2023年新教材高考数学一轮复习 课时规范练45 直线与圆锥曲线的位置关系（含解析）新人教B版.docx

1、课时规范练45直线与圆锥曲线的位置关系基础巩固组1.(2021河南安阳一中月考)已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p0),则()A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点2.直线l过点(2,1),且与双曲线x24-y2=1有且只有一个公共点,则这样的不同直线的条数为()A.1B.2C.3D.43.椭圆4x2+9y2=144内有一点P(3,2),则以点P为中点的弦所在直线的斜率为()A.-23B.-32C.-49D.-944.(多选)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,点M(2,1)在椭

2、圆C上,直线l平行于OM且在y轴上的截距为m,直线l与椭圆C交于A,B两点.下面结论正确的有()A.椭圆C的方程为x28+y22=1B.kOM=12C.-2m0)的焦点为F,点B在抛物线上,点A(-2,2),且FB=OF+2FA(点O为坐标原点).(1)求抛物线C的标准方程;(2)若过点M(2,0)的直线l与抛物线C交于D,E两点,线段DE的中点为N,且|DM|=|EN|,求直线l的方程.综合提升组9.(2021湖南益阳箴言中学模拟)已知双曲线C:x2-y2=1,点O为坐标原点,F为双曲线C的右焦点,过点F的直线与双曲线C的两条渐近线的交点分别为P,Q.若SPOFSQOF=2,且点Q在P,F两

3、点之间,则|PQ|=()A.354B.52C.352D.510.过原点的直线l与双曲线x24-y23=1相交于不同的两点,则直线l的斜率k的取值范围是.11.已知抛物线C:y2=2px(p0)的准线与x轴交于点A,点M(2,p)在抛物线C上.(1)求C的方程;(2)过点M作直线l交抛物线C于另一点N.若AMN的面积为649,求直线l的方程.12.(2021新高考)已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),右焦点为F(2,0),且离心率为63.(1)求椭圆C的方程;(2)设M,N是椭圆C上的两点,直线MN与曲线x2+y2=b2(x0)相切.证明:M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=

4、3.创新应用组13.(多选)已知B1,B2是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的下、上顶点,P是椭圆上不同于短轴端点的任意一点,点Q与点P关于y轴对称,则下列四个结论正确的是()A.直线PB1与PB2的斜率之积为定值-a2b2B.PB1PB20C.PB1B2的外接圆半径的最大值为a2+b22aD.直线PB1与QB2的交点M的轨迹为双曲线课时规范练45直线与圆锥曲线的位置关系1.C解析:直线y=kx-k=k(x-1),直线过定点(1,0).当k=0时,直线y=0与抛物线有一个公共点,即顶点;当k0时,点(1,0)在抛物线的内部,所以直线与抛物线有两个公共点.综上所述,直线与抛物线有一个或两个公

5、共点.故选C.2.B解析:直线l的斜率存在时,设l的方程为y=kx-(2k-1).联立y=kx-(2k-1),x2-4y2-4=0,得(1-4k2)x2+8k(2k-1)x-4(2k-1)2+1=0.当k=12时,-4=0不成立,方程组无解,直线l与双曲线无公共点;当k=-12时,解得x=52,y=34,方程组有唯一解,即直线l与双曲线有唯一公共点;当1-4k20时,=64k2(2k-1)2-16(4k2-1)(2k-1)2+1=-16(4k-2)0,直线l与双曲线无公共点或有两个公共点.故直线l的斜率存在时,符合条件的直线只有一条.当直线l的斜率不存在时,直线l:x=2,满足题意.综上所述,

6、符合条件的直线有2条.故选B.3.A解析:设以点P为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A(x1,y1),B(x2,y2),斜率为k,则4x12+9y12=144,4x22+9y22=144,两式相减得4(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0,又x1+x2=6,y1+y2=4,y1-y2x1-x2=k,代入解得k=-23.故选A.4.ABC解析:由题意得a2-b2a=32,4a2+1b2=1,解得a2=8,b2=2,故椭圆C的方程为x28+y22=1,故A正确;kOM=1-02-0=12,故B正确;因为直线l的斜率k=kOM=12,且直线l在y轴上截距为m,所以直线l的方程

