2023年新高考数学大一轮复习专题49讲 专题六 解析几何 第9讲 抛物线的焦点弦问题.docx

1、第9讲抛物线的焦点弦问题直线与抛物线相交的问题，若直线过抛物线的焦点，可使用焦点弦长公式求弦长，利用焦点弦的特殊结论求解题目例1(1)(2020石家庄模拟)已知F是抛物线y22px(p0)的焦点，过F的直线与抛物线交于A，B两点，AB的中点为C，过C作抛物线准线的垂线交准线于C，若CC的中点为M(1,4)，则p等于()A4 B8 C4 D8答案B解析如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(1,4)，y1y28，又C，F，kAB2，直线AB：y2，代入y22px，得y2pyp20，y1y2p8.(2)过抛物线y24x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|2|BF|，则|AB|

2、等于()A4 B. C5 D6答案B解析不妨设点A在x轴的上方，如图，设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BEAD于点E，设|BF|m，直线l的倾斜角为，则|AF|2m，|AB|3m，由抛物线的定义知|AD|AF|2m，|BC|BF|m，所以cos ，所以tan 2.则sin28cos2，所以sin2.由y24x，知2p4，故利用弦长公式得|AB|.例2已知抛物线C：y28x，P为C上位于第一象限的任一点，直线l与C相切于点P，连接PF并延长交C于点M，过P点作l的垂线交C于另一点N，求PMN的面积S的最小值解由题意知F(2,0)，设P(x0，y0)(y00)，M，N，切线l的方程为xx0t

3、(yy0)，则，由M，F，P三点共线，可知，即y0y10，因为y0y1，所以化简可得y0y116.由可得y28ty8ty08x00，因为直线l与抛物线相切，故64t232ty04y0，故t.所以直线PN的方程为yy0(xx0)，即y0x4y4y00，所以点M到直线PN的距离为d，将y1代入可得d，联立消去x可得，y0y232yy32y00，所以y0y2，y2y0，|PN|y0y2|，故Sd|PN|33364，当且仅当y04时，“”成立，此时，PMN的面积S取得最小值，为64.设AB是抛物线y22px(p0)的一条焦点弦，焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2，y1y2p

4、2.(2).(3)|AB|(为弦AB所在直线的倾斜角)1设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30 的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B. C. D.答案D解析由已知得焦点为F，因此直线AB的方程为y，即4x4y30.方法一联立直线方程与抛物线方程，化简得4y212y90，故|yAyB|6.因此SOAB|OF|yAyB|6.方法二联立直线方程与抛物线方程得x2x0，故xAxB.根据抛物线的定义有|AB|xAxBp12，同时原点到直线AB的距离为d，因此SOAB|AB|d.2过抛物线y22px(p0)的焦点F且倾斜角为120 的直线l与抛物线在第一、四象限分

5、别交于A，B两点，则的值等于()A. B. C. D.答案A解析记抛物线y22px的准线为l，如图，作AA1l，BB1l，ACBB1，垂足分别是A1，B1，C，则cosABB1，即cos 60，得.3已知抛物线C：y28x的焦点为F，点M(2,2)，过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若AMB90，则k等于()A. B. C. D2答案D解析抛物线C：y28x的焦点为F(2,0)，由题意可知直线AB的斜率一定存在，所以设直线方程为yk(x2)(k0)，代入抛物线方程可得k2x2(4k28)x4k20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24，x1x24，所以y1y2，y1y21

6、6，因为AMB90，所以MM(x12，y12)(x22，y22)40，解得k2，故选D.4.如图，已知点F(1,0)为抛物线y22px(p0)的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧，记AFG，CQG的面积为S1，S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)求的最小值及此时点G的坐标解(1)由题意可得1，则p2,2p4，抛物线方程为y24x，准线方程为x1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为yk(x1)，k0，与抛物线方程y24x联立可得，k2x2(2k24)xk20，故x1x22，x1x21，y1y2k(x1x22)，y1y24，设C(x3，y3)，由重心坐标公式可得，xG，yG，令yG0可得，y3，则x3，即xG，由斜率公式可得，kAC，直线AC的方程为yy3(xx3)，令y0，可得xQx3，故S1(xGxF)y1y1，且S2(xQxG)(y3)，由y3，代入上式可得S2，由y1y2，y1y24可得y1，则k，则221，当且仅当y8，即y84，y1时等号成立，此时k，xG2，