江苏省丹阳高级中学高二数学竞赛培训讲义：复数（无答案）.doc

1、复 数一、知识、方法、技能1复数的四种表示形式代数形式：几何形式：复平面上的点或由原点出发的向量三角形式：指数形式：（令）2复数的运算法则加、减法：乘法： 除法： 乘方：开方：复数的次方根是3复数的模与共轭复数复数的模的性质：，； ；，与复数、对应的向量、反向时取等号；，与复数对应的向量同时取等号.共轭复数的性质：； ； ； ； ；是实数的充要条件是，是纯虚数的充要条件是4复数解题的常用方法与思想（1）两个复数相等的充要条件是它们的实部、虚部对应相等，或者它们的模与辐角主值相等（辐角相差2的整数倍）. 利用复数相等的充要条件，可以把复数问题转化为实数问题，从而获得解决问题的一种途径.（2）复数

2、的模也是将复数问题实数化的有效方法之一.善于利用模的性质，是模运算中的一个突出方面.二、例题分析例1、若，则的值是_例2、设复数满足，则_例3、设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为则复数所对应的不同的点的个数是_例4、关于x的二次方程中，、m均是复数，且.设这个方程的两个根为、，且满足，求|m|的最大值和最小值.例5、求和：S=cos200+2cos400+18cos(18200).例6、证明：sin sinsin = .例7、已知，求下列三角函数值：（1）； （2）BACDE例8、如图，ABC和ADE是两个不全等的等腰直角三角形。现固定ABC，而将ADE绕A点在平面上旋转.试证：无论ADE旋转到什么位置，线段EC上必存在点M，使BMD为等腰直角三角形.例9、设非零复数a1,a2,a3,a4,a5满足，其中S为实数且|S|2，求证：复数a1,a2,a3,a4,a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上例10、给定实数，已知复数满足：，求的值.