2022秋高中数学 第四章 数列 培优课 数列的求和课后习题 新人教A版选择性必修第二册.docx

1、培优课数列的求和必备知识基础练1.(2021宁夏石嘴山一中高二月考)数列1,1+2,1+2+22,1+2+22+2n-1,的第100项为()A.299-1B.2100-1C.299D.21002.若数列an的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则它的前100项之和S100=()A.150B.120C.-120D.-1503.已知数列an的前n项和为Sn,若an=1n(n+2),则S5等于()A.67B.5021C.2521D.25424.已知数列an的通项公式an=1n+n+1,若该数列的前k项之和等于9,则k等于()A.99B.98C.97D.965.设函数f(x)=22x+1,则f(-

2、5)+f(-4)+f(0)+f(4)+f(5)的值为()A.9B.11C.92D.1126.(多选题)设等差数列an满足a2=5,a6+a8=30,公差为d,则下列说法正确的是()A.an=2n+1B.d=2C.1an2-1=141n+1n+1D.1an2-1的前n项和为n4(n+1)7.12-22+32-42+992-1002=.8.已知数列an=(2n-1)3n-1的前n项和为Sn,则S20=.9.(2021黑龙江哈尔滨三中高三模拟)已知x表示不超过x的最大整数,例如:2.3=2,-1.5=-2.在数列an中,an=lg n,nN*.记Tn为数列an的前n项和,则T2 021=.10.已知

3、等差数列an满足a5=9,a2+a6=14.(1)求an的通项公式;(2)若bn=an+qan(q0),求数列bn的前n项和Sn.11.已知等差数列an的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.(1)求an的通项公式;(2)求数列1a2n-1a2n+1的前n项和Tn.关键能力提升练12.(2021山东枣庄高二期末)数列an,bn满足anbn=1,an=n2+5n+6,nN*,则bn的前10项之和为()A.413B.513C.839D.103913.已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,当n2时,an+2Sn-1=n,则S2 021的值为()A.1 008B.1 009C.1 010D.1 01

4、114.(2021江西九江高二期中)数列an满足a1+2a2+22a3+2n-1an=n2(nN*),数列an的前n项和为Sn,则S10等于()A.1255B.1-1210C.1-129D.126615.(多选题)已知数列an为等差数列,a1=1,且a2,a4,a8是一个等比数列中的相邻三项,记bn=anqan(q0,且q1),则bn的前n项和可以是()A.nB.nqC.q+nqn+1-nqn-qn(1-q)2D.q+nqn+2-nqn+1-qn+1(1-q)216.(多选题)已知数列an是等差数列,bn是等比数列,a1=1,b1=2,a2+b2=7,a3+b3=13.记cn=an,n为奇数,

5、bn,n为偶数,数列cn的前n项和为Sn,则()A.an=2n-1B.bn=2nC.S9=1 409D.S2n=2n2-n+43(4n-1)17.(多选题)(2021江苏南通高三其他模拟)在数列an中,若an+an+1=3n,则称an为“和等比数列”.设Sn为数列an的前n项和,且a1=1,则下列对“和等比数列”的判断中正确的有()A.a2 020=32020-14B.a2 020=32021-14C.S2 021=32022-18D.S2 021=32023-1818.设Sn是数列an的前n项和,且a1=13,an+1+2SnSn+1=0,nN*,则S1S2+S2S3+S9S10=.19.已

6、知函数f(x)=x-123+1,则当m+n=1时,f(m)+f(n)=,f12021+f22021+f20192021+f20202021的值为.20.已知数列an的前n项和为Sn=3n2-2n,而bn=3anan+1,Tn是数列bn的前n项和,则使得Tn0且q1时,Sn=1+3+5+(2n-1)+(q1+q3+q5+q2n-1)=n2+q(1-q2n)1-q2;当q=1时,bn=2n,则Sn=n(n+1).所以Sn=n(n+1),q=1,n2+q(1-q2n)1-q2,q0且q1.11.解(1)设an的公差为d,则Sn=na1+n(n-1)2d.由已知可得3a1+3d=0,5a1+10d=-

7、5,解得a1=1,d=-1.故an的通项公式为an=2-n.(2)由(1)知1a2n-1a2n+1=1(3-2n)(1-2n)=1(2n-3)(2n-1)=1212n-3-12n-1,从而数列1a2n-1a2n+1的前n项和为Tn=121-111+1113+12n-312n-1=n1-2n.12.D因为anbn=1,an=n2+5n+6,故bn=1n2+5n+6=1n+21n+3,故bn的前10项之和为1314+1415+112113=13113=1039.13.D由题意,当n2时,可得Sn-1=Sn-an,因为an+2Sn-1=n,所以an+2(Sn-an)=n,即2Sn=an+n,当n3时

