江苏省南京市玄武区2014_2015学年高二数学上学期期中试卷含解析.doc

1、2014-2015学年江苏省南京市玄武区高二（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共计42分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1直线的倾斜角是2抛物线x2=y的焦点坐标为3圆x2+y22x+2y=0的周长是4已知点（2，1）在直线l上的射影为（1，1），则直线l的方程为5若“1x2”是“0xm”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是6若椭圆+=1上一点到左准线的距离为5，则该点到右焦点的距离为7已知实数x，y满足不等式组，则的最小值是8若双曲线x2=1（a0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于，则a的值为9圆x2+y2=m与圆x2+y26x+8y24=0若相交，则实数m的取

2、值范围为10若双曲线=1上一点P到其左焦点的距离为5，则点P到右焦点的距离为11一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽4m若水面下降2m，则水面宽度为m12若关于x的方程x+b=恰有一个解，则实数b的取值范围为13已知A、B、C三点在曲线上，其横坐标依次为1，m，4（1m4），当ABC的面积最大时，m等于14已知椭圆=1（ab0）的焦距是2c，若以a，2b，c为三边长必能构成三角形，则该椭圆离心率的取值范围是二、解答题：本大题共5小题，15-16每小题10分，17题12分，18题14分，19题12分，共58分.请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15设命

3、题p：x1，1，x+m0命题q：方程=1表示双曲线（1）写出命题p的否定；（2）若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围16在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，0），点B（0，2），点C（，1）（1）求经过A，B，C三点的圆P的方程；（2）若直线l经过点（1，1）且被圆P截得的弦长为2，求直线l的方程17在平面直角坐标系xoy中，设抛物线C：y2=4x（1）求抛物线C上到焦点距离等于5的点的横坐标；（2）设命题p：过抛物线C上一点M（1，2）作两条不同的直线，分别交抛物线C于点A，B，设直线MA，MB，AB的斜率均存在且分别记为kMA，kMB，kAB若+为定值，则kAB为定值判

4、断命题p的真假，并证明；（3）写出（2）中命题p的逆命题，并判断真假（不要求证明）18在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆的焦点为（，0）（，0），离心率为（1）求椭圆的方程；（2）若圆M：x2+（ym）2=1上的点到椭圆上的点的最远距离为+1，求m的值；（3）过坐标原点作斜率为k的直线l交椭圆于P、Q两点，点N为椭圆上任意一点（异于点P，Q），设直线NP，NQ的斜率均存在且分别记为kNp，kNQ证明：对任意k，恒有kNPkNQ=19已知O：x2+y2=1，点S（2，m）（m0）是直线l：x=2上一动点，O与x轴的交点分别为A、B连接SA交O于点M，连接SB并延长交O于点N，连接MB并延长交直线

5、l于点T（1）证明：A，N，T三点共线；（2）证明：直线MN必过一定点（其坐标与m无关）2014-2015学年江苏省南京市玄武区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共计42分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1直线的倾斜角是考点： 直线的一般式方程；直线的倾斜角专题： 计算题分析： 利用直线方程求出斜率，然后求出直线的倾斜角解答： 解：因为直线的斜率为：，所以tan=，所以直线的倾斜角为：故答案为：点评： 本题考查直线的一般式方程与直线的倾斜角的求法，考查计算能力2抛物线x2=y的焦点坐标为（0）考点： 抛物线的标准方程专题： 圆锥曲线的定义、性质

6、与方程分析： 根据方程得出焦点在y正半轴上，p=即可求出焦点坐标解答： 解：抛物线x2=y，焦点在y正半轴上，p=焦点坐标为（0，），故答案为；（0，），点评： 本题考查了抛物线的方程与几何性质，求解焦点坐标，属于容易题3圆x2+y22x+2y=0的周长是2考点： 圆的一般方程专题： 计算题；直线与圆分析： 由配方法化为标准式，求出圆的半径，再求周长即可解答： 解：x2+y22x+2y=0，即（x1）2+（y+1）2=2所以圆的半径为，故周长为2故答案为：2点评： 本题考查圆的一般方程和标准方程，属基础知识的考查4已知点（2，1）在直线l上的射影为（1，1），则直线l的方程为x2y+1=0考点

7、： 直线的一般式方程与直线的垂直关系专题： 直线与圆分析： 由已知得直线l的斜率kl=，且过（1，1），由此能求出直线l的方程解答： 解：点（2，1）在直线l上的射影为（1，1），k=2，直线l的斜率kl=，直线l的方程y1=（x1），整理，得x2y+1=0故答案为：x2y+1=0点评： 本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两直线位置关系的合理运用5若“1x2”是“0xm”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是m2考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断专题： 简易逻辑分析： 根据充分必要条件的定义，结合数轴判断解答： 解：“1x2”是“0xm”的充分不必要条件，结合数轴

