广西专用2022年高考数学一轮复习 考点规范练67 不等式选讲（含解析）新人教A版（理）..docx

1、考点规范练67不等式选讲基础巩固1.(2020安徽模拟)已知函数f(x)=|x+a|+|x-1|,aR.(1)当a=2时,求不等式f(x)4;(2)对任意m(0,3),关于x的不等式f(x)m+1m+2总有解,求实数a的取值范围.解:(1)由已知,不等式f(x)4,即为|x+2|+|x-1|4,则x-2,-(x+2)-(x-1)4或-21,x+2+x-14,解得-52x-2或-2x1或1x32,故不等式的解集为-52,32.(2)对任意m(0,3),关于x的不等式f(x)m+1m+2总有解,即f(x)minm+1m+2min,而y=m+1m+22m1m+2=4,当且仅当m=1m,即m=1时取得

2、最小值.又f(x)|(x+a)-(x-1)|=|a+1|(当且仅当(x+a)(x-1)0时取等号),故只需|a+1|4,解得-5a1的解集;(2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立,求实数a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=-2,x-1,2x,-1x1的解集为xx12.(2)当x(0,1)时,|x+1|-|ax-1|x成立等价于当x(0,1)时|ax-1|0,则|ax-1|1的解集为x0x2a,所以2a1,故0a2.综上,实数a的取值范围为(0,2.3.(2020广西二模)已知函数f(x)=|2x-a|+|x-1|,aR.(1)若a=-2,解不等

3、式f(x)5;(2)当a2时,函数f(x)的最小值为3,求实数a的值.解:(1)当a=-2时,不等式为|2x+2|+|x-1|5.当x-1时,不等式化为-2x-2-x+15,解得x-2,此时-2x-1;当-1x1时,不等式化为2x+2-x+15,解得x2,此时-1x1;当x1时,不等式化为2x+2+x-15,解得x43,此时1x43.综上所述,不等式的解集为x-2x43.(2)(方法一)函数f(x)=|2x-a|+|x-1|,当a2,即a21时,f(x)=-3x+a+1,x1,故f(x)min=fa2=-a2+1=3,得a=-42(符合题意),即a=-4.(方法二)函数f(x)=|2x-a|+

4、|x-1|=x-a2+x-a2+|x-1|x-a2+|x-1|x-a2-(x-1)=a2-1,故f(x)min=a2-1=3,又a2,因此a=-4.4.已知x,y,z是正实数,且x+2y+3z=1.(1)求1x+1y+1z的最小值;(2)求证:x2+y2+z2114.答案:(1)解因为x,y,z是正实数,且x+2y+3z=1,所以1x+1y+1z=1x+1y+1z(x+2y+3z)=6+2yx+3zx+xy+3zy+xz+2yz6+22+23+26,当且仅当2yx=xy且3zx=xz且3zy=2yz时,等号成立,因此,1x+1y+1z的最小值为6+22+23+26.(2)证明由柯西不等式可得(

5、12+22+32)(x2+y2+z2)(x+2y+3z)2=1,整理得14(x2+y2+z2)1,即x2+y2+z2114,当且仅当x=y2=z3,即x=114,y=17,z=314时等号成立,故x2+y2+z2114.5.已知函数f(x)=x-12+x+12,M是不等式f(x)2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,bM时,|a+b|1+ab|.答案:(1)解f(x)=-2x,x-12,1,-12x12,2x,x12.当x-12时,由f(x)2,得-1x-12;当-12x12时,f(x)2成立;当x12时,由f(x)2,得12x1.不等式f(x)2的解集M=x|-1x1.(2)证明由(1)知

6、,当a,bM时,-1a1,-1b1.从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)0,所以|a+b|2x|x的解集;(2)若f(x)a2的解集包含0,1,求实数a的取值范围.解:(1)当a=0时,函数f(x)=|x|+|x-1|.当x|2x|x等价于x-2,解得x0,该不等式恒成立.当0|2x|x等价于12,该不等式不成立.当x1时,f(x)|2x|x等价于x1,2x-12,解得x32.因此不等式f(x)|2x|x的解集为(-,0)32,+.(2)由f(x)a2的解集包含0,1,即x0,1时f(x)a2恒成立,即|x-a|+1-xa2恒成立,即|x-a|a

7、2-1+x恒成立,即-a2+1-xx-a0,-a2+a+11+52或a-1-52,所以实数a的取值范围是-,-1-521+52,+.7.已知函数f(x)=|x+2|-2|x-1|.(1)解不等式f(x)-2;(2)对任意xa,+),都有f(x)x-a成立,求实数a的取值范围.解:(1)f(x)=|x+2|-2|x-1|-2.当x-2时,x-4-2,即x2,故x;当-2x1时,3x-2,即x-23,故-23x1;当x1时,-x+4-2,即x6,故1x6;综上,不等式f(x)-2的解集为x-23x6.(2)f(x)=x-4,x-2,3x,-2x1,-x+4,x1,函数f(x)的图象如图所示.令y=

8、x-a,当直线y=x-a过点(1,3)时,-a=2.故当-a2,即a-2时,即往上平移直线y=x-a,都有f(x)x-a.往下平移直线y=x-a时,联立y=-x+4,y=x-a,解得x=2+a2,当a2+a2,即a4时,对任意xa,+),-x+4x-a.综上可知,实数a的取值范围为a-2或a4.高考预测8.已知函数f(x)=|x-1|+a|x+2|,aR.(1)当a=1时,求不等式f(x)4的解集;(2)当a-1时,若函数f(x)的图象与x轴围成的三角形面积等于6,求a的值.解:(1)当a=1时,f(x)=|x-1|+|x+2|=2x+1,x1,3,-2x1,-2x-1,x-2.f(x)4,2

9、x+14,x1或-2x1或-2x-14,x-2,1x32或-2x1或-52x-2,-52x32,不等式的解集为-52,32.(2)当a-1时,f(x)=-(a+1)x+(1-2a),x-2,(a-1)x+2a+1,-2x1,(a+1)x+(2a-1),x1.当a-1时,令f(x)=0,则x=1-2aa+1或x=2a+11-a,又由y=-(a+1)x+(1-2a),y=(a-1)x+2a+1,得y=3.如图,ABC三个顶点的坐标分别为A(-2,3),B1-2aa+1,0,C2a+11-a,0.函数f(x)的图象与x轴围成的三角形面积等于6,S=1232a+11-a-1-2aa+1=6,解得a=-2或a=12(舍).6