2022版新高考数学人教A版一轮复习学案：第8章 第3节　圆的方程 WORD版含解析.doc

1、第三节圆的方程一、教材概念结论性质重现1圆的定义及方程定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆心：，半径：(1)确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质圆心在过切点且与切线垂直的直线上圆心在任一弦的中垂线上两圆内切或外切时，切点与两圆圆心共线(2)方程x2y2DxEyF0，当D2E24F0时，表示圆心为，半径r的圆；当D2E24F0时，表示一个点；当D2E24Fr2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(

2、y0b)2r2.3常用结论以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)确定圆的几何要素是圆心与半径()(2)方程x22axy20一定表示圆()(3)圆x22xy2y0的圆心是()(4)若点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0内，则xyDx0Ey0F0()2若圆(x1)2(y1)22关于直线ykx3对称，则k的值是()A2 B2 C1 D1B解析：由题意知直线ykx3过圆心(1,1)，即1k3，解得k2.3过点A(1，1)，B(1,1)，且圆心在直线xy20上的

3、圆的方程是()A(x3)2(y1)24B(x3)2(y1)24C(x1)2(y1)24D(x1)2(y1)24C解析：设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.因为圆心C在直线xy20上，所以b2a.又|CA|2|CB|2，所以(a1)2(2a1)2(a1)2(2a1)2，所以a1，b1.所以r2.所以方程为(x1)2(y1)24.4若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是()A(1,1)B(0,1)C(，1)(1，)Da1A解析：因为点(1,1)在圆的内部，所以(1a)2(1a)24，所以1a0且圆C的半径r2a，A(a,0)因为点A到直线xy40的距离d，所以d，解

4、得a6或a2，所以A(2，0)或A(6,0)因为A在直线xy40的左上方，所以A(2,0)，所以C(2,4)，r4，所以圆C的标准方程为(x2)2(y4)216.(2)古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著圆锥曲线论中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A(a,0)，B(a,0)，动点P满足(其中a和是正常数，且1)，则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”，该圆的半径为_解析：设P(x，y)，由动点P满足(其中a和是正常数，且1)，所以，化简得x2xa2y20，即y2a2，所以该圆半径r.求圆的方程的两种方法(1)几何法通过研究圆的性质进而求出圆的基本量确定圆的方程时，常用到圆的三个性质

5、：圆心在过切点且垂直于切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解(2020重庆育才中学3月月考)圆C以直线l：(2m1)x(m1)y2m0上的定点为圆心，半径r4，则圆C的方程为()A(x2)2(y2)216 B(x2)2(y2)216C(x2)2(y2)216 D(x2)2(y2)216A解析：由(2m1)x(m1)y2m0，可得(2xy2)m(xy)0，所以直线过的交点，解得即直线过定点(2,2)，则所求圆的方程为(x2)2(y2)216.故选A考点2与圆有关的轨迹问题综合性设定点M(3,4)，动点N在圆x2

6、y24上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹解：如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，故，从而又点N在圆上，故(x3)2(y4)24.因此所求轨迹为圆(x3)2(y4)24，但应除去两点和(点P在直线OM上时的情况)求与圆有关的轨迹问题的常用方法(1)直接法：由题设直接求出动点坐标所满足的关系式(2)定义法：利用定义写出动点的轨迹方程(3)代入法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，可将点Q的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程1若

7、动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为()Ax2y232 Bx2y216C(x1)2y216 Dx2(y1)216B解析：设P(x，y)，则由题意可得2，化简整理得x2y216.2如图，已知点A(1,0)与点B(1,0)，点C是圆x2y21上的动点，连接BC并延长至点D，使得|CD|BC|.求AC与OD的交点P的轨迹方程解：设动点P(x，y)，由题意可知P是ABD的重心由A(1,0)，B(1,0)，设动点C(x0，y0)，则D(2x01,2y0)由重心坐标公式得则代入x2y21，整理得y2(y0)，故所求轨迹方程为y2(y0)考点3与圆有关的最值问题综

8、合性考向1斜率型、截距型、距离型最值问题已知实数x，y满足方程x2y24x10.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值解：原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k(如图1)所以的最大值为，最小值为.(2)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2(如图2)所以yx的最大值为2，最小值为2.(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方由平面

9、几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，最小值是(2)274.与圆有关的最值问题的3种几何转化法(1)形如m的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如maxby的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m(xa)2(yb)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题考向2利用对称性求最值已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A54 B1 C62 DA解析：P是x轴上任意

10、一点，则|PM|的最小值为|PC1|1，同理|PN|的最小值为|PC2|3，则|PM|PN|的最小值为|PC1|PC2|4.作C1关于x轴的对称点C1(2，3)所以|PC1|PC2|PC1|PC2|C1C2|5，即|PM|PN|PC1|PC2|454.求解形如|PM|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决1设点P是函数y图象上的任意一点，点Q的坐标为(2a，a3)(aR)，则|PQ|的最小值为_2解析：函数y的图象表示圆(x1)2y24在x轴及下方的部分令点Q的坐标为(x，y)，则得y3，即x2y60，作出图象如图所示由于圆心(1,0)到直线x2y60的距离d2，故直线x2y60与圆(x1)2y24相离，因此|PQ|的最小值是2.2已知A(0,2)，点P在直线xy20上，点Q在圆C：x2y24x2y0上，则|PA|PQ|的最小值是_2解析：因为圆C化为标准方程为(x2)2(y1)25，所以圆C是以C(2，1)为圆心，r为半径的圆设点A(0，2)关于直线xy20的对称点为A(m，n)，故解得故A(4，2)所以|AC|3.连接AC交圆C于点Q，由对称性可知|PA|PQ|AP|PQ|AQ|AC|r2.