8、判断根据充分必要条件的定义可得出：m2，故答案为：m2点评： 本题考查了数轴，充分必要条件的定义，属于容易题6若椭圆+=1上一点到左准线的距离为5，则该点到右焦点的距离为6考点： 椭圆的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 现根据椭圆的方程求出离心率，进一步根据椭圆的第一和第二定义求出结果解答： 解：已知椭圆+=1则：解得：e=已知椭圆上一点到左准线的距离为5，则：设点到左焦点的距离为d，点到右焦点的距离为k，利用椭圆的第二定义：解得：d=4进一步利用椭圆的第一定义：d+k=10解得：k=6故答案为：6点评： 本题考查的知识要点：椭圆的离心率的应用，椭圆的第一第二定义的应用属于基础

9、题型7已知实数x，y满足不等式组，则的最小值是考点： 简单线性规划的应用专题： 综合题分析： 先画出满足条件的可行域，再根据表示可行域内任一点与原点连线的斜率，借助图形分析出满足条件的可行域内点的坐标，代入即可得到答案解答： 解：满足不等式组可行域如下图所示：表示可行域内任一点与原点连线的斜率，由图可知当x=，y=时，有最小值故答案为：点评： 本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中根据已知中的约束条件画出满足条件的可行域，进而利用数形结合分析满足条件的点的坐标，是解答本题的关键8若双曲线x2=1（a0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于，则a的值为3考点： 双曲线的简单性质专题： 计算题；圆

10、锥曲线的定义、性质与方程分析： 求出双曲线的一个焦点，求得双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式，得到a的方程，计算即可得到a解答： 解：双曲线x2=1的一个焦点为（，0），一条渐近线方程为y=x，则焦点到渐近线的距离为=，解得，a=3故答案为：3点评： 本题主要考查双曲线的性质：渐近线，考查点到直线的距离的公式的运用，考查运算能力，属于基础题9圆x2+y2=m与圆x2+y26x+8y24=0若相交，则实数m的取值范围为（4，144）考点： 圆与圆的位置关系及其判定专题： 直线与圆分析： 利用圆心距与半径和与差的关系，求出m的范围即可解答： 解：圆x2+y2=m的圆心（0，0），半径为：，

11、圆x2+y26x+8y24=0的圆心（3，4），半径为7，两个圆相交，则：7+，可得，解得m（4，144）故答案为：（4，144）点评： 本题考查两个圆的位置关系的应用，求出圆的圆心与半径，圆心距是解题的关键，注意半径差的表示10若双曲线=1上一点P到其左焦点的距离为5，则点P到右焦点的距离为9考点： 双曲线的简单性质专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 求出双曲线的a，b，c，运用双曲线的定义，求得|PF2|=1或9，讨论P在左支和右支上，求出最小值，即可判断P的位置，进而得到所求距离解答： 解：双曲线=1的a=2，b=2，c=4，设左右焦点为F1，F2则有双曲线的定义，得|PF

12、1|PF2|=2a=4，由于|PF1|=5，则有|PF2|=1或9，若P在右支上，则有|PF2|ca=2，若P在左支上，则|PF2|c+a=6，故|PF2|=1舍去；由于|PF1|=5c+a=6，则有P在左支上，则|PF2|=9故答案为：9点评： 本题考查双曲线的方程和定义，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于基础题和易错题11一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽4m若水面下降2m，则水面宽度为m考点： 抛物线的应用专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 如图所示，建立直角坐标系设抛物线的方程为x2=2py（p0）利用当水面离拱顶2m时，水面宽4m可得B（2，2）代入抛物线方程

13、可得22=2p（2），解得p设D（x，4），代入抛物线方程即可得出解答： 解：如图所示，建立直角坐标系设抛物线的方程为x2=2py（p0）当水面离拱顶2m时，水面宽4mB（2，2）代入抛物线方程可得22=2p（2），解得p=1抛物线的标准方程为：x2=2y设D（x，4），代入抛物线方程可得x2=2（4），解得x=|CD|=4故答案为：4点评： 本题考查了抛物线的标准方程及其应用，考查了数形结合的思想方法，考查了计算能力，属于基础题12若关于x的方程x+b=恰有一个解，则实数b的取值范围为2，0）1考点： 根的存在性及根的个数判断专题： 计算题；函数的性质及应用分析： 方程x+b=解的个数即函数

