2023年高考数学一轮复习 第六章 数列 5 数列求和练习（含解析）.docx

1、数列求和考试要求1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法知识梳理数列求和的几种常用方法1公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和(1)等差数列的前n项和公式：Snna1d.(2)等比数列的前n项和公式：Sn2分组求和法与并项求和法(1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减(2)形如an(1)nf(n)类型，常采用两项合并求解3错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法

2、推导的4裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和(2)常见的裂项技巧.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若数列an为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn.()(2)当n2时，.()(3)求Sna2a23a3nan时，只要把上式等号两边同时乘a即可根据错位相减法求得()(4)求数列的前n项和可用分组转化法求和()教材改编题1数列an的通项公式是an(1)n(2n1)，则该数列的前100项之和为()A200B100C200D100答案D解析S100(13)(57)(197199)250100.2等差数列an中，已知公差

3、d，且a1a3a9950，则a2a4a100等于()A50B75C100D125答案B解析a2a4a100(a1d)(a3d)(a99d)(a1a3a99)50d502575.3在数列an中，an，若an的前n项和为，则项数n_.答案2022解析an，Sn11，n2022.题型一分组求和与并项求和例1(2022衡水质检)已知各项都不相等的等差数列an，a66，又a1，a2，a4成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(1)nan，求数列bn的前2n项和T2n.解(1)an为各项都不相等的等差数列，a66，且a1，a2，a4成等比数列解得a11，d1，数列an的通项公式an1(n1)1

4、n.(2)由(1)知，bn2n(1)nn，记数列bn的前2n项和为T2n，则T2n(212222n)(12342n)记A212222n，B12342n，则A22n12，B(12)(34)(2n1)2nn.故数列bn的前2n项和T2nAB22n1n2.延伸探究在本例(2)中，如何求数列bn的前n项和Tn?解由本例(2)知bn2n(1)nn.当n为偶数时，Tn(21222n)1234(n1)n2n12；当n为奇数时，Tn(21222n)1234(n2)(n1)n2n12n2n1.所以Tn教师备选(2020新高考全国)已知公比大于1的等比数列an满足a2a420，a38.(1)求an的通项公式；(2

5、)记bm为an在区间(0，m(mN*)中的项的个数，求数列bm的前100项和S100.解(1)由于数列an是公比大于1的等比数列，设首项为a1，公比为q，依题意有解得(舍)或所以an的通项公式为an2n，nN*.(2)由于212,224,238,2416,2532，2664，27128，所以b1对应的区间为(0,1，则b10；b2，b3对应的区间分别为(0,2，(0,3，则b2b31，即有2个1；b4，b5，b6，b7对应的区间分别为(0,4，(0,5，(0,6，(0,7，则b4b5b6b72，即有22个2；b8，b9，b15对应的区间分别为(0,8，(0,9，(0,15，则b8b9b153，

6、即有23个3；b16，b17，b31对应的区间分别为(0,16，(0,17，(0,31，则b16b17b314，即有24个4；b32，b33，b63对应的区间分别为(0,32，(0,33，(0,63，则b32b33b635，即有25个5；b64，b65，b100对应的区间分别为(0,64，(0,65，(0,100，则b64b65b1006，即有37个6.所以S10012222323424525637480.思维升华(1)若数列cn的通项公式为cnanbn，且an，bn为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列cn的前n项和(2)若数列cn的通项公式为cn其中数列an，bn是等比数列或等差数列，可

7、采用分组求和法求cn的前n项和跟踪训练1(2022重庆质检)已知等差数列an的前n项和为Sn，a59，S525.(1)求数列an的通项公式及Sn；(2)设bn(1)nSn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)设数列an的公差为d，由S55a325得a3a12d5，又a59a14d，所以d2，a11，所以an2n1，Snn2.(2)结合(1)知bn(1)nn2，当n为偶数时，Tn(b1b2)(b3b4)(b5b6)(bn1bn)(1222)(3242)(5262)(n1)2n2(21)(21)(43)(43)(65)(65)n(n1)n(n1)123n.当n为奇数时，n1为偶数，TnTn1(1)n

8、n2n2.综上可知，Tn.题型二错位相减法求和例2(10分)(2021全国乙卷)设an是首项为1的等比数列，数列bn满足bn.已知a1，3a2，9a3成等差数列(1)求an和bn的通项公式；切入点：设基本量q(2)记Sn和Tn分别为an和bn的前n项和证明：Tn.关键点：bnnn教师备选(2020全国)设an是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项(1)求an的公比；(2)若a11，求数列nan的前n项和解(1)设an的公比为q，a1为a2，a3的等差中项，2a1a2a3a1qa1q2，a10，q2q20，q1，q2.(2)设nan的前n项和为Sn，a11，an(2)n1，Sn112

9、(2)3(2)2n(2)n1，2Sn1(2)2(2)23(2)3(n1)(2)n1n(2)n，得，3Sn1(2)(2)2(2)n1n(2)nn(2)n，Sn，nN*.思维升华(1)如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，常采用错位相减法(2)错位相减法求和时，应注意：在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“SnqSn”的表达式应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1，如果q1，应用公式Snna1.跟踪训练2(2021浙江)已知数列an的前n项和为Sn，a1，且4Sn13Sn9(nN*)(1)求数列an的通项公式；

