2022版新教材高考数学一轮复习 课时质量评价20 利用导数研究函数的零点问题（含解析）新人教A版.doc

1、课时质量评价(二十)(建议用时：45分钟)A组全考点巩固练1函数f (x)x3x2x1的零点个数为()A0B1 C2D3B解析：因为f (x)x22x1(x1)20，所以f (x)在R上单调递增因为f (0)10，f (3)20，f (x)单调递增而01e3，又f 10，f (1)0，f (e)10，f (6)2ln 6ln e2ln 60，所以f (x)在区间上无零点，在区间(1，e)和区间(e,6)上各有一个零点3方程ln x20的根的个数为()A0 B1 C2 D3C解析：令f (x)ln x2，则由f (x)0，得x4.当0x4时，f (x)4时，f (x)0，所以x4是f (x)的唯

2、一极小值点，且f (4)0，f (e4)e260，所以f (x)在(e2,4)，(4，e4)上各有一个零点所以对应的方程有2个根故选C4已知函数f (x)ax33x21.若f (x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是()A(2，) B(，2)C(1，) D(，1)B解析：由题意知f (x)3ax26x.当a3时，f (x)9x26x3x(3x2)，则当x(，0)时，f (x)0；x时，f (x)0.注意f (0)1，f 0，则f (x)的大致图象如图(1)所示：图(1)不符合题意，排除A，C当a时，f (x)4x26x2x(2x3)，则当x时，f (x)0；x(0，)时，f (x)

3、0.注意f (0)1，f ，则f (x)的大致图象如图(2)所示图(2)不符合题意，排除D故选B5已知函数f (x)ln x1有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是()A(，01 B0,1C(，02 D0,2A解析：因为函数f (x)ln x1，所以f (x)，x0.当a0时，f (x)0恒成立，f (x)是增函数，x时，f (x)，f (1)a10，函数f (x)ln x1有且仅有一个零点当a0时，令f (x)0，解得xa；令f (x)0，解得xa.故f (x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增故只需f (x)minf (a)ln a0，解得a1，综上，实数a的取值范围是(，016

4、已知函数f (x)ex2xa有零点，则a的取值范围是_. (，2ln 22解析：f (x)ex2，令f (x)0，解得xln 2，所以当x(，ln 2)时，f (x)0，则f (x)在区间(ln 2，)上单调递增所以当xln 2时，f (x)ex2xa取得最小值，为eln 22ln 2a22ln 2a.由题意，得22ln 2a0，解得a2ln 22.7若函数f (x)1(a0)没有零点，则实数a的取值范围是_(e2，0)解析：f (x)(a0)当x2时，f (x)2时，f (x)0.所以，当x2时，f (x)有极小值f (2)1.若使函数f (x)没有零点，当且仅当f (2)10，解得ae2，

5、因此e2a0.8若函数f (x)恰有2个零点，则a的取值范围是_(0，)解析：当x0时，令f (x)0，可得x3x2a0.设g(x)x3x2，则g(x)x(3x2)当0x时，g(x)0；当x时，g(x)0.所以g(x)ming.当x0时，令f (x)0，可得x22xa0.设h(x)x22x，则有h(x)min1.函数g(x)，h(x)的图象如图所示若函数f (x)恰有2个零点，则a的取值范围是(0，)9函数f (x)x3ax2bxc(a，b，cR)的导函数的图象如图所示(1)求a，b的值并写出f (x)的单调区间；(2)若函数yf (x)有三个零点，求c的取值范围解：(1)因为f (x)x3a

6、x2bxc，所以f (x)x22axb.由题图知f (x)0的两个根为1,2，所以解得a，b2.由导函数的图象可知，当1x2时，f (x)0；当x2时，f (x)0，故函数f (x)在(，1)和(2，)上单调递增，在(1,2)上单调递减(2)由(1)得f (x)x3x22xc，函数f (x)在(，1)，(2，)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以函数f (x)的极大值为f (1)c，极小值为f (2)c.而函数f (x)恰有三个零点，故必有解得c0时，令f (x)0，得x；令f (x)0，得x0，得x.所以f (x)在上单调递减，在，上单调递增(2)由(1)知，f (x)有三个零点，则k0

7、，且即解得0k.当0k，且f ()k20，所以f (x)在上有唯一一个零点同理k1，f (k1)k3(k1)20，所以f (x)在上有唯一一个零点又f (x)在上有唯一一个零点，所以f (x)有三个零点，综上可知k的取值范围为.B组新高考培优练11(多选题)(2020烟台一模)关于函数f (x)exasin x，x(，)，下列说法正确的是()A当a1时，曲线gf (x)在(0，f (0)处的切线方程为2xy10B当a1时，f (x)存在唯一极小值点x0，且1f (x0)0，f (x)在(，)上均存在零点D存在a0恒成立，所以f (x)单调递增又f ecos0，故f (x)存在唯一极值点不妨设x

8、0，则f (x0)0，即ecos x00，f (x0)esin x0sin x0cos x0sin(1,0)，选项B正确对于选项C，D，f (x)exasin x，x(，)令f (x)0，即exasin x0，当xk(k1且kZ)时显然没有零点，故xk(k1且kZ)，所以a.令F(x)，F(x).令F(x)0，解得x(k3，kZ)，所以x时，F(x)单调递减，x时，F(x)单调递增，有极小值Fee；x时，F(x)单调递增，x时，F(x)单调递减，有极大值，Feke，故选项C，任意a0均有零点，不正确选项D，存在a0，有且只有唯一零点，此时ae.故选ABD12若函数f (x)aexx在R上有两个

