21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教案（人教版九年级数学上）.doc

1、21.2 解一元二次方程21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系一、教学目标【知识与技能】1.掌握一元二次方程根与系数的关系；2.能运用根与系数的关系解决具体问题.【过程与方法】经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程,体验观察发现猜想验证的思维转化过程，培养学生分析问题和解决问题的能力.【情感态度与价值观】通过观察、归纳获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，理解事物间相互联系、相互制约的辩证唯物主义观点，掌握由“特殊一般特殊”的数学思想方法，培养学生勇于探索的精神.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】一元二次方程根与系数的关系及其应用.【教学难点】探索一元二次方

2、程根与系数的关系.五、课前准备课件六、教学过程（一）导入新课1.一元二次方程的求根公式是什么？（出示课件2）学生口答：2.如何用判别式b2-4ac来判断一元二次方程根的情况？学生口答：对一元二次方程：ax2+bx+c=0(a0). b2-4ac0时,方程有两个不相等的实数根.b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.b2-4ac0.方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=-7,x1x2=6.这里a=2,b=-3,c=-2. =b2-4ac=（-3）242(-2)=25 0, 方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么 x1 +x2=,x1x2=-1.出示

3、课件11：不解方程，求方程两根的和与两根的积：x2+3x-1=0； 2x2-4x+1=0.学生自主思考并解答.解：x1+x2=-3,x1x2=-1.原方程可化为：x1+x2=2,x1x2=.出示课件12：例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.学生思考后，共同解答如下：解：设方程的两个根分别是x1,x2，其中x1=2 .所以：x1x2=2x2=即：x2=由于x1+x2=2+=得：k=7.答：方程的另一个根是k=7.出示课件13：已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值.学生自主思考并解答.解：设方程的另一个根为x1.把x=2代入

4、方程，得4-2(k+1)+3k=0.解这方程，得k=-2.由根与系数关系，得x123k,即2x16. x13.答：方程的另一个根是3,k的值是2.出示课件14：例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.师生共同分析：将所求代数式分别化为只含有x1+x2和x1x2的式子后，用根与系数的关系，可求其值.师生共同解答如下：解：根据根与系数的关系可知：出示课件15：设x1, x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:x1+x2= , (2) x1x2= ,(3) ,(4) .学生自主解答后，口答：4；1；12；14.出示课件16：例4 设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k

5、2=0的两个实数根，且x12 +x22 =4，求k的值.教师分析：将x1+x2=2(k -1) , x1x2 =k2，代入x12 +x22=4可求出k值.此时需用=b2-4ac来判断k的取值，这是本例的关键.解：由方程有两个实数根，得=4（k - 1）2-4k2 0 即 -8k + 4 0. 由根与系数的关系得x1+x2=2(k -1) , x1x2 =k2.x12 +x22= (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 =2k2-8k +4.由x12 +x22=4，得 2k2-8k+4= 4, 解得k1=0 ,k2=4 . 经检验，k2=4不合题意，舍去.师生共同总

6、结归纳如下：（出示课件17）教师强调：求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.出示课件18：当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1.学生自主思考并解答.解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1.(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2，由根与系数的关系得x1+x2=，x1x2=.（）2-4=1.解得k1=9,k2=-3.当k=9或-3时，由于0，k的值为9或-3.（三）课堂练习（出示课件19-25）1.一元二次方程x22x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（ ）A2 B1 C2 D0

7、2. 如果-1是方程2x2x+m=0的一个根，则另一个根是_，m =_.3.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2和1，则：p= ,q= .4.已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.5.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4；（1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值.6.设x1,x2是方程3x2+4x3=0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值.(1) (x1+1)(x2+1); (2)7.当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1.8.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+m-2

8、=0（1）若方程有实数根,求实数m的取值范围.（2）若方程两根x1,x2满足x1-x2=1求m的值.参考答案：1.D2.；-33.1；-24.解：将x =1代入方程中：3-19+m=0. 解得m=16,设另一个根为x1,则：1x1=x1=5.解：(1)根据根与系数的关系得(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=解得：k=-7； （2）因为k=-7,所以则：6.解: 根据根与系数的关系得：（1）(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=（2）7.解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1,由根与系数的关系，得 (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1

9、x2=1,0,8.解：(1)方程有实数根，（-2m）2-4m（m-2）8m0m的取值范围为m0.(2)方程有实数根x1,x2，(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1，解得m=8.经检验m=8是原方程的解（四）课堂小结通过这节课的学习你有哪些收获和体会？有哪些地方需要特别注意的?谈谈你的看法.（五）课前预习预习下节课（21.3）第1课时的相关内容。七、课后作业1.教材16页练习2.配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：1.从熟知的解法解一元二次方程的过程中探索根与系数的关系，并发现可用系数表示的求根公式来证明这个关系，再通过问题探讨帮助学生运用这个关系解决问题，注重了知识产生、发展和出现的过程，注重了知识的应用.2.教学过程贯穿以旧引新，从具体到抽象，从特殊到一般，从简单到复杂，从猜想到论证，使学生在体验知识发生、发展和应用的过程中理解和掌握推理的数学思想与化归思想.3.教材把本节作为了解的内容，但本节知识在中考试题填空题、选择题、解答题中均有出现，为了让学生能适应平时的试题，把本节内容进行了一定的延伸，同时也可以激发同学们学习的兴趣.