2023年高考数学一轮复习 高考解答题专项三 数列（含解析）北师大版 文.docx

1、高考解答题专项三数列1.(2021山东滨州一模)已知等差数列an和等比数列bn满足a1=2,b2=4,an=2log2bn.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设数列an中不在数列bn中的项按从小到大的顺序构成数列cn,记数列cn的前n项和为Sn,求S100.解:(1)设等差数列an的公差为d,因为b2=4,所以a2=2log2b2=4,所以d=a2-a1=2.所以an=2+(n-1)2=2n.又an=2log2bn,即2n=2log2bn,所以n=log2bn,所以bn=2n.(2)由(1)得bn=2n=22n-1=a2n-1,即bn是数列an中的第2n-1项.设数列an的前n项和为Pn

2、,数列bn的前n项和为Qn,因为b7=a26=a64,b8=a27=a128,所以数列cn的前100项是由数列an的前107项去掉数列bn的前7项后构成的,所以S100=P107-Q7=107(2+214)2-2-281-2=11302.2.(2021广东汕头三模)已知数列an的前n项和为Sn,数列Snn是首项为12,公差为14的等差数列,若x表示不超过x的最大整数,如0.5=0,lg 499=2.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=lg an,求数列bn的前2 021项的和.解:(1)数列Snn是首项为12,公差为14的等差数列,所以Snn=12+(n-1)14=n+14,得Sn=n2

3、+n4,当n=1时,a1=S1=12,当n2时,an=Sn-Sn-1=n2+n4-(n-1)2+n-14=n2,又a1=12也适合上式,所以an=n2.(2)由(1)得bn=lgan=lgn2,当n=1时,-1lga10;当n=2,3,4,19时,0lgan1;当n=20,21,22,199时,1lgan2;当n=200,201,202,1999时,2lgan3;当n=2000,2001,2021时,3lgan4.故数列bn的前2021项和为lga1+lga2+lga3+lga2021=-1+018+1180+21800+322=3845.3.(2021四川成都七中高三月考)设等差数列an的前

4、n项和为Sn,已知a2=3,且S5=4a3+5.(1)求an的通项公式;(2)若1a1a2+1a2a3+1anan+11m-1对nN*都成立,求实数m的取值范围.解:(1)(方法1)设数列an的公差为d,则a2=a1+d=3,5a1+10d=4(a1+2d)+5,解得a1=1,d=2.故an的通项公式为an=2n-1.(方法2)S5=5(a1+a5)2=5a3,又S5=4a3+5,则a3=5.公差为a3-a2=2,故an的通项公式为an=a2+(n-2)2=2n-1.(2)由(1)得1anan+1=1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1,k=1n1akak+1=121-13+1

5、3-15+12n-1-12n+1=121-12n+112,由题设不等式恒成立,有1m-112,解得10),其前n项和为Pn,若存在正整数m,使得S3是Sm与P3的等比中项,求q的值.解:(1)由题设可得Snn=S11+n-1=n,即Sn=n2,当n2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,又a1=1也适合上式,an=2n-1,1anan+1=1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1,Tn=121-13+13-15+12n-1-12n+1=121-12n+1=n2n+1.(2)由(1)可知Sn=n2,由S3=SmP3得9=m2(2+2q+2q2),9m2=2+2q+

6、2q2,q0,9m22,又mN+,m=1或2,当m=1时,2q2+2q+2=9,解得q=-1152(舍负);当m=2时,2q2+2q+2=94,解得q=-264(舍负).q=15-12或6-24.5.Sn为等比数列an的前n项和,已知a4=9a2,S3=13,且公比q0.(1)求an及Sn.(2)是否存在常数,使得数列Sn+是等比数列?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.解:(1)由题意可得a1q3=9a1q,a1(1-q3)1-q=13,q0,解得a1=1,q=3,所以an=3n-1,Sn=1-3n1-3=3n-12.(2)假设存在常数,使得数列Sn+是等比数列,因为S1+=+1,S2+

7、=+4,S3+=+13,所以(+4)2=(+1)(+13),解得=12,此时Sn+12=123n,则Sn+1+12Sn+12=3,故存在常数=12,使得数列Sn+12是等比数列.6.(2021浙江杭州二中高三月考)已知等比数列an的公比为(1),a1=1,数列bn满足bn+1-bn=an+1-,b1=1-1.(1)求数列bn的通项公式;(2)规定:x表示不超过x的最大整数,如-1.2=-2,2.1=2.若=2,cn=1bn+2n-2,记Tn=c1+c2+c3+cn(n2),求Tn2-2Tn+2Tn-1的值,并指出相应n的取值范围.解:(1)由题意得an=n-1(1),则bn+1-bn=n-(1

8、),当n2时,bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)+b1=(n-1-)+(n-2-)+(1-)+1-1=(n-1+n-2+1)-(n-1)+1-1=n-1-n+-1,又b1=1-1符合上式,因此bn=n-1-n+-1.(2)由(1)知,当=2时,bn=2n-2n+1,则cn=1bn+2n-2=12n-10.当n=2时,T2=c1+c2=43,此时Tn2-2Tn+2Tn-1=103=3;当n=3时,T3=c1+c2+c3=3121,此时Tn2-2Tn+2Tn-1=1021+110+2=2.当n3时,TnT3,因为cn=12n-132n+1(n2),所以Tn1+3123+124+12n+1=1+3181-(12)n-11-12=1+341-12n-174,因此T3Tn74,即Tn3121,74,令x=Tn-1,则x1021,34,Tn2-2Tn+2Tn-1=Tn-1+1Tn-1=x+1x,利用对勾函数的单调性,得x+1x2512,A其中A=1021+110+2,从而Tn2-2Tn+2Tn-1=2.综上,当n=2时,Tn2-2Tn+2Tn-1=3;当n3时,Tn2-2Tn+2Tn-1=2.