2022年新教材高中数学 课时检测29 直线与直线垂直（含解析）新人教A版必修第二册.doc

1、直线与直线垂直(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1l2,l2l3,l3l4,则下列结论一定正确的是()A.l1l4B.l1l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定【解析】选D.构造如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1,取l1为AD,l2为AA1,l3为A1B1,当取l4为B1C1时,l1l4,当取l4为BB1时,l1l4,故排除A,B,C,选D.2.设P是直线l外一定点,过点P且与l成30角的异面直线()A.有无数条B.有两条

2、C.至多有两条D.有一条【解析】选A.如图所示,过点P作直线ll,以l为轴,与l成30角的圆锥面的所有母线都与l成30角.3.如图是一个正方体的平面展开图,则在正方体中,AB与CD的位置关系为()A.相交B.平行C.异面而且垂直D.异面但不垂直【解析】选D.将展开图还原为正方体,如图所示.4.(多选题)如图,在正四棱柱(侧面为矩形,底面为正方形的棱柱)ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,则以下结论中成立的是()A.EFBB1B.EFBDC.EF与CD异面D.EF与A1C1异面【解析】选ABC.连接A1B,因为E,F分别是AB1,BC1的中点,所以EF是A1BC1的中

3、位线,所以EFA1C1,故D错误,ABC正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.如图,在正方体ABCD-EFMN中,BM与ED平行;CN与BM是异面直线;CN与BE是异面直线;DN与BM是异面直线;以上四个说法中,正确说法的序号是_.【解析】在中,直线BM与ED为异面直线,故不正确.在中,由异面直线的判定方法可得直线CN与BM是异面直线,故正确.在中,由条件可得四边形BCNE为平行四边形,故CN与BE平行,故不正确.在中,由异面直线的判定方法可得直线DN与BM是异面直线,故正确.综上正确.答案:6.(双空题)如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则

4、当AC,BD满足条件_时,四边形EFGH为菱形,当AC,BD满足条件_时,四边形EFGH是正方形.【解析】易知EHBDFG,且EH=BD=FG,同理EFACHG,且EF=AC=HG,显然四边形EFGH为平行四边形.要使平行四边形EFGH为菱形需满足EF=EH,即AC=BD;要使四边形EFGH为正方形需满足EF=EH且EFEH,即AC=BD且ACBD.答案:AC=BDAC=BD且ACBD三、解答题(每小题10分,共20分)7.如图所示,空间四边形ABCD中,AB=CD,ABCD,E,F分别为BC,AD的中点,求EF和AB所成的角.【解析】如图所示,取BD的中点G,连接EG,FG.因为E,F分别为

5、BC,AD的中点,AB=CD,所以EGCD,GFAB,且EG=CD,GF=AB.所以GFE就是EF与AB所成的角,EG=GF.因为ABCD,所以EGGF.所以EGF=90.所以EFG为等腰直角三角形.所以GFE=45,即EF与AB所成的角为45.8.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面都是矩形,底面ABCD是菱形且AB=BC=2, ABC=120,若异面直线A1B和AD1所成的角为90,试求AA1.【解析】连接CD1,AC,由题意得四棱柱ABCD-A1B1C1D1中A1D1BC,A1D1=BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1BCD1,所以AD1C(或其补角)为A1B和AD1

6、所成的角,因为异面直线A1B和AD1所成的角为90,所以AD1C=90,因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1中AB=BC=2,所以ACD1是等腰直角三角形,所以AD1=AC.因为底面ABCD是菱形且AB=BC=2,ABC=120,所以AC=2sin 602=6,所以AD1=AC=3,所以AA1=.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.在正方体ABCD-ABCD中,点P在线段AD上运动,则异面直线CP与BA所成角的取值范围是()A.090B.090C.060D.060【解析】选D.如图,连接CD,则异面直线CP与BA所

7、成的角等于DCP,由图可知,当P点与A点重合时,=60,当P点无限接近D点时,趋近于0,由于是异面直线,故0.2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是()A.30B.45C.60D.90【解析】选D.过点M作MEDN交CC1于点E,连接A1E,则A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角).设正方体的棱长为a,则A1M=a,ME=a,A1E=a,所以A1M2+ME2=A1E2,所以A1ME=90,即异面直线A1M与DN所成的角为90.3.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,若异面直线A1B

8、与AD1所成角的余弦值为.则的值为()A.3B.C.2D.【解析】选A.连接BC1,A1C1,因为AD1BC1,所以异面直线A1B与AD1所成角为A1BC1.令AA1=t,则A1B=BC1=,A1C1=.cosA1BC1=,所以t2=9,t=3,即AA1=3.所以=3.4.(多选题)一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论,其中正确的是()A.ABEFB.AB与CM所成的角为60C.EF与MN是异面直线D.MNCD【解析】选AC.把正方体平面展开图还原为原来的正方体,如图所示,ABEF,EF与MN是异面直线,ABCM,MNCD,只有AC正确.二、填空题(每小题5分,共20分)5

9、.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,M,N分别为AA1,BB1的中点,则异面直线BM与C1N所成角的余弦值为_.【解析】如图,连接A1N,则A1NBM,所以A1NC1为异面直线BM与C1N所成角,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,因为AB=AA1=2,M,N分别为AA1,BB1的中点,所以A1N=C1N=,在A1NC1中,由余弦定理可得:cosA1NC1=.即异面直线BM与C1N所成角的余弦值为.答案:6.若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则B1D与CC1所成角的正切值为_.【解析】如图,B1D与CC1所成的角为BB1D.因为DBB1为直角三角形,所以tanBB1

10、D=.答案:7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,六个面内与BD成60角的对角线共有_条.【解析】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,六个面内与BD成60角的对角线有AB1,BA1,DC1,CD1,AD1,DA1,BC1,CB1,共8条.答案:88.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是_.【解析】如图,取AC的中点G,连接FG,EG,则FGC1C,FG=C1C,EGBC,EG=BC,故EFG即为EF与C1C所成的角(或补角),在RtEFG中,cosEFG=.答案:三、解答题(每小题1

11、0分,共20分)9.正四棱锥P-ABCD的所有棱长均相等,E是PC的中点,求异面直线BE与PA所成的角的余弦值.【解析】连接AC,BD相交于O,连接OE,则O为AC的中点,因为E是PC的中点,所以OE是PAC的中位线,则OEPA,则OE与BE所成的角即为异面直线BE与PA所成的角,设四棱锥的棱长为1,则OE=PA=,OB=BD=,BE=,则cosOEB=.10.如图,已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD的中点.求证:CD1EF.【证明】取CD1的中点G,连接EG,DG.因为E是BD1的中点,所以EGBC,EG=BC.因为F是AD的中点,且ADBC,AD=BC,所以DFBC,DF=BC,所以EGDF,EG=DF,所以四边形EFDG是平行四边形,所以EFDG,所以DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又A1A=AB,所以四边形ABB1A1,四边形CDD1C1都是正方形,且G为CD1的中点,所以DGCD1,所以D1GD=90,所以异面直线CD1,EF所成的角为90,即CD1EF.