2013-2014学年高中数学（人教A版必修四）课件：2.ppt

1、2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1 平面向量基本定理一、平面向量基本定理定理条件e1,e2是同一平面内的两个_向量结论对于这一平面内的_向量a,_实数1,2,使a=_基底_的向量e1,e2叫做表示这一平面内_向量的一组基底不共线任意有且只有一对1e1+2e2不共线所有判断:(正确的打“”,错误的打“”)(1)平面向量的一组基底e1,e2一定都是非零向量.()(2)在平面向量基本定理中,若a=0,则1=2=0.()(3)在平面向量基本定理中,若ae1,则2=0;若ae2,则1=0.()(4)表示同一平面内所有向量的基底是唯一的.()提示：(1)正确.平面向量基本定理的前提条件是e1,

2、e2不共线,若e1,e2中有零向量,而零向量和任意向量共线,这与定理的前提矛盾,故e1,e2中不可能有零向量.(2)正确.当a=0即1e1+2e2=0时,因为0e1+0e2=0,所以根据实数1,2相对于基底e1,e2唯一性知1=2=0.(3)正确.当ae1时,a=e1=1e1+2e2,所以根据实数1,2相对于基底e1,e2唯一性知1=,2=0.同理可知当ae2时1=0.(4)错误.同一平面的基底可以不同,只要它们不共线,是不唯一的.答案:(1)(2)(3)(4)二、两向量的夹角与垂直条件两个_向量a和b产生过程作向量则_叫做向量a与b的夹角.范围_特殊情况=0a与b_=90a与b_,记作_=1

3、80a与b_非零AOB=0180垂直ab反向同向思考：等边三角形ABC中，向量与的夹角是60吗？提示：不是，求两个向量的夹角时，两个向量的起点必须相同，所以等边三角形ABC中，向量与的夹角是120而不是60.【知识点拨】1.对平面向量基本定理的三点说明(1)实质平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任意向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式.(2)唯一性平面向量基本定理中，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的.(3)体现的数学思想这个定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择恰当的基底，将问题中涉

4、及的向量用基底化归，使问题得以解决.2.正确理解向量的夹角(1)向量夹角的几何表示.依据向量夹角的定义，两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点，这样它们所成的角才是两向量的夹角.如图，已知两向量a，b，作则AOB为a与b的夹角.(2)注意事项.向量的夹角是针对非零向量定义的；向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们分别是0,和类型 一平面向量基本定理的理解和应用【典型例题】1.已知平行四边形ABCD，下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是()2.如图，在ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DEBC，AD=2BD，已知(1)用向量a，b分别表示向量(2)作出向量分别在a,b方向上的

5、分向量(写出结论，不要求写作法)【解题探究】1.两个向量可以作为基底的条件是什么？2.(1)如何确定点E在AC上的位置？用已知向量表示其他向量常用哪些知识？(2)作出一个向量分别在a,b方向上的分向量的基本步骤是什么？探究提示：1.两个向量可以作为基底的条件是不共线.2.(1)根据DEBC和AD=2BD，利用相似三角形的性质确定点E在AC上的位置.用已知向量表示其他向量常用到向量加法、减法和数乘向量的几何意义.(2)基本步骤：平移使向量共起点;作平行线构造平行四边形.【解析】1.选D.由于不共线，则是一组基底2.(1)因为DEBC，所以AED=ACB，ADE=ABC，所以ADEABC.又因为A

6、D=2BD，所以所以因为所以(2)如图所示，向量在a，b方向上的分向量分别是【拓展提升】1.平面向量基本定理中基底的理解(1)两个向量能否构成基底，主要看两向量是否为不共线(2)基底不唯一，不共线就能构成基底2.平面向量基本定理的作用(1)平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是下一节学习向量坐标表示的理论依据，是一个承前启后的重要知识点.(2)根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算.要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量

7、与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量.【变式训练】如图，已知点D为ABC中AC边上一点，且设(1)在图中画出向量分别在a，b方向上的分向量.(2)试用a，b表示向量【解析】(1)如图，过点D作DEBC，交AB于E，作DFAB，交BC于F，向量在a方向上的分向量是向量在b方向上的分向量是(2)因为所以所以所以类型 二向量的夹角问题【典型例题】1.若a0，且b0，且|a|=|b|=|a-b|，则a与a+b的夹角是_.2.已知两非零向量a与b的夹角为80，试求下列向量的夹角：(1)a与b.(2)2a与3b.【解题探究】1.根据向量加法和减法的几何意义，向量a，b，ab，ab是否可以出现在同一个

8、平行四边形中？2.依据向量夹角的定义可知，求两个向量的夹角关键是什么？探究提示：1.首先平移向量a，b使两个向量共起点，然后以两个向量为邻边作平行四边形，则ab，ab恰好是此平行四边形的对角线所表示的向量.2.求两个向量的夹角关键是让两个向量共起点.【解析】1.如图所示，作以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则所以AOC是a与a+b的夹角,因为|a|=|b|=|a-b|，所以OAB是等边三角形，平行四边形OACB是菱形,所以答案：302.(1)由向量夹角的定义，如图，向量a与b的夹角为100.(2)如图，向量2a与3b的夹角为80.【互动探究】题1中，若|a|=|b|=|a+b|，求a与a

