2014届高考数学（文）一轮复习课件（鲁闽皖专用）： 7.5 直线、平面垂直的判定及其性质（新人教A版）.ppt

1、第五节直线、平面垂直的判定及其性质三年20考高考指数:1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形垂直关系的简单命题.1.垂直关系的判断多出现在选择题或填空题中，主要考查对与垂直有关的概念、公理、定理、性质、结论的理解及运用，往往与命题及平行关系综合在一起考查，难度较小；2.线面垂直、面面垂直的证明及运算常以解答题的形式出现，且常与平行关系综合命题，难度中等；3.通过求线面角，或与几何体的体积结合在一起命题，进而考查学生的空间想象能力和运算能力，常以解答题的形式出现.1.直线与平面垂直(1)直线与平

2、面垂直的定义条件：直线l与平面内的_一条直线都垂直.结论：直线l与平面垂直.任意(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条_直线都垂直，则该直线与此平面垂直._，_，_,_，_，l性质定理垂直于同一个平面的两条直线_._，_，ababOlab平行lalbabab=Oab相交【即时应用】(1)思考：能否将直线与平面垂直的定义中的“任意一条直线”改为“无数条直线”？提示：不可以.当这无数条直线平行时，直线l有可能在平面内，或者l与平面相交但不垂直.(2)直线a平面，b，则a与b的位置关系是_.【解析】由b可得b平行于内的一条直线，设为b.因为

3、a，所以ab，从而ab，但a与b可能相交，也可能异面.答案：垂直2.直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_，叫做这条直线和这个平面所成的角.如图，_就是斜线AP与平面所成的角.(2)线面角的范围：0，.锐角PAO【即时应用】(1)思考：如果两直线与一个平面所成的角相等，则这两直线一定平行吗？提示：不一定.这两直线的位置关系可能平行、相交或异面.(2)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，B1C与平面A1B1C1D1所成的角为_，其大小为_；D1B与平面ABCD所成的角的正弦值为_.【解析】B1C与平面A1B1C1D1所成的角为CB1C1，其大小为45；连接BD

4、，则D1B与平面ABCD所成的角为D1BD，其正弦值为答案：CB1C1 453.平面与平面垂直(1)二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱.两个半平面叫做二面角的_.如图的二面角，可记作:二面角_或二面角_.-l-AB-面二面角的平面角：如图，过二面角-l-的棱l上一点O在两个半平面内分别作BOl，AOl,则_就叫做二面角-l-的平面角.平面角的范围：设二面角的平面角为，则0,.AOB(2)平面与平面垂直定义：条件：两相交平面所成的二面角为_.结论：这两平面垂直.直二面角平面与平面垂直的判定定理：文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面

5、的_，则这两个平面垂直._,_,垂线lll平面与平面垂直的性质定理：文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于_的直线与另一个平面垂直._,_,_l交线=allala【即时应用】(1)思考：垂直于同一平面的两平面是否平行？提示：不一定.两平面可能平行，也可能相交.(2)已知,表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的_条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”)【解析】由条件知，当m时，一定有；但反之不一定成立.故填必要不充分.答案：必要不充分(3)将正方形ABCD沿AC折成直二面角后，DAB=_.【解析】如图,取AC的中点O，连接DO，BO，则D

6、OAC，BOAC，故DOB为二面角的平面角，从而DOB=90.设正方形边长为1，则所以DB=1，故ADB为等边三角形，所以DAB=60.答案：60ABCDO直线与平面垂直的判定和性质【方法点睛】1.判定线面垂直的常用方法方法一利用线面垂直的判定定理方法二利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”.方法三利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”.方法四利用面面垂直的性质2.线面垂直性质的应用当直线和平面垂直时，则直线与平面内的所有直线都垂直，给我们提供了证明空间两线垂直的一种重要方法.【提醒】解题时一定要严格按照定理成立的条件规范书写过程.如用判定定理证明线面

