《名校推荐》黑龙江省双鸭山市第一中学2017年高考数学二轮复习专项备考讲义：一、立体几何命题角度及解题技巧例析 .doc

1、立体几何命题角度及解题技巧例析一、近三年新课标立体几何的考情报告近几年新课标高考对立体几何的考查特点主要表现在以下几个方面。（1） 从命题的形式来看，涉及立体几何内容的命题形式变化不大，除保留传统的“四选一”的选择题外，还尝试开发了“多选填空”“完型填空”等提型；解答题则设计成几个小问题，此类考题往往以多面体为依托，考查线面间的位置关系和空间角、空间距离、面积、体积等知识，其解题思路都是强调作图、证明和计算相结合。（2） 从内容上来看，主要考查：直线和平面的各种位置关系的判定和性质；求角，特别是二面角的余弦值；求距离，要特别注意解决此类问题的转化方法；求简单几何题的侧面积和表面积问题；体积问题

2、，要注意解题技巧，如等体积变换、隔补思想的应用；三视图，高考中三视图常与表面积、体积相结合。（3） 从能力上来看，着重考查空间想象能力，即对空间几何体的观察分析和抽象思维的能力，要求“四会”：会画图会识图会折图会用图。 会数学地阅读，数学地理解，数学地交流文字语言：文字语言是用自然语言来表达数学知识的语言，这种语言必须做到严谨、精确。符号语言：符号语言是用一些数学概念、定理、运算法则的缩写、代码组成来表达数学知识的语言，它避免了日常语言的繁复、冗长或含混不清，“具有无可比拟的更大的万能性”。图形语言：图形语言是用数学图表来表达数学事实的语言，是进行抽象思维的重要工具，是数学形象思维的载体和中介

3、，是数学思维的重要材料和结果。二、重要考点梳理命题角度一：三视图与直观图的转化1.(2013新课标2)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为 A B C D注意：必修2中的空间直角坐标系容易被文科忽视。【答案】A2.（2012新课标2）如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为A6 B9 C12 D18 【答案】B 注意：简单组合体的表面积和体积的问题为常考题目。【规律总结】在分析空间几何体的三视图问题时，

4、先根据俯视图确定几何体的低面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧愣与侧面的特征，调整实现和虚线所对应的棱、面的位置，在确定几何体的形状，即可得到结果。命题角度二：空间几何体与球的综合问题 球与简单多面体的组合体问题，较好地体现了对空间感的考查，在客观题中一直是考查的热点。而且从2012年开始，球的面积和体积公式就不再在试卷中给出，需要学生记忆，这一点也是特别要注意的。虽然2013年高考新课标全国2卷理科试题中没有涉及球的问题，但这并不能弱化与球有关的组合体的地位。在此类问题中，可以涵盖立体几何中的很多问题：包括几何体的表面积、体积、距离、角的问题等等。3.（2013新课标1理）如图,有一个水

5、平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 A. B C D【答案】A注意：主要考查球的几何性质及体积公式。4.（2011新课标理）已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 。【答案】5.（2012新课标理）已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为 A B C D【答案】A【规律总结】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题转化为平面问题，在利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关

6、系，或只化内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径与该几何体已知量的关系。命题角度三：点、线、面位置关系的问题 点、线、面的位置关系是研究立体几何的核心，以直线与平面的位置关系为主。主要考查对相关定义、定理的深刻理解，以及对符号语言、图形语言、文字语言三者之间进行转换的能力，在选择题、填空题中出现，多为判断命题真假、判断充要关系、探求动点轨迹等。6.（2013 新课标2）已知m，n为异面直线，m平面，n平面. 直线l满足lm，ln，则A且l B且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l【答案】D【规律总结】对定理、定义熟练掌握，简单的逆向思维。命题角度四： 以多面体或

7、旋转体为载体, 证明线、面的位置关系或计算空间角和距离 证明线、面之间的位置关系常需经过多次转换才能获得解决。求空间角和距离也常需要转化求解，或应用空间向量这一工具建系去解决。近年来新课标地区的理科试题多倾向于用空间向量的方法去解决问题。这类试题以判断、证明、计算为主要形式来着重考查空间想象能力、逻辑思维能力和计算能力。7. （2014辽宁理）如图，和所在平面互相垂直，且，分别为的中点.（1）求证：；（2）求二面角的正弦值.【解析】由条件可知，三棱锥可以看成是长方体中的一部分，如图，由长方体的性质可知，又，所以。寻找长方体为母体，只要作于，再作于，连结，得到为二面角的平面角，易得，在直角中，求

8、得，在直角中，求得。8.（2014新课标2理）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点.（1）证明：PB平面AEC；（2）设二面角D-AE-C为60，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积.【解析】 如图，在长方体中直观感知，操作确认，思辨论证，度量计算。（1） 证明：略。（2） 由条件可知，四棱锥可以看作是长方体中的一部分，过点作于，连结，则，所以，又因为，所以，因为为的中点，所以三棱锥的高为，三棱锥的体积。【规律总结】通过解题体验，我们可以感悟到：一般几何体都可以寻找到它的母体，关键是你的感悟是否深刻，比如已知条件中有共顶点的三条棱两两互相垂直，

9、线面垂直，两个平面互相垂直等，在这些已知条件中寻找母体，则相对要简单些，有些题目，已知条件中只给出对称关系等位置关系，在这些已知条件中寻找母体，则难度相对大些，但是，不管怎么样，寻找母体的解题策略肯定是行之有效的好方法，解题时常常会收到意想不到的效果。 命题角度五：空间位置关系及其逆向问题或探索性问题 逆向问题往往是在条件中已知线面的一些位置关系或已知空间量的大小，要证明或探索另外一些线面的位置关系是否成立或求相应的参数的值的问题。这类给考生留有较大探索余地的试题，近年来已成为高考试题的一个新亮点。虽然其在这几年的新课标全国卷中没有出现，但在其他省高考试题中有出现过，而且它从难度上来讲要高于正

10、向求解的问题。在教学中，我们也会带领学生对这类问题加以研究，难度上依然是对各层次分别进行要求。9.(2012年河南省豫东、豫北十所名校阶段性测试(三)如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，(I )在直线BC上是否存在一点P，使得DP/平面EAB?请证明你的结论；(II)求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.【解析】()存在，线段的中点就是满足条件的点证明如下：取的中点，连接，则，且.取的中点，连接，且，是正三角形，四边形为矩形，又，且，四边形是平行四边形，又平面，平面，平面分（II）（解法1）过作的平行线，过作的垂线交于，连接，则是平面与平面的交线平面平面， ，平面，又，是所求二面角的平面角设，则， （解法2），平面平面，以点为坐标原点，直线为轴，直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示设，由已知，得，设平面的法向量为，则且，解之得，取，得平面的一个法向量为.又因为平面的一个法向量为.【规律总结】在立体几何的学习过程中，我们应该遵循直观感知，操作确认，思辨论证，度量计算的认识方法把握几何体的特征，同时把数学的文字语言、符号语言和图形语言的相互转化的学习策略贯穿其中，这样，可以极大地提高学生数学语言的应用能力，提高学生的数学素养。