2023年高考数学一轮复习 第六章 数列 3 等比数列练习（含解析）.docx

1、等比数列考试要求1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系知识梳理1等比数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q(nN*，q为非零常数)(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2ab.2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1.(2)前n项和公式：Sn3等比数列的性质(1)通项公式的推广：anamqnm(m，nN*

2、)(2)对任意的正整数m，n，p，q，若mnpq2k，则amanapaqa.(3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2mSm，S3mS2m仍成等比数列(m为偶数且q1除外)(4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk.(5)若或则等比数列an递增若或则等比数列an递减常用结论1若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则数列can(c0)，|an|，a，anbn，也是等比数列2等比数列an的通项公式可以写成ancqn，这里c0，q0.3等比数列an的前n项和Sn可以写成SnAqnA(A0，q1,0)思考辨析判断下列结论是

3、否正确(请在括号中打“”或“”)(1)等比数列的公比q是一个常数，它可以是任意实数()(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2ac.()(3)数列an的通项公式是anan，则其前n项和为Sn.()(4)数列an为等比数列，则S4，S8S4，S12S8成等比数列()教材改编题1已知an是等比数列，a22，a4，则公比q等于()AB2C2D答案D解析设等比数列的公比为q，an是等比数列，a22，a4，a4a2q2，q2，q.2在各项均为正数的等比数列an中，a1a112a6a8a3a1325，则a6a8_.答案5解析an是等比数列，且a1a112a6a8a3a1325，a2a6a8a(a6

4、a8)225.又an0，a6a85.3已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为_答案1,3,9或9,3,1解析设这三个数为，a，aq，则解得或这三个数为1,3,9或9,3,1.题型一等比数列基本量的运算例1(1)(2020全国)记Sn为等比数列an的前n项和若a5a312，a6a424，则等于()A2n1B221nC22n1D21n1答案B解析方法一设等比数列an的公比为q，则q2.由a5a3a1q4a1q212a112，得a11.所以ana1qn12n1，Sn2n1，所以221n.方法二设等比数列an的公比为q，则得q2.将q2代入，解得a34.所以a11，下同方法

5、一(2)(2019全国)记Sn为等比数列an的前n项和若a1，aa6，则S5_.答案解析设等比数列an的公比为q，因为aa6，所以(a1q3)2a1q5，所以a1q1，又a1，所以q3，所以S5.教师备选1已知数列an为等比数列，a26,6a1a330，则a4_.答案54或24解析由解得或a4a1q323354或a43233824.2已知数列an为等比数列，其前n项和为Sn，若a2a62a7，S36，则a6等于()A2或32B2或64C2或32D2或64答案B解析数列an为等比数列，a2a62a7a1a7，解得a12，设数列的公比为q，S3622q2q2，解得q2或q1，当q2时，则a6(2)

6、664，当q1时，则a62.思维升华(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q1时，an的前n项和Snna1；当q1时，an的前n项和Sn.跟踪训练1(1)(2020全国)数列an中，a12，amnaman，若ak1ak2ak1021525，则k等于()A2B3C4D5答案C解析a12，amnaman，令m1，则an1a1an2an，an是以a12为首项，q2为公比的等比数列，an22n12n.又ak1ak2ak1021525，21525，即2k1(2101)25(2101)，2k

7、125，k15，k4.(2)(2020新高考全国)已知公比大于1的等比数列an满足a2a420，a38.求an的通项公式；求a1a2a2a3(1)n1anan1.解设an的公比为q(q1)由题设得解得或(舍去)所以an的通项公式为an2n，nN*.由于(1)n1anan1(1)n12n2n1(1)n122n1，故a1a2a2a3(1)n1anan123252729(1)n122n1(1)n.题型二等比数列的判定与证明例2已知数列an满足a11，nan12(n1)an，设bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求an的通项公式解(1)由条件可得an1a

8、n.将n1代入得，a24a1，而a11，所以a24.将n2代入得，a33a2，所以a312.从而b11，b22，b34.(2)bn是首项为1，公比为2的等比数列，由条件可得，即bn12bn，又b11，所以bn是首项为1，公比为2的等比数列(3)由(2)可得2n1，所以ann2n1.教师备选已知各项都为正数的数列an满足an22an13an.(1)证明：数列anan1为等比数列；(2)若a1，a2，求an的通项公式(1)证明an22an13an，所以an2an13(an1an)，因为an中各项均为正数，所以an1an0，所以3，所以数列anan1是公比为3的等比数列(2)解由题意知anan1(a

