2023年高考数学一轮复习 第六章 数列 第2节 等差数列及其前n项和教案.doc

1、第2节等差数列及其前n项和考试要求1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.1.等差数列的概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：an1and(nN*，d为常数).(2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2Aab.2.等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列an的首项是a1

2、，公差是d，则其通项公式为ana1(n1)d.(2)前n项和公式：Snna1.3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*).(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列.(4)若Sn为等差数列an的前n项和，则数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列.(5)若Sn为等差数列an的前n项和，则数列也为等差数列.1.已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列，且公差为p.2.在等差数列an中，a1

3、0，d0，则Sn存在最大值；若a10，d0，则Sn存在最小值.3.等差数列an的单调性：当d0时，an是递增数列；当d0时，an是递减数列；当d0时，an是常数列.4.数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数).1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的.()(3)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.()(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0且关于n的二次函数.()答案(1)(2)(3)(4)解析(3)若公差d0，则通项公式不是n的一次函数.(4)若公差

4、d0，则前n项和不是n的二次函数.2.(2022福州质检)在等差数列an中，若a1a25，a3a415，则a5a6()A.10 B.20 C.25 D.30答案C解析等差数列an中，每相邻2项的和仍然构成等差数列，设其公差为d，若a1a25，a3a415，则d15510，因此a5a6(a3a4)d151025.3.(2022青岛一模)记Sn为等差数列an的前n项和，若a11，S3，则数列an的通项公式an()A.n B.C.2n1 D.答案B解析设等差数列an的公差为d，则S33a1d33d，解得d，an1(n1).4.(2021杭州二模)已知an是等差数列，满足3(a1a5)2(a3a6a9

5、)18，则该数列的前8项和为()A.36 B.24 C.16 D.12答案D解析由等差数列性质可得a1a52a3，a3a6a93a6，所以32a323a618，即a3a63，所以S812.5.(多选)设an是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S6，S6S7S8，则下列结论正确的是()A.d0B.a70C.S9S5D.S6与S7均为Sn的最大值答案ABD解析S6S5a6S5，则a60，S7S6a7S6，则a70，则da7a60，S8S7a8S7，a80，则a90，又a6a8a5a92a70，S5S9，由a70，a60知S6，S7是Sn中的最大值.从而ABD均正确.6.一物体从1 960 m的高

6、空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每秒比前一秒多降落9.80 m，那么经过_秒落到地面.答案20解析设物体经过t秒降落到地面.物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列.所以4.90tt(t1)9.801 960，即4.90t21 960，解得t20.考点一等差数列的基本运算1.记Sn为等差数列an的前n项和.若3S3S2S4，a12，则a5()A.12 B.10 C.10 D.12答案B解析设等差数列an的公差为d，则3(3a13d)2a1d4a16d，即da1.又a12得d3，a5a14d24(3)10.2.(2021武汉调研)已知等差数列an的前

7、n项和为Sn，若S8a88，则公差d()A. B. C.1 D.2答案D解析S8a88，a1a2a8a8，S77a40，则a40.d2.3.(2020全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和.若a12，a2a62，则S10_.答案25解析设等差数列an的公差为d，则a2a62a16d2(2)6d2.解得d1.所以S1010(2)125.4.(2020新高考全国卷)将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前n项和为_.答案3n22n解析法一(观察归纳法)数列的各项为1，3，5，7，9，11，13，；数列3n2的各项为1，4，7，10，13，.现观察归纳可知，两个数列的公共项为

8、1，7，13，是首项为1，公差为6的等差数列，则an16(n1)6n5.故前n项和为Sn3n22n.法二(引入参变量法)令bn2n1，cm3m2，bncm，则2n13m2，即3m2n1，m必为奇数.令m2t1，则n3t2(t1，2，3，).atb3t2c2t16t5，即an6n5.以下同法一.感悟提升1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.考点二等差数列的判定与证明例1 (2021全

9、国甲卷)已知数列an的各项均为正数，记Sn为an的前n项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立.数列an是等差数列；数列是等差数列；a23a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.解.已知an是等差数列，a23a1.设数列an的公差为d，则a23a1a1d，得d2a1，所以Snna1dn2a1.因为数列an的各项均为正数，所以n，所以(n1)n(常数)，所以数列是等差数列.已知an是等差数列，是等差数列.设数列an的公差为d，则Snna1dn2dn.因为数列是等差数列，所以数列的通项公式是关于n的一次函数，则a10，即d2a1，所以a2a1d3a1.已知数列是等差数列，a

10、23a1，所以S1a1，S2a1a24a1.设数列的公差为d，d0，则d，得a1d2，所以(n1)dnd，所以Snn2d2，所以n2时，anSnSn1n2d2(n1)2d22d2nd2，对n1也适合，所以an2d2nd2，所以an1an2d2(n1)d2(2d2nd2)2d2(常数)，所以数列an是等差数列.感悟提升1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n2的任意自然数，验证anan1为同一常数.即作差法，将关于an1的an代入anan1，再化简得到定值.(2)等差中项法：验证2an1anan2(n3，nN*)都成立.2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论：(1)通项公式：an