7、垂直时，一定要体现出“平面中的两条相交直线”这一条件.【例1】(1)(2012北京模拟)已知如图，六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC.则下列结论不正确的是()(A)CD平面PAF(B)DF平面PAF(C)CF平面PAB(D)CF平面PAD(2)(2012鹰潭模拟)如图，三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，ABBC，DE垂直平分线段PC，且分别交AC、PC于D、E两点,又PB=BC，PA=AB.求证：PC平面BDE；若点Q是线段PA上任一点，判断BD、DQ的位置关系，并证明你的结论；若AB=2,求三棱锥B-CED的体积.【解题指南】(1)根据线面平行、垂直的判定定理来判断.(

8、2)利用线面垂直的判定定理证明；证明BD平面PAC即可；根据VB-CED=VC-BDE，转化为求SBDE及CE的长度.【规范解答】(1)选D.由正六边形的性质得CDAF，CFAB，故A、C正确；因为PA平面ABC，所以PADF，又DFAF，PAAF=A，故DF平面PAF，即B正确.故选D.(2)由等腰三角形PBC，得BEPC，DE垂直平分PC，DEPC，又BEDE=E，PC平面BDE由得，PCBD，PA底面ABC，PABD.又PCPA=P，BD平面PAC当点Q是线段PA上任一点时都有BDDQ.PA=AB=2,ABBC,PC=4，CE=2，且CDECPA，由知：BDDE.【反思感悟】1.在证明垂

9、直关系时，要注意线面垂直与面面垂直间的相互转化，同时要注意通过作辅助线进行这种转化.2.解答与垂直有关的问题时要重视对图形的观察与分析，从中找到线线垂直往往是解题的关键，因为所有的垂直问题都可转化为线线垂直来处理.平面与平面垂直的判定和性质【方法点睛】1.判定面面垂直的方法面面垂直的判定综合性强，可通过转化使问题得以解决，“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的关系如图，其中线线垂直是基础，线面垂直是核心.解决这类问题时要善于挖掘题目中隐含着的线线垂直、线面垂直的条件.2.面面垂直性质的应用(1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”.(2)两个

10、相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.【例2】如图，在BCD中，BCD90，BCCD1，AB平面BCD，ADB60，E、F分别是AC、AD上的动点，且(1)判断EF与平面ABC的位置关系并给予证明；(2)是否存在，使得平面BEF平面ACD，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由.【解题指南】(1)结合图形猜测EF与平面ABC垂直.由知EFCD，由BCD90及AB平面BCD可证得结论成立.(2)由EFCD可知问题相当于过点B作一个平面与平面ACD垂直，而这样的平面一定存在，故只需计算出即可.【规范解答】(1)EF平面ABC.证明：AB平面BCD，ABCD，在BCD中，BC

11、D90，BCCD，又ABBCB，CD平面ABC，在ACD中EFCD，EF平面ABC.(2)CD平面ABC，BE平面ABC，BECD，故要使平面BEF平面ACD，只需证BEAC.在RtABD中，ADB60，ABBDtan60则当BEAC时，则BEAC，又BECD，ACCDC，BE平面ACD，BE平面BEF，平面BEF平面ACD.所以存在时，平面BEF平面ACD.【反思感悟】证明面面垂直时一般先证线面垂直，确定这条直线时可从图中现有的直线中去寻找，若图中不存在这样的直线，则应通过添加辅助线来构造.垂直关系的综合问题【方法点睛】垂直关系综合题的类型及解法(1)对于三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线

12、进行线线、线面、面面垂直间的转化.(2)对于垂直与平行结合的问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.(3)对于垂直与体积结合的问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积.【例3】(2012唐山模拟)如图，已知三棱锥ABPC中，APPC，ACBC，M为AB的中点，D为PB的中点，且PMB为正三角形.(1)求证：DM平面APC；(2)求证：平面ABC平面APC；(3)若BC4，AB20，求三棱锥DBCM的体积.【解题指南】(1)要证DM平面APC,只需证明DMAP；(2)证BC平面APC；(3)通过VDBCMVMBCD求体积.【规范解答】(1)M为AB中点，D为PB