14、y=x+b与y=的交点的个数，作图求解解答： 解：方程x+b=解的个数即函数y=x+b与y=的交点的个数，作函数y=x+b与y=的图象如下，由图可知，直线在y=x的右侧或直线与半圆相切，故实数b的取值范围为2，0）1故答案为：2，0）1点评： 本题考查了方程的根与函数的图象的关系，属于基础题13已知A、B、C三点在曲线上，其横坐标依次为1，m，4（1m4），当ABC的面积最大时，m等于考点： 点到直线的距离公式专题： 计算题分析： 求出A、B、C三点的坐标，求出AC的方程，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，推出面积的表达式，然后求解面积的最大值时的m值解答： 解：由题意知，直线AC所在方程

15、为x3y+2=0，点B到该直线的距离为，m（1，4），当时，SABC有最大值，此时故答案为：点评： 本题考查点到直线的距离公式的应用，三角形的面积的最值的求法，考查计算能力14已知椭圆=1（ab0）的焦距是2c，若以a，2b，c为三边长必能构成三角形，则该椭圆离心率的取值范围是考点： 椭圆的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 首先利用已知条件建立关系式，通过变换再利用椭圆离心率求出结果解答： 解：已知椭圆=1（ab0）的焦距是2c，则：b2=a2c2若以a，2b，c为三边长必能构成三角形，则：ac2ba+c整理得：则：即：解得：式恒成立式解得：由于椭圆离心率：0e1所以：故答案为

16、：点评： 本题考查的知识要点：椭圆的离心率的应用，三角形的三边关系的应用属于基础题型二、解答题：本大题共5小题，15-16每小题10分，17题12分，18题14分，19题12分，共58分.请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15设命题p：x1，1，x+m0命题q：方程=1表示双曲线（1）写出命题p的否定；（2）若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围考点： 复合命题的真假；命题的否定专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程；简易逻辑分析： （1）特称命题的否定是特称改全称，否定结论；（2）先解p，q为真时m的取值，然后由“p或q”为真，“p且q”为假，所

17、以p，q一真一假，分类讨论求m的范围解答： 解：（1）命题p的否定：x1，1，x+m0；（2）由题意可知，p为真时，mx1，得m1，q为真时，（m4）（m+2）0，解得m4或m2，因为“p或q”为真，“p且q”为假，所以p，q一真一假，当p为真且q为假时，解得1m4；当p为假且q为真时，解得m2；综上，实数m的取值范围是m2或1m4点评： 本题考查命题的真假判断，注意对联接词的逻辑关系的判断16在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，0），点B（0，2），点C（，1）（1）求经过A，B，C三点的圆P的方程；（2）若直线l经过点（1，1）且被圆P截得的弦长为2，求直线l的方程考点： 直线和圆的方

18、程的应用专题： 直线与圆分析： （1）设圆的一般方程，利用待定系数法即可求圆C的方程；（2）根据直线和圆相交的弦长公式，以及结合点到直线的距离公式即可得到结论解答： 解：（1）设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，圆经过三个点A（2，0），点B（0，2），点C（，1），解得D=0，E=0，F=4，即圆P的方程为x2+y2=4（2）当直线斜率k不存在时，直线方程为x=1，代入x2+y2=4得y1=或y2=，故弦长|y1y2|=2，设点C到直线M得y=，满足条件当直线斜率k存在时，设所求的方程为y1=k（x1），即kxyk+1=0，由已知弦心距d=1，解得k=0，即直线方程为y=1，综上

19、所求的直线方程为x=1或y=1点评： 本题主要考查直线和圆的方程的应用，利用待定系数法结合点到直线的距离是解决本题的关键17在平面直角坐标系xoy中，设抛物线C：y2=4x（1）求抛物线C上到焦点距离等于5的点的横坐标；（2）设命题p：过抛物线C上一点M（1，2）作两条不同的直线，分别交抛物线C于点A，B，设直线MA，MB，AB的斜率均存在且分别记为kMA，kMB，kAB若+为定值，则kAB为定值判断命题p的真假，并证明；（3）写出（2）中命题p的逆命题，并判断真假（不要求证明）考点： 直线与圆锥曲线的综合问题专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题分析： （1）设抛物线C上一点的横坐标为x，由题意