9、1a2)3n123n1，因为an22an13an，所以an23an1(an13an)，a23a1，所以a23a10，所以an13an0，故an13an，所以4an23n1，an3n1.思维升华等比数列的三种常用判定方法(1)定义法：若q(q为非零常数，nN*)或q(q为非零常数且n2，nN*)，则an是等比数列(2)等比中项法：若数列an中，an0且aanan2(nN*)，则an是等比数列(3)前n项和公式法：若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0，q0,1)，则an是等比数列跟踪训练2Sn为等比数列an的前n项和，已知a49a2，S313，且公比q0.(1)求an及Sn；(2)是否

10、存在常数，使得数列Sn是等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由解(1)易知q1，由题意可得解得a11，q3，an3n1，Sn.(2)假设存在常数，使得数列Sn是等比数列，S11，S24，S313，(4)2(1)(13)，解得，此时Sn3n，则3，故存在常数，使得数列是以为首项，3为公比的等比数列题型三等比数列的性质例3(1)若等比数列an中的a5，a2019是方程x24x30的两个根，则log3a1log3a2log3a3log3a2023等于()A.B1011C.D1012答案C解析由题意得a5a20193，根据等比数列性质知，a1a2023a2a2022a1011a1013a101

11、2a10123，于是a1012，则log3a1log3a2log3a3log3a2023log3(a1a2a3a2023)(2)已知数列an是等比数列，Sn为其前n项和，若a1a2a34，a4a5a68，则S12等于()A40B60C32D50答案B解析数列S3，S6S3，S9S6，S12S9是等比数列，即4,8，S9S6，S12S9是等比数列，S1248163260.教师备选1设等比数列an的前n项和为Sn，若3，则_.答案解析设等比数列an的公比为q，易知q1，由等比数列前n项和的性质可知S3，S6S3，S9S6仍成等比数列，又由已知得S63S3，S9S64S3，S97S3，.2已知等比数

12、列an共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q_.答案2解析由题意，得解得所以q2.思维升华(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要跟踪训练3(1)(2022安康模拟)等比数列an的前n项和为Sn，若S101，S307，则S40等于()A5B10C15D20答案C解析易知等比数列an的前n项和Sn满足S10，S20S10，S30S20，S40S30，成等比数列设an的公比为q，则q100，故S10，S2

13、0S10，S30S20，S40S30，均大于0.故(S20S10)2S10(S30S20)，即(S201)21(7S20)SS2060.因为S200，所以S203.又(S30S20)2(S20S10)(S40S30)，所以(73)2(31)(S407)，故S4015.(2)在等比数列an中，an0，a1a2a3a84，a1a2a816，则的值为()A2B4C8D16答案A解析a1a2a816，a1a8a2a7a3a6a4a52，(a1a8)(a2a7)(a3a6)(a4a5)(a1a2a8)2.课时精练1(2022合肥市第六中学模拟)若等比数列an满足a1a21，a4a58，则a7等于()A.

14、BC.D答案A解析设等比数列an的公比为q，则q38，所以q2，又a1a2a1(1q)1，所以a1，所以a7a1q626.2已知等比数列an满足a11，a3a54(a41)，则a7的值为()A2B4C.D6答案B解析根据等比数列的性质得a3a5a，a4(a41)，即(a42)20，解得a42.又a11，a1a7a4，a74.3(2022开封模拟)等比数列an的前n项和为Sn32n1r，则r的值为()A.BC.D答案B解析由等比数列前n项和的性质知，Sn32n1r9nr，r.4(2022天津北辰区模拟)我国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六

15、朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人第四天走的路程为()A6里B12里C24里D48里答案C解析由题意可知，该人所走路程形成等比数列an，其中q，因为S6378，解得a1192，所以a4a1q319224.5(多选)设等比数列an的公比为q，则下列结论正确的是()A数列anan1是公比为q2的等比数列B数列anan1是公比为q的等比数列C数列anan1是公比为q的等比数列D数列是公比为的等比数列答案AD解析对于A，由q2(n2)知数列anan1是公比为q2的等比数

