2022高三全国统考数学北师大版（理）一轮复习学案：12-2　古典概型与几何概型 WORD版含解析.docx

1、12.2古典概型与几何概型必备知识预案自诊知识梳理1.基本事件在一次试验中,我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果,它们是试验中不能再分的最简单的随机事件,其他事件可以用它们来描绘,这样的事件称为.2.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成的和.3.古典概型(1)定义:具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.有限性:试验中所有可能出现的基本事件.等可能性:每个基本事件出现的可能性.(2)古典概型的概率公式P(A)=A包含的基本事件的个数基本事件的总数.4.几何概型(1)定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的(面积或体积

2、)成比例,那么称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.(2)特点:无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个;等可能性:每个结果的发生具有等可能性.(3)公式:P(A)=.5.随机模拟方法使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是随机模拟方法.1.任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和.2.求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有:列举法、列表法和树状图法.3.与面积有关的几何概型,若已知图形不明确,可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,即可借助平面区域解决问题.考

3、点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)在一次古典概型试验中,其基本事件的发生一定是等可能的.()(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.()(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.()(4)在古典概型中,每个基本事件的概率都是1n;如果某个事件A包括的结果有m个,则P(A)=mn.()(5)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.()2.西游记三国演义水浒传红楼梦是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中,任取2种进行阅读,则取到红楼梦的概率为()A.23B.12C.13D.143.如图为中国古代刘徽的九章算术注中研究“勾股容方”问题

4、的图形,图中ABC为直角三角形,四边形DEFC为它的内接正方形,已知BC=2,AC=4,在ABC上任取一点,则此点取自正方形DEFC的概率为()A.19B.29C.49D.594.(2020江苏,4)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是.5.在长为10 cm的线段AB上任取一点C,作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积小于16 cm2的概率为.关键能力学案突破考点古典概型的概率【例1】(1)史记卷六十五孙子吴起列传第五中有这样一道题:齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的

5、中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛,齐王获胜的概率是()A.23B.35C.59D.34(2)在一次比赛中某队共有甲,乙,丙等5位选手参加,赛前用抽签的方法决定出场的顺序,则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是()A.110B.15C.25D.310解题心得求有关古典概型的概率问题的解题策略(1)求古典概型的概率的步骤是:判断本次试验的结果是否是等可能的,设所求的事件为A;分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m;利用古典概型的概率公式P(A)=mn,求出事件A的概率.(2)对与顺序相关的问题处理方法为:若把顺序看作有区别,则在求试验的

6、基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数时都看作有区别,反之都看作没区别.(3)基本事件个数的确定方法方法适用条件列表法此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成是坐标法树状图法树状图是进行列举的一种常用方法,适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求对点训练1(1)(2020云南大理高三模拟)掷硬币实验是很常见却又非常有名的一个概率实验,许多著名的科学家都做过这个实验,比如蒲丰、德摩根等.通过掷硬币的实验,可以让人们感受到随机事件的发生,形成概率的观念.若抛掷一枚硬币出现正面向上记为1,反面向上记为0.现抛掷一枚硬币6次,出现两个0和四个1的概率为()A.1564B.516C

7、.916D.58(2)(2020河北保定模拟)我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一副“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”.右图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”,其中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.我们将图中阴影所在的四个三角形称为“风叶”,若从该“数学风车”的八个顶点中任取两点,则该两点取自同一片“风叶”的概率为()A.37B.47C.314D.1114考点古典概型与统计的综合应用【例2】某中学组织了一次数学学业水平模拟测试,学校从测试合格的男生、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析,分别制成了如图所示的男生和女生数学

8、成绩的频率分布直方图.(注:分组区间为60,70),70,80),80,90),90,100)(1)若得分大于或等于80认定为优秀,则男生、女生的优秀人数各为多少?(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人,从这5人中任意选取2人,求至少有一名男生的概率.解题心得求古典概型与统计问题的一般步骤第一步:根据概率统计的知识确定元素(总体、个体)以及要解决的概率模型;第二步:将所有基本事件列举出来(可用树状图);第三步:计算基本事件总数n,事件A包含的基本事件数m,代入公式P(A)=mn;第四步:回到所求问题,规范作答.对点训练2某县共有90个农村淘宝服务网点,随机抽取6个网点统计其元