7、为y=12x+m.联立y=12x+m,x28+y22=1,得x2+2mx+2m2-4=0.因为直线l与椭圆C交于A,B两点,所以=(2m)2-4(2m2-4)0,解得-2m0,解得|FC|=2,所以动点P的轨迹E是以F,C为焦点的椭圆.设其方程为x2a2+y2b2=1(ab0),则2a=4,2c=2,所以a=2,c=1,b=3,所以动点P的轨迹E的方程为x24+y23=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).联立x24+y23=1,y=2x+m,得19x2+16mx+4m2-12=0,所以=256m2-76(4m2-12)0,所以m(-19,19).x1+x2=-16m19,x1x2=

8、4m2-1219.因为|MN|=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=5256m2361-16m2-4819=123019,所以m=1.8.解(1)设B(x0,y0).因为F0,p2,A(-2,2),所以FB=x0,y0-p2,OF=0,p2,FA=-2,2-p2.因为FB=OF+2FA,所以x0=0+2(-2),y0-p2=p2+22-p2,解得x0=-4,y0=4.因为点B在抛物线上,所以(-4)2=2p4,解得p=2,所以抛物线C的标准方程为x2=4y.(2)由题可知,直线l斜率存在,且点E在点D的上方.设直线l的方程为y=k(x-2)(k0),联立y=k(x-2),x2=4y,得x

9、2-4kx+8k=0,所以=(-4k)2-48k0,解得k2或k0,解得-32k0),当直线MN的斜率不存在时,直线MN:x=1,不合题意.当直线MN的斜率存在时,设M(x1,y1),N(x2,y2).必要性:若M,N,F三点共线,可设直线MN:y=k(x-2),即kx-y-2k=0.由直线MN与曲线x2+y2=1(x0)相切得|2k|k2+1=1,解得k=1.联立y=(x-2),x23+y2=1,得4x2-62x+3=0,所以x1+x2=322,x1x2=34,所以|MN|=1+1(x1+x2)2-4x1x2=3,所以必要性成立;充分性:设直线MN:y=kx+b(kb0)相切得|b|k2+1

10、=1,所以b2=k2+1.联立y=kx+b,x23+y2=1,得(1+3k2)x2+6kbx+3b2-3=0.由题可知1+3k20,0,所以x1+x2=-6kb1+3k2,x1x2=3b2-31+3k2,所以|MN|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k2-6kb1+3k22-43b2-31+3k2=1+k224k21+3k2=3,所以(k2-1)2=0,所以k=1,所以k=1,b=-2或k=-1,b=2,所以直线MN:y=x-2或y=-x+2,所以直线MN过点F(2,0),M,N,F三点共线,充分性成立.综上所述,M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=3.13.BC解析:设P(x0

11、,y0),x02a2+y02b2=1,则kPB1kPB2=y0+bx0y0-bx0=y02-b2x02=-b2a2,故A错误;点P在圆x2+y2=b2外,x02+y02-b20.又PB1=(-x0,-b-y0),PB2=(-x0,b-y0),PB1PB2=x02+y02-b20,故B正确;当点P在长轴上的顶点A时,B1PB2最小且为锐角.设PB1B2的外接圆半径为r,由正弦定理可得2r=2bsinB1PB22bsinB1AB2=2bsin2OAB2=2b2aba2+b2=a2+b2a,ra2+b22a,PB1B2的外接圆半径的最大值为a2+b22a,故C正确;直线PB1的方程为y+b=y0+bx0x,直线QB2的方程为y-b=y0-b-x0x,两式相乘,得y2-b2=y02-b2-x02x2,即y2b2-x2a2=1.由于点P不与点B1,B2重合,点M的轨迹为双曲线的一部分,故D错误.故选BC.