江苏省丹阳高级中学高二数学竞赛培训讲义：三角函数（二）——性质及其应用（反三角函数） WORD版缺答案.doc

1、三角函数（二）性质及其应用一、三角函数的性质及应用三角函数的性质大体包括：定义域、值域、奇偶性、周期性、对称性、单调性、最值等这里以单调性为最难它们在平面几何、立体几何、解析几何、复数等分支中均有广泛的应用二、反三角函数1反函数的概念定义：一般地，设函数的值域是，根据这个函数中的关系，用把表示出，得到. 若对于在中的任何一个值，通过，在中都有唯一的值和它对应，那么就表示是自变量，是因变量的函数，这样的函数叫做函数的反函数，记作.反函数的定义域、值域分别是函数的值域、定义域.性质：（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称；（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）

2、一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数，定义域是且（其中是常数），则函数偶函数且有反函数，其反函数的定义域是，值域为）.奇函数不一定存在反函数，被与轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数.若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数.（5）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】； （6）反函数是相互的且具有唯一性； （7）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）； （8）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）(在有反函数的情况下，即满足（2）2反三角函数三角函数在其整个定义域上是非单调的函数，因此，在其整个定义域上，三角函数

3、是没有反函数的但是如果限定在某个单调区间内就可以讨论三角函数的反函数了1）反正弦函数 定义：函数ysinx(x-，)的反函数就是反正弦函数，记为yarcsinx(x1，1)这个式子表示：在区间-，内，正弦函数值为x的角就是arcsinx，即 sin(arcsinx)x， x1，1 反正弦函数的性质： 定义域为1，1；值域为-， 在定义域上单调增； 是1，1上的奇函数，即 arcsin(x)arcsinx， x1，1 yarcsinx的图象：与ysinx(x-，)的图象关于yx对称 arcsin(sinx)的值及yarcsin(sinx)的图象： arcsin(sinx)x， x-， 2）反余弦

4、函数 仿反正弦函数的情况可以得到： 定义：函数ycosx(x0，p)的反函数就是反余弦函数，记为yarccosx(x1，1)这个式子表示：在区间0，p内，余弦函数值为x的角就是arccosx，即 cos(arccosx)x， x1，1 反余弦函数的性质： 定义域为1，1；值域为0，p 在定义域上单调减； 是1，1上的非奇非偶函数，即 arccos(x)parccosx， x1，1 yarccosx的图象：与ycosx(x0，p)的图象关于yx对称 arccos(cosx)的值及yarccos(cosx)的图象： arccos(cosx)x， x0，p 3）反正切函数 定义：函数ytanx(x(

5、-，)的反函数就是反正切函数，记为yarctanx(xR)这个式子表示：在区间(-，)内，正切函数值为x的角就是arctanx，即 tan(arctanx)x， xR 反正切函数的性质： 定义域为R；值域为(-，) 在定义域上单调增； 是R上的奇函数，即 arctan(x)arctanx， xR yarctanx的图象：与ytanx(x(-，)的图象关于yx对称 arctan(tanx)的值及yarctan(tanx)的图象： arctan(tanx)x， x(-，) 三、例题选讲例1、函数，则_例2、若是方程的解，是方程的解，则的值为_例3、证明：（1）；（2）；例4、求的值例5、求常数，使得在区间内是奇函数例6、若，比较，这三者之间的大小例7、已知，且，求的值例8、求证：在区间内存在唯一的两个数，使得，例9、已知，且，比较的大小例10、，求证：例11、已知是偶函数，求例12、方程在内有相异两根，求实数的取值范围及的值例13、求函数的最大值和最小值例14、已知，其中、为锐角，求证：例15、已知为锐角，且，求证： 例16、已知函数在区间上单调递减，试求实数的取值范围例17、已知函数求的定义域和值域； 在中，求的单调区间；判断方程在区间上解的个数