11、pnq(p，q为常数)an是等差数列.(2)前n项和公式：SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.训练1 (2021全国乙卷)设Sn为数列an的前n项和，bn为数列Sn的前n项积，已知2.(1)证明：数列bn是等差数列；(2)求an的通项公式.(1)证明因为bn是数列Sn的前n项积，所以n2时，Sn，代入2可得，2，整理可得2bn112bn，即bnbn1(n2).又2，所以b1，故bn是以为首项，为公差的等差数列.(2)解由(1)可知，bn(n1)，则2，所以Sn，当n1时，a1S1，当n2时，anSnSn1.故an考点三等差数列的性质及应用角度1等差数列项的

12、性质例2 (1)设Sn为等差数列an的前n项和，且4a5a6a4，则S9等于()A.72 B.36 C.18 D.9答案B解析a6a42a5，a54，S99a536.(2)在等差数列an中，若a5a64，则log2(2a12a22a10)()A.10 B.20 C.40 D.2log25答案B解析由等差数列的性质知a1a10a2a9a3a8a4a7a5a64，则2a12a22a102a1a2a1025(a5a6)254，所以log2(2a12a22a10)log225420.角度2等差数列前n项和的性质例3 (1)已知等差数列an的前n项和为Sn.若S57，S1021，则S15等于()A.35

13、 B.42 C.49 D.63答案B解析在等差数列an中，S5，S10S5，S15S10成等差数列，即7，14，S1521成等差数列，所以7(S1521)214，解得S1542.(2)(2020全国卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3 699块 B.3 474块C.3 402块 D.3 339块答案C解析设每一层有n环，由题可知从

14、内到外每环之间构成公差d9，a19的等差数列.由等差数列的性质知Sn，S2nSn，S3nS2n成等差数列，且(S3nS2n)(S2nSn)n2d，则9n2729，得n9，则三层共有扇面形石板S3nS2727993 402(块).角度3等差数列前n项和的最值例4 等差数列an中，设Sn为其前n项和，且a10，S3S11，则当n为多少时，Sn最大？解法一设公差为d.由S3S11，可得3a1d11a1d，即da1.从而Snn2n(n7)2a1，因为a10，所以0.故当n7时，Sn最大.法二易知SnAn2Bn是关于n的二次函数，由S3S11，可知SnAn2Bn的图象关于直线n7对称.由解法一可知A0，

15、故当n7时，Sn最大.法三设公差为d.由解法一可知da1.要使Sn最大，则有即解得6.5n7.5，故当n7时，Sn最大.法四设公差为d.由S3S11，可得2a113d0，即(a16d)(a17d)0，故a7a80，又由a10，S3S11可知d0，所以a70，a80，所以当n7时，Sn最大.感悟提升1.项的性质：在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.2.和的性质：在等差数列an中，Sn为其前n项和，则(1)S2nn(a1a2n)n(anan1)；(2)S2n1(2n1)an.(3)依次k项和成等差数列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等差数列.3.求等差数列

16、前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用公差不为零的等差数列的前n项和SnAn2Bn(A，B为常数，A0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.训练2 (1)(多选)(2022淄博调研)已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a2a8a11是一个定值，则下列各数也为定值的是()A.a7 B.a8 C.S13 D.S15答案AC解析由题知a2a8a11a1da17da110d3a118d3(a16d)3a7，a7是定值，S1313a7是定值，故选AC.(2)(2022重庆诊断)已知

17、Sn是等差数列an的前n项和，若a12 020，6，则S2 023等于()A.2 023 B.2 023C.4 046 D.4 046答案C解析为等差数列，设公差为d，则6d6，d1，首项为2 020，2 020(2 0231)12，S2 0232 02324 046，故选C.(3)设等差数列an满足a11，an0(nN*)，其前n项和为Sn，若数列也为等差数列，则的最大值是_.答案121解析设数列an的公差为d，依题意得2，2，把a11代入求得d2，an1(n1)22n1，Snn2n2，121.的最大值是121.1.已知公差不为0的等差数列an中，a2a4a6，a9a，则a10()A. B.

18、5 C.10 D.40答案A解析设公差为d，由已知得由于d0，故a1d，所以a109.2.(多选)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S40，a55，则下列选项正确的是()A.a2a30 B.an2n5C.Snn(n4) D.d2答案ABC解析S40，a1a4a2a30，A正确；a5a14d5，a1a4a1a13d0，联立得an3(n1)22n5，B正确，D错误；Sn3n2n24n，C正确，故选ABC.3.已知数列an满足5an1255an，且a2a4a69，则log(a5a7a9)()A.3 B.3 C. D.答案A解析数列an满足5an1255an，an1an2，即an1an2，数列an是