9、旦期间的网购金额(单位:万元)的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(1)根据茎叶图计算样本数据的平均数;(2)若网购金额(单位:万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点,其余为非优秀服务网点,根据茎叶图推断这90个服务网点中优秀服务网点的个数;(3)从随机抽取的6个服务网点中再任取2个作网购商品的调查,求恰有1个网点是优秀服务网点的概率.考点几何概型(多考向探究)考向1与长度、角度有关的几何概型【例3】(1)(2020广西壮族自治区高三模拟)在区间-1,1上随机取一个数k,使直线y=k(x+3)与圆x2+y2=1相交的概率为()A.12B.13C.24D.23(2)如图,四边形A

10、BCD为矩形,AB=3,BC=1,以A为圆心,1为半径作四分之一个圆弧DE,在DAB内任作射线AP,则射线AP与线段BC有公共点的概率为.解题心得解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围.(1)当考察对象为点,点的活动范围在线段上时用线段长度之比计算;(2)当考察对象为线时,一般用角度之比计算.对点训练3(1)某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课,每节课的时间为40分钟,第一节课上课的时间为7:508:30,课间休息10分钟.某同学请假后返校,若他在8:509:30之间随机到达教室,则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为()A.15B.14C.13D.12(2)如图

11、所示,在平面直角坐标系内,射线OT落在30角的终边上,任作一条射线OA,则射线OA落在yOT内的概率为.考向2与面积、体积有关的几何概型【例4】(1)(2020山东潍坊高三检测)七巧板是一种古老的中国传统智力玩具,是由七块板组成的.而这七块板可拼成许多图形,例如三角形、不规则多边形、各种人物、动物、建筑物等,若用七巧板拼成一只雄鸡,在雄鸡平面图形上随机取一点,则恰好取自雄鸡鸡尾(阴影部分)的概率为()A.14B.17C.18D.116(2)(2020河南南阳高三模拟)灯笼是传统的照明工具,在传统节日各家庭院中挂上各种彩灯更显得吉祥喜庆,某庭院挂着一盏表面积为4平方分米的西瓜灯(看成球),灯笼中

12、蜡烛的灯焰可以近似看成底面半径为2厘米,高为4厘米的圆锥,若在该灯笼内任取一点,则该点取自灯焰内的概率为()A.0.004B.0.012C.0.024D.0.036解题心得求与面积、体积有关的几何概型的基本思路:用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域,由题意将已知条件转化为事件A对应的区域,在图形中画出事件A对应的区域,然后用公式P(A)=构成事件A的区域面积(或体积)试验的全部结果所组成的区域面积(或体积)求出概率.对点训练4(1)(2020江西南昌二中高三月考)如图是折扇的示意图,A为OB的中点,若在整个扇形区域内随机取一点,则此点取自扇面(扇环)部分的概率是()A.14B.12C.5

13、8D.34(2)已知在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,底面ABCD是正方形,PA=AB=2,现在该四棱锥内部或侧面任取一点O,则四棱锥O-ABCD的体积不小于23的概率为.考向3与线性规划有关的几何概型【例5】(2020湖南衡阳八中高三月考)若不等式组x+2y-30,2x-y+40,y0表示的区域为,不等式x2+y2-2x-2y+10表示的区域为T,则在区域内任取一点,则此点落在区域T中的概率为()A.4B.8C.5D.10解题心得几何概型与线性规划的交汇问题:先根据约束条件作出可行域,再确定形状,求面积大小,进而代入公式求概率.对点训练5两位同学约定下午5:306:00在图书馆见面,

14、且他们在5:306:00之间到达的时刻是等可能的,先到的同学需等待,15分钟后还未见面便离开,则两位同学能够见面的概率是()A.1136B.14C.12D.34考点随机模拟方法【例6】从区间0,1随机抽取2n个数x1,x2,xn,y1,y2,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为()A.4nmB.2nmC.4mnD.2mn解题心得将看作未知数表示出四分之一的圆面积,根据几何概型的概率公式,四分之一的圆面积与正方形面积之比等于m与n之比,从而用m,n表示出的近似值.对点训练6(2020湖北金