10、(2)设数列bn满足3bn(n4)an0(nN*)，记bn的前n项和为Tn.若Tnbn，对任意nN*恒成立，求实数的取值范围解(1)因为4Sn13Sn9，所以当n2时，4Sn3Sn19，两式相减可得4an13an，即.当n1时，4S249，解得a2，所以.所以数列an是首项为，公比为的等比数列，所以ann1.(2)因为3bn(n4)an0，所以bn(n4)n.所以Tn3221304(n4)n，且Tn32231405(n5)n(n4)n1，得Tn323n(n4)n1(n4)n1nn1，所以Tn4nn1.因为Tnbn对任意nN*恒成立，所以4nn1恒成立，即3n(n4)恒成立，当n4时，3，此时3

11、.所以31.题型三裂项相消法求和例3(2022咸宁模拟)设an是各项都为正数的单调递增数列，已知a14，且an满足关系式：an1an42，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn，求数列bn的前n项和Sn.解(1)因为an1an42，nN*，所以an1an24，即()24，又an是各项为正数的单调递增数列，所以2，又2，所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以22(n1)2n，所以an4n2.(2)bn，所以Snb1b2bn.教师备选设数列an的前n项和为Sn，且2Sn3an1.(1)求an的通项公式；(2)若bn，求bn的前n项和Tn，证明：Tn.(1)解因为2Sn3an1，所以2S

12、12a13a11，即a11.当n2时，2Sn13an11，则2Sn2Sn12an3an3an1，整理得3，则数列an是以1为首项，3为公比的等比数列，故an13n13n1.(2)证明由(1)得bn，所以Tn，即Tn，所以Tn，又因为Tn为递增数列，所以TnT1，所以Tn.思维升华利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，如：若an是等差数列，则，.跟踪训练3(2022河北衡水中学模拟)已知数列an满足a14，且当n2时，(n1)ann(an12n2)(1)求证：数列是等差数列；(2)记bn，

13、求数列bn的前n项和Sn.(1)证明当n2时，(n1)ann(an12n2)，将上式两边都除以n(n1)，得，即2，所以数列是以4为首项，2为公差的等差数列(2)解由(1)得42(n1)2n2，即an2n(n1)，所以bn，所以Sn.课时精练1已知在等差数列an中，Sn为其前n项和，且a35，S749.(1)求数列an的通项公式；(2)若bnan，数列bn的前n项和为Tn，且Tn1000，求n的取值范围解(1)由等差数列性质知，S77a449，则a47，故公差da4a3752，故ana3(n3)d2n1.(2)由(1)知bn22n12n1，Tn21123322n12n1212322n1(132

14、n1)n2.易知Tn单调递增，且T57071 000，故Tn1 000，解得n6，nN*.2(2020全国改编)设数列an满足a13，an13an4n.(1)计算a2，a3，猜想an的通项公式；(2)求数列2nan的前n项和Sn.解(1)由题意可得a23a14945，a33a281587，由数列an的前三项可猜想数列an是以3为首项，2为公差的等差数列，即an2n1.(2)由(1)可知，an2n(2n1)2n，Sn32522723(2n1)2n1(2n1)2n，2Sn322523724(2n1)2n(2n1)2n1，由得，Sn62(22232n)(2n1)2n162(2n1)2n1(12n)2

15、n12，即Sn(2n1)2n12.3(2022合肥模拟)已知数列an满足：a12，an1an2n.(1)求an的通项公式；(2)若bnlog2an，Tn，求Tn.解(1)由已知得an1an2n，当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)22222n122n.又a12，也满足上式，故an2n.(2)由(1)可知，bnlog2ann，Tn1，故Tn.4(2022济宁模拟)已知数列an是正项等比数列，满足a3是2a1,3a2的等差中项，a416.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn(1)nlog2a2n1，求数列bn的前n项和Tn.解(1)设等比数列an的公比为q，因为a3是2a1

16、,3a2的等差中项，所以2a32a13a2，即2a1q22a13a1q，因为a10，所以2q23q20，解得q2或q，因为数列an是正项等比数列，所以q2.所以ana4qn42n.(2)方法一(分奇偶、并项求和)由(1)可知，a2n122n1，所以bn(1)nlog2a2n1(1)nlog222n1(1)n(2n1)，若n为偶数，Tn3579(2n1)(2n1)(35)(79)(2n1)(2n1)2n；若n为奇数，当n3时，TnTn1bnn1(2n1)n2，当n1时，T13适合上式，综上得Tn(或Tn(n1)(1)n1，nN*)方法二(错位相减法)由(1)可知，a2n122n1，所以bn(1)

17、nlog2a2n1(1)nlog222n1(1)n(2n1)，Tn(1)13(1)25(1)37(1)n(2n1)，所以Tn(1)23(1)35(1)47(1)n1(2n1)，所以2Tn32(1)2(1)3(1)n(1)n1(2n1)32(1)n(2n1)31(1)n1(1)n(2n1)2(2n2)(1)n，所以Tn(n1)(1)n1，nN*.5(2022重庆调研)在等差数列an中，已知a612，a1836.(1)求数列an的通项公式an；(2)若_，求数列bn的前n项和Sn，在bn，bn(1)nan，bn这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解解(1)由题意知解得d2，a12.an2(n1)22n.(2)选条件.bn，则Sn1.选条件.an2n，bn(1)nan(1)n2n，Sn2468(1)n2n，当n为偶数时，Sn(24)(68)2(n1)2n2n；当n为奇数时，n1为偶数，Snn12nn1.Sn选条件.an2n，bn，bn22n2n2n4n，Sn2414426432n4n，4Sn2424436442(n1)4n2n4n1，得3Sn24124224324n2n4n122n4n12n4n1，Sn(14n)4n1.