16、列；对于B，当q1时，数列anan1的项中有0，不是等比数列；对于C，当q1时，数列anan1的项中有0，不是等比数列；对于D，所以数列是公比为的等比数列6(多选)数列an的前n项和为Sn，若a11，an12Sn(nN*)，则有()ASn3n1BSn为等比数列Can23n1Dan答案ABD解析由题意，数列an的前n项和满足an12Sn(nN*)，当n2时，an2Sn1，两式相减，可得an1an2(SnSn1)2an，可得an13an，即3(n2)，又a11，则a22S12a12，所以2，所以数列an的通项公式为an当n2时，Sn3n1，又S1a11，适合上式，所以数列an的前n项和为Sn3n1

17、，又3，所以数列Sn为首项为1，公比为3的等比数列，综上可得选项ABD是正确的7(2022嘉兴联考)已知等比数列an的前n项和为Sn，若S37，S663，则a1_.答案1解析由于S37，S663知公比q1，又S6S3q3S3，得6377q3.q38，q2.由S37，得a11.8已知an是等比数列，且a3a5a7a9a11243，则a7_；若公比q，则a4_.答案381解析由an是等比数列，得a3a5a7a9a11a243，故a73，a481.9(2022徐州模拟)已知等差数列an的公差为2，其前n项和Snpn22n，nN*.(1)求实数p的值及数列an的通项公式；(2)在等比数列bn中，b3a

18、1，b4a24，若bn的前n项和为Tn，求证：数列为等比数列(1)解Snna1dna1n(n1)n2(a11)n，又Snpn22n，nN*，所以p1，a112，即a13，所以an32(n1)2n1.(2)证明因为b3a13，b4a249，所以q3，所以bnb3qn33n2，所以b1，所以Tn，所以Tn，又T1，所以3(n2)，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列10(2022威海模拟)记数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an1.设bnan12an.(1)求证：数列bn为等比数列；(2)设cn|bn100|，Tn为数列cn的前n项和求T10.(1)证明由Sn14an1，得Sn4an

19、11(n2，nN*)，两式相减得an14an4an1(n2)，所以an12an2(an2an1)，所以2(n2)，又a11，S24a11，故a24，a22a12b10，所以数列bn为首项与公比均为2的等比数列(2)解由(1)可得bn22n12n，所以cn|2n100|所以T10600(212226)272829210400200272829210200228292101 994.11(多选)(2022滨州模拟)已知Sn是数列an的前n项和，且a1a21，anan12an2(n3)，则下列结论正确的是()A数列an1an为等比数列B数列an12an为等比数列CanDS20(4101)答案ABD解

20、析因为anan12an2(n3)，所以anan12an12an22(an1an2)，又a1a220，所以anan1是等比数列，A正确；同理an2an1an12an22an1an12an2(an12an2)，而a22a11，所以an12an是等比数列，B正确；若an，则a23，但a213，C错误；由A知anan1是等比数列，且公比为2，因此数列a1a2，a3a4，a5a6，仍然是等比数列，公比为4，所以S20(a1a2)(a3a4)(a19a20)(4101)，D正确12(多选)(2022黄冈模拟)设等比数列an的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a11，a7a81，0.则

21、下列结论正确的是()A0q1CSn的最大值为S9DTn的最大值为T7答案AD解析a11，a7a81，1,0a81，0q1，故A正确；a7a9a1,0q1,0a81，a12，且a1，a2，a38成等差数列，数列anbn的前n项和为.(1)分别求出数列an和bn的通项公式；(2)设数列的前n项和为Sn，nN*，Snm恒成立，求实数m的最小值解(1)因为a12，且a1，a2，a38成等差数列，所以2a2a1a38，即2a1qa1a1q28，所以q22q30，所以q3或q1，又q1，所以q3，所以an23n1(nN*)因为a1b1a2b2anbn，所以a1b1a2b2an1bn1(n2)，两式相减，得anbn2n3n1(n2)，因为an23n1，所以bnn(n2)，当n1时，由a1b12及a12，得b11(符合上式)，所以bnn(nN*)(2)因为数列an是首项为2，公比为3的等比数列，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以Sn.因为nN*，Snm恒成立，所以m，即实数m的最小值为.