19、等差数列，公差为2.a2a4a69，3a49，a43.a1323，解得a13.a5a7a93a73(362)27，则log(a5a7a9)log333.故选A.4.(2021深圳一模)在数列an中，a13，amnaman(m，nN*)，若a1a2a3ak135，则k()A.10 B.9 C.8 D.7答案B解析令m1，由amnaman可得an1a1an，所以an1an3，所以an是首项为a13，公差为3的等差数列，an33(n1)3n，所以a1a2a3ak135.整理可得k2k900，解得k9或k10(舍).5.(多选)(2022衡阳联考)设数列an的前n项和为Sn，若为常数，则称数列an为“

20、吉祥数列”，则下列数列bn为“吉祥数列”的是()A.bnn B.bn(1)n(n1)C.bn4n2 D.bn2n答案BC解析若bn是等差数列，则根据等差数列求和公式知需b1bnkn，kR，则bn为“吉祥数列”，检验A，C可知C符合题意；bn是摆动数列，由并项求和法知S2nn，S4n2n，故B符合题意；根据等比数列求和公式知D不符合题意.故选BC.6.设Sn为等差数列an的前n项和，若S61，S124，则S18_.答案9解析在等差数列中，S6，S12S6，S18S12成等差数列，S61，S124，1，3，S184成公差为2的等差数列，即S1845，S189.7.等差数列an与bn的前n项和分别为

21、Sn和Tn，若，则等于_.答案解析.8.(2021长春一模)设Sn为等差数列an的前n项和，a6a71，则S12_，若a70，则使得不等式Sn0成立的最小整数n_.答案613解析根据an为等差数列，且a6a71，得S126(a6a7)6；若a70，则S1313a70，又S120，所以使不等式Sn0成立的最小整数n13.9.已知数列an的前n项和为Sn，满足a1，a22，2(Sn2Sn)4Sn11，则数列an的前16项和S16_.答案84解析将2(Sn2Sn)4Sn11变形为(Sn2Sn1)(Sn1Sn)，即an2an1，又a1，a22，a2a1符合上式，an是首项a1，公差d的等差数列，S16

22、1684.10.已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk110.(1)求a及k的值；(2)设数列bn的通项公式bn，证明：数列bn是等差数列，并求其前n项和Tn.(1)解设该等差数列为an，则a1a，a24，a33a，由已知有a3a8，得a1a2，公差d422，所以Skka1d2k2k2k，由Sk110，得k2k1100，解得k10或k11(舍去)，故a2，k10.(2)证明由(1)得Snn(n1)，则bnn1，故bn1bn(n2)(n1)1，即数列bn是首项为2，公差为1的等差数列，所以Tn.11.已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足a2a465，a1a

23、518.(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在常数k，使得数列为等差数列？若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由.解(1)设公差为d.an为等差数列，a1a5a2a418，又a2a465，a2，a4是方程x218x650的两个根，又公差d0，a2a4，a25，a413.an4n3.(2)由(1)知，Snn42n2n，假设存在常数k，使数列为等差数列.由2，得2，解得k1.n，当n2时，n(n1)，为常数，数列为等差数列.故存在常数k1，使得数列为等差数列.12.(多选)(2021南通海门一中期末)在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中一朵绚丽的奇葩.张丘建算经是我国古代有标志性的内容

24、丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元5世纪.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”.其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”.已知1匹4丈，1丈10尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中第n天所织布的尺数为an，bn2an，对于数列an、bn，下列选项中正确的为()A.b108b5 B.bn是等比数列C.a1b30105 D.答案BD解析由题意可知，数列an为等差数列，设数列an的公差为d，由题意可得a15，3

25、0a1390，解得d，ana1(n1)d.bn2an，2an1an2d(非零常数)，则数列bn是等比数列，B正确；5d53，(2d)525d23，b108b5，A错误；a30a129d51621，a1b305221105，C错误；a4a13d53，a5a14d54，所以，D正确.故选BD.13.(2022衡水模拟)已知在数列an中，a611，且nan(n1)an11，则an_；的最小值为_.答案2n144解析nan(n1)an11，(n1)an1nan21，两式相减得nan2nan1nan20，anan22an1，数列an为等差数列.当n1时，由nan(n1)an11得a11，由a611，得公

26、差d2，an12(n1)2n1，4n42444，当且仅当4n，即n6时等号成立.14.等差数列an中，公差d0，a2a68，a3a57.(1)求an的通项公式；(2)记Tn为数列bn前n项的和，其中bn|an|，nN*，若Tn1 464，求n的最小值.解(1)等差数列an中，公差d0，a2a68，a2a6a3a58，又a3a57，a3，a5是一元二次方程x28x70的两个根，且a3a5，解方程x28x70，得a31，a57，解得a15，d3.an5(n1)(3)3n8.(2)由(1)知an的前n项和Sn5n(3)n2n.bn|an|，b15，b22，b3|1|1，b4|4|4，当n3时，bn|an|3n8.当n3时，T15，T27；当n3时，TnSn2S214.Tn1 464，Tn141 464，即(3n100)(n29)0，解得n，n的最小值为34.