15、字三角高三线上联考)“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一,他在九章算术注中提出割圆术,并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3 072边形,并由此求得了圆周率为3.141 5和3.141 6这两个近似数值,这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图,当分割到圆内接正六边形时,某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点,计算得出该点落在正六边形内的频率为0.826 9,那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为()(参考数据:30.82692.094 6)A.3.141 9B.3.141 7C.3.141 5D.3.141 312.2古典概型与几何概型

16、必备知识预案自诊知识梳理1.基本事件2.(1)互斥(2)基本事件3.(1)只有有限个相等4.(1)长度(3)构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)考点自诊1.(1)(2)(3)(4)(5)2.B4本名著选两本共有C42=6种,选取的两本中含有红楼梦的共有C31=3种,所以任取2种进行阅读,则取到红楼梦的概率为36=12.故选B.3.C由图形得,ABC为直角三角形,四边形DEFC为它的内接正方形,已知BC=2,AC=4,设CD=x,由DEBC则有ADAC=DECB,即4-x4=x2,解得x=43,设在ABC上任取一点,则此点取自正方形DEFC为事件A,由几

17、何概型中的面积比得P(A)=S正方形DEFCSABC=4321242=49.故选C.4.19本题考查古典概型.第1,2次向上的点数分别记为a,b,每个样本点记为(a,b),则所有的样本点为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6

18、,5),(6,6)共36个,其中,点数和为5的样本点为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),故所求概率为436=19.5.25设线段AC的长为xcm,则线段CB长为(10-x)cm,那么矩形面积为x(10-x)16,解得x8,又0x10,所以该矩形面积小于16cm2的概率为P=410=25.关键能力学案突破例1(1)A(2)B(1)因为双方各有3匹马,所以“从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛”的事件数为9种,满足“齐王获胜”的这一条件的情况为:齐王派出上等马,则获胜的事件数为3;齐王派出中等马,则获胜的事件数为2;齐王派出下等马,则获胜的事件数为1;故满足“齐王获胜”这一条件的事

19、件数为6种,根据古典概型公式可得,齐王获胜的概率P=69=23,故选A.(2)在一次比赛中某队共有甲,乙,丙等5位选手参加,赛前用抽签的方法决定出场的顺序,基本事件总数n=A55=120,“乙、丙都不与甲相邻出场”包含的基本事件个数m=A22A33+A22A32=24,所以“乙、丙都不与甲相邻出场”的概率p=mn=24120=15.故选B.对点训练1(1)A(2)A(1)抛掷一枚硬币6次的基本事件总数n=26=64,这六次恰好有两个0和四个1包含的基本事件的个数为m=C62=15,所以概率是P=mn=1564.(2)由题意,从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点的基本事件有C82=28(种),

20、其中这两个顶点取自同一片“风叶”的基本事件有4C32=12,根据古典概型的概率计算公式,可得所求概率为1228=37.例2解(1)由题可得,男生优秀人数为100(0.01+0.02)10=30,女生优秀人数为100(0.015+0.03)10=45.(2)因为样本容量与总体中的个体数的比是530+45=115,所以样本中包含的男生人数为30115=2,女生人数为45115=3.则从5人中任意选取2人共有C52=10种,抽取的2人中没有男生有C32=3(种),则至少有一名男生有C52-C32=7(种).故至少有一名男生的概率为710,即选取的2人中至少有一名男生的概率为710.对点训练2解(1)

21、由题意知,样本数据的平均数x=4+6+12+12+18+206=12.(2)样本中优秀服务网点有2个,频率为26=13,由此估计这90个服务网点中优秀服务网点有9013=30(个).(3)样本中优秀服务网点有2个,分别记为a1,a2,非优秀服务网点有4个,分别记为b1,b2,b3,b4,从随机抽取的6个服务网点中再任取2个的可能情况有:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,b4),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,b4),(b1,b2),(b1,b3),(b1,b4),(b2,b3),(b2,b4),(b3,b4),共15种,记“恰有1个