20、，根据抛物线定义，得x+1=5，由此能求出抛物线C上到焦点距离等于5的点的横坐标（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），且x1x2，y1y2，则，由此能证明当+为定值时，kAB为定值（3）把命题p的题设和结论互换，能求出逆命题，命题p的逆命题是真命题解答： 解：（1）设抛物线C上一点的横坐标为x，由题意，根据抛物线定义，得x+1=5，解得x=4，抛物线C上到焦点距离等于5的点的横坐标为4（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），且x1x2，y1y2，则，点A，B在抛物线C上，即，代入上式，化简得：=，kAB=，+为定值时，y1+y2为定值，kAB为定值（3）命题p的逆命题：过抛物线C上一

21、点M（1，2）作两条不同的直线，分别交抛物线C于A，B，设直线MA，MB，AB的斜率均存在且分别记为kMA，kMB，kAB，若kAB为定值，则+为定值命题p的逆命题是真命题点评： 本题考查抛物线上点的横坐标的求法，考查直线的斜率为定值的证明，考查命题的逆命题的求法，解题时要注意函数与方程思想的合理运用18在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆的焦点为（，0）（，0），离心率为（1）求椭圆的方程；（2）若圆M：x2+（ym）2=1上的点到椭圆上的点的最远距离为+1，求m的值；（3）过坐标原点作斜率为k的直线l交椭圆于P、Q两点，点N为椭圆上任意一点（异于点P，Q），设直线NP，NQ的斜率均存在且分别

22、记为kNp，kNQ证明：对任意k，恒有kNPkNQ=考点：直线与圆锥曲线的综合问题专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题分析： （1）由题意得，由此能求出椭圆方程（2）原题转化为求MT取最大值实数m的求解，设T（x，y），则MT2=x2+（ym）2=3y22my+m2+4（1y1），由此利用分类讨论思想能求出m的值（3）由已知得kNPkNQ=，由此能证明对任意k，恒有kNPkNQ=解答： （1）解：由题意得，解得a=2，b=1，椭圆方程为=1（2）解：设圆M上任取一点S，椭圆上任取一点T，则STMT+MS=MT+1，故转化为求圆心M到椭圆上点T的距离的最大值，即MT的最大值，设T（x，y），则MT

23、2=x2+（ym）2，又点T在椭圆上，MT2=x2+（ym）2=3y22my+m2+4（1y1），当，即m3，此时y=1，MT2取到最大值为m2+2m+1，（m+1）2=5，解得m=13，+），舍去，当，即m3时，此时y=1，MT2取到最大值为m22m+1，（m1）2=5，解得m=1（，3，舍去，当1，即3m3时，y=，MT2取到最大值为，解得，符合题意，m的值为（3）证明：根据题意知P，Q关于原点对称，kNPkNQ=，又点P，N在椭圆上，两式相减，得，对任意k，恒有kNPkNQ=点评： 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，考查直线的斜率之积为定值的证明，解题时要认真审题，注意

24、函数与方程思想的合理运用19已知O：x2+y2=1，点S（2，m）（m0）是直线l：x=2上一动点，O与x轴的交点分别为A、B连接SA交O于点M，连接SB并延长交O于点N，连接MB并延长交直线l于点T（1）证明：A，N，T三点共线；（2）证明：直线MN必过一定点（其坐标与m无关）考点： 直线和圆的方程的应用专题： 计算题；作图题；证明题；直线与圆分析： （1）如图，S（2，m），A（1，0），B（1，0）；从而表示出直线SA，直线SB的方程，与圆的方程联立求M，N的坐标，再写出直线MB的方程，从而求得点T的坐标，再求AN，AT的斜率，判断斜率相等即可；（2）由题意写出直线MN的方程y+=（x1

25、+）；化简y+=（x1+）；再化简y=（x+）=（x+）=（x）；从而得证解答： 证明：（1）如图，S（2，m），A（1，0），B（1，0）；则直线SA：y=（x+1），与圆的方程x2+y2=1联立消元可得，（9+m2）x2+2m2x+m29=0，解得， x=1或x=1+；故y=（1+1）=；即M（1+，）；直线SB：y=m（x1），与圆的方程x2+y2=1联立消元可得，（1+m2）x22m2x+m21=0，解得，x=1或x=1；故y=m（11）=；即N（1，）；直线MB：y=（x1），代入x=2得，y=，即T（2，）；故kAN=；kAT=；故A，N，T三点共线；（2）直线MN的方程为：y+=（x1+）；即y+=（x1+）；y=（x+）=（x+）=（x）；故直线MN必过定点（，0）点评： 本题考查了直线与圆的位置关系的应用，化简很困难，属于难题