的角的集合可以表示为|=k360+270,kZ，也可以表示为|=k360-90,kZ.答案：(1)(2)(3)【知识点拨】1.解读任意角的概念(1)用运动的观点来定义角,就可以把角的概念推广到任意角,包括任意大小的正

3、角、负角和零角.(2)对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字.要明确旋转方向；要明确旋转的大小；要明确射线未作任何旋转时的位置.2.象限角的表示(1)终边在第一象限内的角为|=k360+,090,kZ，即将不等式090的两边同时加上k360，可得终边在第一象限的角的表示为|k360k360+90,kZ.(2)终边在第二象限的角的表示为|k360+90k360+180,kZ.(3)终边在第三象限的角的表示为|k360+180k360+270,kZ.(4)终边在第四象限的角的表示为|k360-90k360,kZ.3.终边相同的角的关注点所有与角终边相同的角,连同角在内可以用式子k360+,kZ表示

4、,在运用时需注意以下四点：(1)k是整数,这个条件不能漏掉.(2)是任意角.(3)k360与之间用“+”连接,如k360-30应看成k360+(-30),kZ.(4)终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数个,它们相差周角的整数倍.相等的角终边一定相同.类型 一任意角的概念【典型例题】1.时钟转过2小时15分，分针转过的角度是_，若将时钟拨慢5分钟，则时针、分针所转的角度分别是_.2.写出图(1)(2)中的角，的度数.【解题探究】1.时钟每转过1小时，时针、分针分别转了多少度？2.按角的旋转方向应把角分为哪几类？探究提示：1.时针转分针转一周，即-360.2.按角的旋转方向不同应把角分为正角

5、、负角和零角，当一条射线没有作任何旋转时,规定为零角.【解析】1.因为2小时15分=2.25小时，所以分针转过的角度为-3602.25=-810；若将时钟拨慢5分钟，即回拨小时，故时针转分针转答案：-810 2.5，302.图(1)中，=360-30=330.图(2)中，=-360+60+150=-150;=360+60+(-)=360+60+150=570.【拓展提升】任意角大小的确定策略(1)弄清角的始边与终边.(2)结合图形明确这个角从始边到终边转过了多少度.(3)注意逆时针旋转与顺时针旋转的区别.【变式训练】射线OA绕端点O顺时针旋转90到OB位置，接着逆时针旋转100到OC位置，然后

6、再顺时针旋转240到OD位置，求AOD的大小.【解题指南】按照顺时针旋转得负角，逆时针旋转得正角计算.【解析】由题意知，AOB=-90，BOC=100，COD=-240.所以AOD=AOB+BOC+COD=(-90)+100+(-240)=-230.类型 二象限角【典型例题】1.若是第四象限角，则180-是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角2.-1 120角是第_象限角.3.设是第二象限角，则的终边不在第_象限.【解题探究】1.第四象限角应如何表示？2.要判断角所在的象限，应把角转化到什么范围内？3.题3中应如何表示？探究提示：1.第四象限角应表示为：|k360-90

7、k360,kZ.2.将角转化到0360范围内，在直角坐标系中，在0360范围内没有两个角终边是相同的.3.由于是第二象限角，所以k360+90k360+180,kZ,则k120+30 k120+60,kZ.【解析】1.选C.因为是第四象限角，则角应满足：k360-90k360，kZ，所以-k360-k360+90，则-k360+180180-k360+90+180,kZ，当k=0时，180180-270,故180-为第三象限角.2.因为-1 120=-3604+320，而320是第四象限角，故-1 120是第四象限角.答案：四3.因为是第二象限角,所以k360+90k360+180,则如图,k

8、取0或1或-1时,可得到角终边在第一、二、四象限，不在第三象限答案：三【互动探究】若将题2中的角改为1 120，则此角又是第几象限呢？【解析】因为1 120=3360+40，而40是第一象限角，故1 120是第一象限角.【拓展提升】1.象限角的判定方法(1)根据图象判定.利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0360之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系.(2)将角转化到0360范围内.2.确定所在象限的一般步骤(1)求出的范围.(2)对n的取值分情况讨论.(3)下结论.【变式训练】1.下列说法正确的是()A.第一象限角一定不是负角B.锐角一定是第一象限角C.第二象限角一定是

9、钝角D.终边和始边都相同的角一定相等【解析】选B.由于旋转方向不同，故第一象限角可以是负角，A错.大于0小于90的角是锐角，故一定是第一象限角，B正确.第二象限角可能为负角，故C错.终边和始边都相同的角可能相差k360,kZ，故D错.2.已知是第二象限角,那么是()A.第一象限角B.第二象限角C.第二或第四象限角D.第一或第三象限角【解析】选D.因为是第二象限角，所以90+k360180+k360,kZ,所以kZ,当k取偶数(如0)时，是第一象限角，当k取奇数(如1)时，是第三象限角.类型 三终边相同的角【典型例题】1.下列角中终边与330相同的角是()A.30 B.-30 C.630 D.-

