2022版高中数学一轮复习 课时作业梯级练二十六 应用举例课时作业（理含解析）新人教A版.doc

1、课时作业梯级练二十六 应用举例【基础落实练】（30分钟 60分）一、选择题(每小题5分，共25分)1.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65,那么B,C间的距离是()A.10海里B.10海里C.20海里D.20海里【解析】选A.如图,由已知可得,BAC=30,ABC=105,AB=20海里,从而ACB=45.在ABC中,由正弦定理可得BC=sin 30=10(海里).2甲船在岛的正南方A处，AB10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北匀速航行，同时乙船

2、自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向匀速航行，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是()A小时 B小时C小时 D小时【解析】选A.假设经过x小时两船相距最近，甲乙分别行至C，D，如图所示：可知BC104x，BD6x，CBD120，由余弦定理可得，CD2BC2BD22BCBDcos CBD(104x)236x22(104x)6x28x220x100，所以当x时两船相距最近3.(2021乐山模拟)台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动,离台风中心30千米内的地区为危险区,城市B在A的正东方向40千米处,B城市处于危险区内的持续时间为()A.0.5小时B.1小时C.1.5小

3、时D.2小时【解析】选B.根据题意画出相应的图形,如图所示.BE=BF=30 km,ABD为等腰直角三角形且AB=40 km,由勾股定理得AD=BD=20 km,由BDAD,可得ED=DF,在RtBED中,由勾股定理得ED=10 km,所以EF=2ED=20 km,因此B市处于危险区内的时间为2020=1(h).4已知A船在灯塔C的北偏东85方向且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C的西偏北25方向且B到C的距离为 km，则A，B两船的距离为()A km B kmC2 km D3 km【解析】选A.画出图形如图所示，由题意可得ACB(9025)85150，又AC2，BC.在ABC中，由余弦定理

4、可得AB2AC2BC22ACBCcos 15013，所以AB，即A，B两船的距离为 km.5一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45，从点A沿北偏东30方向前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是()A50 m B100 mC120 m D150 m【解析】选A.设水柱高度是h，水柱底端为C，则在ABC中，BAC60，ACh，AB100，BCh，根据余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，解得h50(负值舍去)，故

5、水柱的高度是50 m二、填空题(每小题5分，共15分)6如图，某炮兵阵地位于A点，两观察所分别位于C，D两点已知ACD为正三角形，且DC km，当目标出现在点B时，测得CDB45，BCD75，则炮兵阵地与目标的距离是_(保留1位小数)【解析】CBD180BCDCDB60.在BCD中，由正弦定理，得BD.在ABD中，ADB4560105，由余弦定理，得AB2AD2BD22ADBD cos 1053252.所以AB2.9(km).所以炮兵阵地与目标的距离约是2.9 km.答案：2.9 km7海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A处北偏东45的方向，且与A相距10海里的C

6、处，沿东偏南15的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的时间为_小时【解析】设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的时间为x小时，如图，在ABC中，AC10海里，AB21x海里，BC9x海里，ACB120.由余弦定理得(21x)2100(9x)22109xcos 120，整理，得36x29x100，解得x或x(舍). 所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的时间为小时答案：8长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上，另一端B在离堤足C处的2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为，则坡度值tan _【解析】由已知，在ABC

7、中，AB3.5 m，AC1.4 m，BC2.8 m，且ACB.由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB，即3.521.422.8221.42.8cos ()，解得cos ，所以sin ，所以tan .答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15(BAC15)方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，测得山顶P位于北偏东60方向上，此时测得山顶P的仰角为60，若山高为2千米，(1)船的航行速度是每小时多少千米？(2)若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶P位于D处的南偏东什么方向？【解析】(1)在BCP中，tan PBCBC2