13、中点，DMAP，又DM平面APC，AP平面APC.DM平面APC.(2)PMB为正三角形，且D为PB中点，MDPB，又由(1)知MDAP，APPB.又APPC，PBPC=P，AP平面PBC，APBC，又ACBC，APAC=A，BC平面APC.又BC平面ABC.平面ABC平面APC.(3)AB20，MP10，PB10.又BC4，又【反思感悟】1.本题体现了“转化”思想在立体几何中的应用，解题中要注意利用“平行”、“垂直”间的转化.2.解答题中要注重关键步骤的叙述与体现，以做到规范解题.【满分指导】垂直关系综合问题的规范解答【典例】(12分)(2011辽宁高考)如图，四边形ABCD为正方形，QA平

14、面ABCD，PDQA,QA=AB=PD.(1)证明：PQ平面DCQ；(2)求棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值.【解题指南】(1)证明PQDC，PQQD，进而可得PQ平面DCQ；(2)设出正方形的边长为a，分别计算两个棱锥的体积，再求体积的比值.【规范解答】(1)由条件知PDAQ为直角梯形.因为QA平面ABCD，QA平面PDAQ，所以平面PDAQ平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DCAD，所以DC平面PDAQ，2分又PQ平面PDAQ，所以PQDC.在直角梯形PDAQ中可得则PQQD.5分又DCQD=D,所以PQ平面DCQ.6分(2)设AB=a.由题设知AQ为棱

15、锥Q-ABCD的高，所以棱锥Q-ABCD的体积8分由(1)知PQ为棱锥P-DCQ的高，而 DCQ的面积为所以棱锥P-DCQ的体积11分故棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值为1.12分【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示在解答本题时有两点容易造成失分：(1)解题时忽视各种垂直间的转化，从而造成思路受阻；(2)答题过程书写不规范，如在证明线面垂直时忽视了对“平面内两条相交直线”的叙述.备考建议解决垂直问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)缺乏空间想象能力，找不出应该垂直的线和面；(2)对几何体体积、面积及线

16、面角的计算不准确；(3)不善于挖掘图形中存在的关系，缺乏通过添加辅助线解题的能力.另外要重视对基础知识的积累、解题过程的规范，并且要善于使用数学符号进行表达.1.(2012泉州模拟)已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面，则下列命题中的真命题是()(A)若m，n，则mn(B)若m，n，则mn(C)若m，n，则mn(D)若m，n，则mn【解析】选A.由m,可得m或m，又n，故mn，即A正确；如图(1)，m,n,但mn，故C错；如图(2)知B错；如图(3)正方体中，m,n,，但m,n相交，故D错.2.(2012淄博模拟)如图，在直角梯形ABCD中，BCDC，AEDC，M、N分别是AD、BE的中点

17、，将三角形ADE沿AE折起.下列说法正确的是_.(填上所有正确的序号)不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN平面DEC;不论D折至何位置都有MNAE;不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MNAB.【解析】将ADE沿AE折起后所得图形如图,取DE中点P,EC中点Q,连PM、PQ、QN.则PMNQ，四边形PMNQ为平行四边形，MNPQ，又MN平面DEC，PQ平面DEC，MN平面DEC，故正确.又AEED，AEEC，DECE=E，AE平面DEC，AEPQ，AEMN，故正确.由MNPQ，PQ与EC相交知MN与EC不平行，从而MN与AB不会平行.答案：3.(2011福建高考)如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，点E在线段AD上，且CEAB.(1)求证：CE平面PAD；(2)若PA=AB=1，AD=3，CDA=45，求四棱锥P-ABCD的体积.【解析】(1)因为PA平面ABCD，CE平面ABCD，所以PACE.因为ABAD，CEAB,所以CEAD.又PAAD=A，所以CE平面PAD.(2)由(1)可知CEAD.在RtECD中，DE=CDcos45=1.CE=CDsin45=1.又因为AB=CE=1，ABCE，所以四边形ABCE为矩形.所以S四边形ABCD=S矩形ABCE+SECD=又PA平面ABCD，PA=1，所以