10、6302.与460角终边相同的角可以表示成()A.460+k360，kZB.100+k360，kZC.260+k360，kZD.260+k360，kZ3.如图所示，如按逆时针旋转，终边落在OA位置时的角的集合是_；终边落在OB位置时角的集合是_【解题探究】1.与已知角终边相同的角应如何表示？2.终边相同的角之间相差多少？3.按逆时针旋转形成的角为正角还是负角？探究提示：1.S=|=+k360,kZ.2.终边相同的角之间相差360的整数倍.3.按逆时针旋转形成的角为正角.【解析】1.选B.因为330=360-30，故330与-30角的终边相同.2.选C.因为460=260+(-2)360，故46

11、0可以表示成260+k360，kZ，故选C.3.根据终边相同的角的表示，故终边落在OA位置时的角的集合是|=60+k360,kZ;终边落在OB位置时的角的集合是|=225+k360,kZ.答案：|=60+k360,kZ|=225+k360,kZ【拓展提升】1.终边相同的角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360的整数倍.(2)终边在同一直线上的角之间相差180的整数倍.(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90的整数倍.2.终边在坐标轴上的角的表示(1)终边落在x轴非负半轴上的角的集合为x|x=k360,kZ.(2)终边落在x轴非正半轴上的角的集合为x|x=k360+180,kZ.故

12、角的终边落在x轴上的角的集合为x|x=k180,kZ.(3)终边落在y轴非负半轴上的角的集合为x|x=k360+90,kZ.(4)终边落在y轴非正半轴上的角的集合为x|x=k360+270,kZ.故终边落在y轴上的角的集合为x|x=k180+90,kZ.由(1)(2)(3)(4)可知终边落在坐标轴上的角的集合为x|x=k90,kZ.3.表示区间角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360360范围内的角和，写出最简区间x|x；第三步：起始、终止边界对应角，再加上360的整数倍，即得区间角集合.【变式训练】写出角的终边在图中

13、阴影区域的角的集合(包括边界).【解析】(1)|45+k18090+k180,kZ.(2)|-150+k360150+k360,kZ.【易错误区】与角的概念有关的易错点【典例】下列说法正确的是()A.第一象限的角小于第二象限的角B.若90180,则是第二象限的角C.小于90的角都是锐角D.有些角不是任何象限的角【解析】选D.30角是第一象限的角,-240角是第二象限的角,显然30不小于-240,故A不正确；当=90或180时,其终边落在坐标轴上,不是任何象限的角,可知B不正确,D正确；小于90的角也可能是零角或负角,它不一定是锐角,故C不正确.【误区警示】【防范措施】1.对角的概念的推广的认识

14、对角的认识不能仅仅局限于正角的范围，还有负角和零角，如本例中处的理解.2.明确角的分类按照角的旋转方向分为正角、负角和零角；按照角的终边位置分为象限角和终边在坐标轴上的角，如在本例处易忽略终边落在坐标轴上的角的情况.【类题试解】下列说法中正确的是()A.三角形的内角必是第一、二象限角B.第一象限角必是锐角C.不相等的角终边一定不同D.若=+k360(kZ),则和终边相同【解析】选D.90的角可以是三角形的内角,但它不是第一、二象限角；390的角是第一象限角,但它不是锐角；390角和30角不相等,但终边相同,故A,B,C均不正确.对于D,由终边相同的角的概念可知正确.1.把1 485转化为+k3

15、60(0360,kZ)的形式是()A.45-4360 B.-45-4360C.-45-5360 D.315-5360【解析】选D.由于0360，故选项B,C错误.因为-1 485=3155360，故选D.2.以下说法，其中正确的有()-65是第四象限的角；锐角必是第一象限的角；235是第三象限角；在-3600范围内与1 250终边相同的角是-190.A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选D.由终边相同的角的概念知：都正确,而锐角是大于0小于90的角，故必是第一象限的角，正确.3.若角满足=45+k180，kZ，则角的终边落在()A.第一或第三象限B.第一或第二象限C.第二或第四象限D.第三

16、或第四象限【解析】选A.当k=0时，=45，此时为第一象限角；当k=1时，=225，此时为第三象限角，故选A.4.已知=30，将其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_.【解析】3360+30=1 110.答案：1 1105.有一个小于360的正角，这个角的6倍的终边与x轴的正半轴重合，则这个角为_.【解析】由题知，6=k360，kZ，所以=k60，kZ.又因为是小于360的正角，所以满足条件的角的值为60，120，180，240，300.答案：60,120,180,240,3006.求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角和最大负角.(1)-210.(2)-1 48437.【解析】(1)因为-210=-360+150，所以与-210终边相同的角的集合为|=k360+150,kZ.其中最小正角为150，最大负角为-210.(2)因为-1 48437=-5360+31523，所以与-1 48437终边相同的角的集合为|=k360+31523,kZ，其中最小正角为31523，最大负角为-4437.