8、,2Sn-1=an-1+n-1,式子2Sn=an+n与2Sn-1=an-1+n-1左、右两边分别相减,可得2an=an-an-1+1,即an+an-1=1,所以a2+a3=1,a4+a5=1,a6+a7=1,所以S2021=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+(a2020+a2021)=1+2021-121=1011.14.B因为数列an满足a1+2a2+22a3+2n-1an=n2,a1+2a2+22a3+2n-2an-1=n-12(n2),两式相减得2n-1an=n2n-12=12,则an=12n(n2),又a1=12满足an=12n,所以an=12n(nN*),因此S10=12(1-1

9、210)1-12=1-1210.15.BD设等差数列an的公差为d,又a1=1,且a2,a4,a8是一个等比数列中的相邻三项,所以a42=a2a8,即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),化简得d(d-1)=0,所以d=0或d=1,故an=1或an=n,所以bn=q或bn=nqn.设bn的前n项和为Sn,(1)当bn=q时,Sn=nq;(2)当bn=nqn时,Sn=1q+2q2+3q3+nqn,qSn=1q2+2q3+3q4+nqn+1,-,得(1-q)Sn=q+q2+q3+qn-nqn+1=q(1-qn)1-q-nqn+1,所以Sn=q(1-qn)(1-q)2nqn+11-q=q+n

10、qn+2-nqn+1-qn+1(1-q)2.故选BD.16.ABD设数列an的公差为d,数列bn的公比为q(q0),依题意有1+d+2q=7,1+2d+2q2=13,得d=2,q=2,故an=2n-1,bn=2n,故A,B正确;则c2n-1=a2n-1=4n-3,c2n=b2n=4n,所以数列cn的前2n项和S2n=(a1+a3+a2n-1)+(b2+b4+b2n)=n(1+4n-3)2+4(1-4n)1-4=2n2-n+43(4n-1),S9=S8+a9=368+17=385,故C错误,D正确.17.ACa1+a2=3,a2=2,因为an+an+1=3n,所以an+1+an+2=3n+1,两

11、式相减得an+2-an=23n,所以a2020=(a2020-a2018)+(a2018-a2016)+(a4-a2)+a2=2(32+34+32018)+2=32020-14,故A正确,B错误;S2021=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+(a2020+a2021)=1+(32+34+32020)=32022-18,故C正确,D错误.故选AC.18.17因为an+1+2SnSn+1=0,所以Sn+1-Sn+2SnSn+1=0,所以Sn-Sn+1=2SnSn+1,所以1Sn+11Sn=2.又1S1=1a1=3,所以数列1Sn是以3为首项,2为公差的等差数列,所以1Sn=3+(n-1)2=2

12、n+1,所以Sn=12n+1,所以SnSn+1=12n+112n+3=1212n+112n+3,所以S1S2+S2S3+S9S10=121315+1517+119121=1213121=17.19.22020函数f(x)=x-123+1,由m+n=1,得m-12=-n-12,所以f(m)+f(n)=m-123+1+n-123+1=2,所以当m+n=1时,f(m)+f(n)=2,令S=f12021+f22021+f20192021+f20202021,所以2S=f12021+f20202021+f20202021+f12021=22020,故S=f12021+f22021+f20192021+f

13、20202021=2020.20.10由Sn=3n2-2n,得an=6n-5.bn=3anan+1=3(6n-5)(6n+1)=1216n-516n+1,Tn=121-17+17-113+16n-516n+1=121-16n+1.121-16n+112,要使121-16n+1m20对nN*成立,需有m2012,即m10,故符合条件的最小正整数为10.21.解(1)当n=1时,a1=S1=12(a12+1),解得a1=1.当n2时,Sn-1=12(an-12+n-1),an=Sn-Sn-1=12(an2an-12+1),解得an-an-1=1或an+an-1=1(n2).因为an为递增数列,所以

14、an-an-1=1,an是首项为1,公差为1的等差数列,所以an=n.(2)由题意,知cn=1(n+1)2-1,n为奇数,32n-1+1,n为偶数,所以T20=122-1+142-1+1202-1+3(21+23+219)+10=113+135+11921+32(1-410)1-4+10=121113+1315+119121+2(410-1)+10=1021+221+8=221+17821.22.1830当n=2k时,a2k+1+a2k=4k-1;当n=2k-1时,a2k-a2k-1=4k-3.a2k+1+a2k-1=2,a2k+3+a2k+1=2,a2k-1=a2k+3,a1=a5=a61.a1+a2+a3+a60=(a2+a3)+(a4+a5)+(a60+a61)=3+7+11+(260-1)=30(3+119)2=3061=1830.23.-20232022因为2Sn=n2+n,所以Sn=n2+n2,n2时,an=Sn-Sn-1=n(n+1)2(n-1)n2=n,a1=S1=1+12=1也适合上式,所以an=n(nN*),所以bn=(-1)n(2n+1)n(n+1)=(-1)n1n+1n+1,所以T2021=-1+12+12+13-13+14+12020+12021-12021+12022=-1-12022=-20232022.