2023届高三数学一轮复习大题专练 09 导数（双变量与极值点偏移问题1）.doc

1、一轮大题专练9导数（双变量与极值点偏移问题1）1已知定义在，上的函数（1）若为定义域上的增函数，求实数的取值范围；（2）若，为的极小值，求证：解：（1）由，得，为，上的增函数，设，为减函数，时为定义域上的增函数，故实数的取值范围是，；（2）证明：，设，为增函数，当时，递减，当，时，递增，为的极小值，设，设，为增函数，为增函数，又，即2已知函数（）求函数在的最大值；（）证明：函数在有两个极值点，并判断与的大小关系（）解：函数，所以，则，所以当时，故，所以函数在上单调递增，又，所以在上有唯一的零点，当时，当时，故在上单调递减，在上单调递增，又，所以在上的最大值为；（）证明：，当时，单调递增，又，所

2、以在有唯一的零点，此时当时，则单调递减，当时，则单调递减，故是极小值点，不妨设；当时，所以，故在上单调递增，故没有极值点；当，由（）知，在上单调递减，在上单调递增，且，故由唯一的零点，则当时，则单调递减，当，时，则单调递增，又，所以在由唯一的零点，此时时，则单调递增，当，时，所以是极大值点，即，且，由于，所以，因为，所以，即3已知函数，（1）求函数的增区间；（2）设，是函数的两个极值点，且，求证：解：（1）由题意得，令，则，当，即时，在上恒成立，即的递增区间是，当，即时，或，即在，递增，综上：时，的递增区间是，时，的递增区间是，；（2），有2个极值点，是方程的两个不相等的正实数根，从而，解得：

3、，由，解得：，且，令，且，则，故当时，故单调递增，当时，单调递增，故，要证，只要证，只要证明，只要证明，令，则，即在，递增，故（1），即，故，4已知函数在处的切线方程为（1）求实数及的值；（2）若有两个极值点，求的取值范围并证明解：（1），切线方程为，又，；（2）由（1）可知，则，当时，在递增，没有极值点，当时，令，其对称轴方程为，若时，此时，在上递减，没有极值点，若时，由，即，则的两根为，不妨设，由，（1），故，的变化如下：，0000递减极小值递增极大值递减综上，的取值范围是，此时，故，由，得，故5已知函数为单调减函数，的导函数的最大值不小于0（1）求的值；（2）若，求证：（1）解：因为为单

4、调减函数，所以恒成立，所以在上恒成立，由于当时，所以，解得，因为，当且仅当时，取得最大值为，由题意可得，解得，综上可得，的值为；（2）证明：由（1）可知，所以，因为，且在上单调递减，可设，令，所以，所以在，上单调递减，所以（1）（1），故，因为，所以，因为为上的单调递减函数，所以，故6已知函数（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）若函数有两个极值点，求证：解：（1）当时，则，所以（1），又（1），所以切线方程为，即（2）证明：由题意得，则，因为函数有两个极值点，所以有两个不相等的实数根，令，则，当时，恒成立，则函数为上的增函数，故在上至多有一个零点，不符合题意；当时，令，得，当，时，故函数在，上单调递减；当，时，故函数在，上单调递增，因为函数有两个不相等的实数根，所以，得，不妨设，则，又，所以，令，则，所以函数在上单调递增，由，可得，即，又，是函数的两个零点，即，所以，因为，所以，又，函数在，上单调递减，所以，即，又，所以，因此