8、，在ABC中，由正弦定理得，所以AB2(1)，故船的航行速度是每小时6(1)千米(2)在BCD中，由余弦定理得CD，在BCD中，由正弦定理得sin CDB，所以山顶P位于D处南偏东45方向10.如图,在一条海防警戒线上的点A,B,C处各有一个水声监测点,B,C两点到A的距离分别为20千米和50千米,某时刻,B收到发自静止目标P的一个声波信号,8秒后A,C同时接收到该声波信号,已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒.(1)设A到P的距离为x千米,用x表示B,C到P的距离,并求x的值;(2)求P到海防警戒线AC的距离.【解析】(1)依题意,有PA=PC=x,PB=x-1.58=x-12.在PAB

9、中,AB=20,cosPAB=,同理在PAC中,AC=50,cosPAC=.因为cosPAB=cosPAC,所以=,解得x=31.经检验x=31符合题意.(2)作PDAC于D,在ADP中,由cosPAD=,得sinPAD=,所以PD=PAsinPAD=31=4(千米),故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4千米.【素养提升练】（20分钟 35分）1如图，要测量底部不能到达的某铁塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45，30.在水平面上测得BCD120，C，D两地相距600 m，则铁塔AB的高度是()A120 m B480 mC240 m D600 m

10、【解析】选D.设ABx，则BCx，BD x，在BCD中，由余弦定理知cos 120，解得x600 m，(x300舍去).故铁塔AB的高度为600 m2如图，为了测量正在海面匀速行驶的某船的速度，在海岸上选取距离1千米的两个观察点C，D，在某天10：00观察到该船在A处，此时测得ADC30，2分钟后该船行驶至B处，此时测得ACB60，BCD45，ADB60，则船速为_千米/分钟【解析】在BCD中，BDC306090，CD1，BCD45，所以BC.在ACD中，CAD180(604530)45，所以，AC.在ABC中，AB2AC2BC22ACBCcos 60，所以AB，所以船速为千米/分钟答案：3.

11、(5分)如图,在四边形ABCD中,ABD=45,ADB=30,BC=1,DC=2,cosBCD=,则BD=;三角形ABD的面积为.【解析】在BCD中,由余弦定理可得BD2=BC2+CD2-2BCCDcosBCD=1+4-212=4,则BD=2.在ABD中,BAD=180-30-45=105,sin 105=sin(45+60)=+=.由正弦定理可得AD=2(-1),则SABD=2(-1)2sin 30=-1,故BD=2,ABD的面积为-1.答案:2-14已知岛A南偏西38方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22方向行驶，问缉私艇朝何方向以多

12、大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？【解析】如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC0.5x海里，AC5海里，由已知，BAC1803822120，由余弦定理得BC2AB2AC22ABAC cos 120，所以BC249，BC0.5x7，解得x14.又由正弦定理得sin ABC，所以ABC38，又BAD38，所以BCAD，所以缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船5已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM100 m和BN200 m，一测量车在小山M的正南方

13、向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30，该测量车向北偏西60方向行驶了100 m后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为，且BQA，经测量tan 2，求两发射塔顶A，B之间的距离【解析】在RtAMP中，APM30，AM100 m，所以PM100 m.连接QM，在PQM中，QPM60，又PQ100 m，所以PQM为等边三角形，所以QM100 m在RtAMQ中，由AQ2AM2QM2得AQ200 m.在RtBNQ中，tan 2，BN200 m，所以BQ100 m，cos .在BQA中，BA2BQ2AQ22BQAQ cos (100)2，所以BA100.所以两发射塔顶A，B之间的距离是100 m1如

14、图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小(仰角为直线AP与平面ABC所成的角).若AB15 m，AC25 m，BCM30，则tan 的最大值是()ABCD【解析】选D.由已知，在RtABC中，sin ACB，则cos ACB.作PHBC，垂足为H，连接AH，如图所示设PHx m，则CHx m，在ACH中，由余弦定理得AH，tan PAH，当时，tan 取得最大值，最大值为.2线段AB外有一点C，ABC60，AB200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始_h后，两车的距离最小【解析】如图所示，设过x h后两车距离为y km，则BD20080x，BE50x，所以y2(20080x)2(50x)22(20080x)50xcos 60，整理得y212 900x242 000x40 000(0x2.5)，所以当x时，y2最小答案：