9、零点x1，x2，且3，则实数a的最大值为()Aln 3Bln 3Cln 3Dln 3B解析：令函数f (x)aexx0，变形为a.令g(x)，g(x).当x1时，g(x)0，g(x)单调递增；当x1时，g(x)0，g(x)单调递减所以，在x1处，函数g(x)取得最大值因为函数f (x)aexx在R上有两个零点x1，x2，画出图象可得0a.由3，可得取等号x23x1时，a取得最大值由aex1，aex2，即ae3x1，所以e3，解得x1ln 3.代入aex1，解得aln 3.所以a的最大值为ln 3.故选B13已知函数f (x)exax有两个零点x1，x2.下列判断：a1；有极小值点x0，且x1x

10、20，函数单调递增，所以函数f (x)至多有一个零点，不符合题意当a0，xln a时，f (x)0，函数单调递增，xln a时，f (x)0，函数单调递减，故函数的最小值为f (ln a)，要满足函数有两个零点，则必有f (ln a)aaln aa(1ln a)e，故判断不正确对于，因为eax10，eax20，所以x1x2ln(a2x1x2)2ln aln(x1x2)2ln(x1x2)取a，f (2)0，所以x22，f (0)10，所以0x12，故判断不正确对于，构造函数F(x1)f (x1)f (2ln ax1)F(x1)eaeae2a22a0，所以函数F(x1)在(0，x0)上单调递增，故

11、F(x1)F(x0)0f (x1)f (2ln ax1)0f (x1)f (2ln ax1)，而f (x1)f (x2)，所以x22ln ax1x1x22ln a，故本判断是正确的对于，因为x1x22ln aln(x1x2)，而x1x22ln a，所以有x1x21，故本判断不正确故正确判断个数为1.14设函数f (x)ln xa(x1)ex，其中aR.(1)若a0，确定f (x)的单调性(2)若0ax0，证明：3x0x12.(1)解：由已知，f (x)的定义域为(0，)，且f (x)aexa(x1)ex.因此当a0时，1ax2ex0，从而f (x)0，所以f (x)在(0，)上单调递增(2)证

12、明：由(1)知f (x).令g(x)1ax2ex，由0a，显然有g(x)0，且g1a10，故g(x)0在(0，)内有唯一解，从而f (x)0在(0，)内有唯一解不妨设为x0，则1x00，所以f (x)在(0，x0)内单调递增当x(x0，)时，f (x)1时，h(x)11时，h(x)h(1)0，所以ln xx1.从而f lnaelnln 1hf (1)0，所以f (x)在(x0，)内有唯一零点又f (x)在(0，x0)内有唯一零点1，从而f (x)在(0，)内恰有两个零点由题意知即从而ln x1e，即e.因为当x1时，ln xx01，故ex.两边取自然对数，得ln eln x，于是x1x02ln

13、 x02.15(2020山东百师联盟测试五)已知函数f (x)axex(x1)2，aR.(1)讨论函数f (x)的极值；(2)若函数g(x)f (x)e在R上恰有两个零点，求a的取值范围解：(1)f (x)aexaxex2(x1)(aex2)(x1)当a0时，令f (x)0x1，x(，1)时，f (x)0，f (x)单调递增所以f (x)有极小值f (1).当a0时，令f (x)0x1或xln.()a2e时，x时，f (x)0，f (x)单调递增；x(1，)时，f (x)0，f (x)单调递减所以f (x)有极小值f 2ln21，有极大值f (1).()2ea0时，x(，1)时，f (x)0，

14、f (x)单调递增；x时，f (x)ae2，所以a0，)当a0时，()a2e时，结合(1)知，x(1，)时，f (x)单调递减，f (1)ae42e240，只需满足1e或e，解得ae2或a (舍)或a.()2eax2m对任意x(0，)恒成立，求实数m的取值范围；(3)若对任意实数a，函数F(x)f (x)g(x)在(0，)上总有零点，求实数b的取值范围解：(1)由g(1)0，知g(x)的图象过点(1,0)设切点坐标为(m，em)由题知f (x)ex，则f (x)ex，切线斜率kf (m)em，切线方程为yemem(xm)，此直线过点(1,0)，故0emem(1m)，解得m0.所以af (0)1

15、.(2)由题意得mexx2，x(0，)恒成立令p(x)exx2，x(0，)，则p(x)ex2x.再令n(x)p(x)ex2x，x(0，)，则n(x)ex2，所以当x(0，ln 2)时，n(x)0，所以n(x)在(ln 2，)上单调递增所以n(x)在(0，)上有最小值n(ln 2)22ln 20，故在(0，)上，p(x)0.所以p(x)在(0，)上单调递增当x0时，p(x)1，所以m1，所以实数m的取值范围为(，1(3)由题意知F(x)exaxb，所以F(x)exa.当a1时，F(x)0在(0，)上恒成立，所以F(x)在(0，)上单调递增，且当x时F(x)，故F(x)在(0，)上的值域为(1b，)所以要使F(x)在(0，)上有零点，则1b1.当a1时，令F(x)0得xln a.当0xln a时，F(x)ln a时，F(x)0，则F(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增所以在(0，)上F(x)minF(ln a)aaln ab.又当x时F(x)，所以F(x)在(0，)上的值域为aaln ab，)故要使F(x)在(0，)上有零点，则aaln ab0.令h(a)aaln ab，则h(a)ln a.当a1时，h(x)0.故h(a)在(1，)上单调递减，所以h(a)1b，所以1b0，即b1.综上，实数b的取值范围为(1，).