22、是优秀服务网点”为事件M,则事件M包含的可能情况有:(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,b4),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,b4),共8种,故所求概率P(M)=815.例3(1)C(2)13(1)因为圆心(0,0),半径r=1,直线与圆相交,所以圆心到直线y=k(x+3)的距离d=|3k|1+k21,解得-24k24,所以所求的概率为222=24,故选C.(2)连接AC,如图所示,tanCAB=CBAB=13=33,所以CAB=6,直线AP在CAB内时,直线AP与线段BC有公共点,所以所求事件的概率为62=13.对点训练3(1)B(2)16(1)

23、由题意可知,第二节课的上课时间为8:409:20,时长40分钟.若听第二节课的时间不少于20分钟,则需在8:509:00之间到达教室,时长10分钟.所以听第二节课的时间不少于20分钟的概率为1040=14,故选B.(2)因为射线OA在坐标系内是等可能分布的,所以射线OA落在yOT内的概率为60360=16.例4(1)C(2)A(1)设包含7块板的正方形边长为4,其面积为44=16.则雄鸡的鸡尾面积为标号为6的板块,其面积为S=21=2.所以在雄鸡平面图形上随机取一点,则恰好取自雄鸡鸡尾(阴影部分)的概率为216=18.(2)设该灯笼的半径为R,则4R2=4,解得R=1(分米),所以该灯笼的体积

24、V=4133=43(立方分米)=40003(立方厘米),该灯笼内的灯焰的体积V1=13224=163(立方厘米),所以该点取自灯焰内的概率为V1V=16340003=0.004.对点训练4(1)D(2)2764(1)设扇形的圆心角为,大扇形的半径长为R,小扇形的半径长为r,则S大扇形=2R2,S小扇形=2r2,R=2r.根据几何概型,可得此点取自扇面(扇环)部分的概率为2R2-2r22R2=R2-r2R2=3r24r2=34.(2)当四棱锥O-ABCD的体积为23时,设点O到平面ABCD的距离为h,则1322h=23,解得h=12.如图所示,在四棱锥P-ABCD内作平面EFGH平行于底面ABC

25、D,且平面EFGH与底面ABCD的距离为12.因为PA底面ABCD,且PA=2,所以PHPA=34,所以四棱锥O-ABCD的体积不小于23的概率为V四棱锥P-EFGHV四棱锥P-ABCD=PHPA3=343=2764.例5D作出不等式组x+2y-30,2x-y+40,y0表示的区域,不等式x2+y2-2x-2y+10化为(x-1)2+(y-1)21,它表示的区域为T,如图所示:则区域表示ABC,由2x-y+4=0,x+2y-3=0,解得点B(-1,2).又A(-2,0),C(3,0),SABC=12(3+2)2=5,又区域T表示圆面,且圆心M(1,1)在直线x+2y-3=0上,在ABC内的面积

26、为1212=2,所求的概率为25=10.对点训练5D因涉及两人见面时间,故考虑到是几何概型,建立平面直角坐标系列出满足条件的式子,计算出最终的概率.因为两人谁也没有讲好确切的时间,故样本点由两个数(甲、乙各自到达的时刻)组成;以5:30作为时间的起点建立如图所示的平面直角坐标系:设甲、乙各在第x分钟和第y分钟到达,则样本空间为=(x,y)|0x30,0y30,画成图为一正方形;会面的充要条件为|x-y|15,即事件A可以会面所对应的区域是图中的阴影部分,故由几何概型公式知所求概率为面积之比,即P(A)=302-152302=34,故选D.例6C如图,两数的平方和小于1的数对所在的区域为图中阴影部分(不含边界),n个数对所在的区域为边长为1的正方形.由题意利用几何概型可知,14S圆S正方形=141212mn,所以4mn.故选C.对点训练6A设圆的半径为r,则圆的面积为r2,正六边形的面积为612r32r=332r2,因而所求该实验的频率为332r2r2=332=0.8269,则=3320.82693.1419.