9、+b的夹角.【解析】如图所示，作以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则所以AOC是a与a+b的夹角.因为|a|=|b|=|a+b|，所以OAC是等边三角形，平行四边形OACB是菱形,所以AOC=60.【拓展提升】两向量夹角的实质和求解(1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决.(2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.类型 三任意一向量基底表示的唯一性的应用【典型例题】1.(2013遵义高一检测)在ABC中，已知D是AB边上一点，若则=()2.如图所示，

10、在OAB中，点M是AB的靠近B的一个三等分点，点N是OA的靠近A的一个四等分点.若OM与BN相交于点P，求【解题探究】1.题1中，向量与是否可以作为表示这一平面内所有向量的一组基底？基底给定时，向量分解形式唯一吗？2.题2中，与点P有关的共线向量有哪些？探究提示：1.由题意知不共线，故可以作为一平面内所有向量的基底.基底给定时，向量分解形式唯一.2.题2中，与点P有关的共线向量有与共线，与共线.【解析】1.选D.因为所以所以又因为且与不共线，所以2.因为与共线，故可设又与共线，可设所以解得所以【拓展提升】1.任意一向量基底表示的唯一性的理解条件一平面内任一向量a和同一平面内两个不共线向量e1,

11、e2条件二a=1e1+1e2且a=2e1+2e2结论2.任意一向量基底表示的唯一性的应用平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1,e2的线性组合1e1+2e2.在具体求1,2时有两种方法:(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理.(2)利用待定系数法,即利用定理中1,2的唯一性列方程组求解.【变式训练】如图所示，在ABC中，点M是AB的中点，且BN与CM相交于E，设试用基底a，b表示向量【解析】易得由N，E，B三点共线，设存在实数m，满足由C，E，M三点共线，设存在实数n满足：所以由于a，b为基底，所以解之得所以【易错误区】平面向量基本定理理解

12、不准确致误【典例】(2013遵义高一检测)如图,在平面内有三个向量满足与的夹角为120，与的夹角为30，设则m+n等于()A.B.6 C.10 D.15【解析】选D.如图，过C作CAOB，交OA的延长线于点A，过C作CBOA，交OB的延长线于点B，因为AOB120，AOC30，所以BOCAOBAOC90，在RtBOC中，BCO=AOC30，OC=因为四边形OACB是平行四边形，所以因为与共线，与共线,所以所以由平面向量基本定理可知m=10，n=5，故m+n=15.【误区警示】【防范措施】1.重视向量线性运算几何意义向量加法的平行四边形法则、三角形法则以及向量减法和数乘向量的几何意义是向量运算的

13、基础，解题时要重视这些基础知识的应用.例如，本例中表示向量的有向线段为平行四边形的对角线，表示向量和的有向线段为邻边，作出平行四边形才可以用向量和表示向量2.理解任意一向量基底表示的唯一性利用任意一向量基底表示的唯一性，即a1e11e2且a2e12e2，则可以构建方程组，使得问题获解如本例中，由及与不共线可知m=10，n=5.【类题试解】如图所示，两射线OA与OB交于O，给出向量：这些向量中以O为起点，终点在阴影区域内的是_(写出所有符合要求向量的序号)【解析】假设线段OA的三个四等分点分别为E，F，G，线段OB的中点为P，AB的中点为Q，由向量加法的平行四边形法则知，满足题意；由向量加法的平

14、行四边形法则知，终点在阴影区域内，符合题意；由向量减法的几何意义知，终点不在阴影区域内，不合题意；不合题意.答案：1.下面三种说法：一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；零向量不可作为基底中的向量.其中正确的说法是()A.B.C.D.【解析】选B.平面内向量的基底不唯一，在同一平面内，任意一对不共线的向量都可以作为基底；而零向量与任何向量共线，故不可作为基底中的向量，故正确，选B2.已知向量e1与e2不共线，实数x，y满足(3x4y)e1(2x3y)e26e13e2，则xy等于()A.3 B.-3 C.0 D.2【

15、解析】选A.因为(3x4y)e1(2x3y)e26e13e2，所以(3x4y6)e1(2x3y3)e20，所以由得xy30，即xy3.3.若向量a与b的夹角为60，则向量a与b的夹角是()A.60 B.120 C.30 D.150【解析】选A.将向量a，b移至共同起点O，如图所示，则由对顶角相等可得向量a与b的夹角也是60.4.ABC中，若D，E，F依次是的四等分点，则以为基底时，CF=_.【解析】因为D，E，F依次是的四等分点,所以所以答案：5.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，在DB延长线上取点H，使BH=MB，若则1=_，2=_.【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点M,所以DM=MB，又BH=MB且D，M，B，H共线,所以又因为且a与b不共线,所以答案：6.如图，平行四边形ABCD中，H，M是AD，DC的中点，BFBC，以a，b为基底表示向量与【解析】由H，M，F所在位置有：