河南省郑州市第十一中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学试卷 WORD版含解析.doc

1、2020-2021学年河南省郑州十一中高二（下）期末数学试卷一、单项选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1设集合Ay|ylg（x2+1），xR，集合Bx|2xx20，则AB等于（）A（0，2）B（2，+）CRD0，+）2欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理领域，其中欧拉公式的诸多公式中，eixcosx+isinx（e2.71828为自然对数的底数，i为虚数单位）被称为“数学中的天桥”，将复数、指数函数、三角函数联系起来了当x时，可得恒等式（）Aei10Bei0Cei+10Dei+i03执行如图所示的程序框图，则输出的y值为（）ABCD

2、4已知数列an为等比数列，其前n项和为Sn，若a2a62a7，S36，则a6（）A2或32B2或64C2或32D2或645已知如下六个函数：yx，yx2，ylnx，y2x，ysinx，ycosx，从中选出两个函数记为f（x）和g（x），若F（x）f（x）+g（x）的图象如图所示，则F（x）（）Ax2+cosxBx2+sinxC2x+cosxD2x+sinx6七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，清代陆以活在冷庐杂识中写道：“近有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余体物肖形，随手变幻盖游戏之具，足以排闷破寂故世俗皆喜为之”七巧板是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的

3、如图是一个七巧板拼成的正方形ABCD，E是AC中点，若在正方形ABCD中随机取一点，则此点落在阴影部分的概率为（）ABCD7已知正方体ABCDA1B1C1D1的体积为16，点P在面A1B1C1D1上，且A1，C到P的距离分别为2，2，则直线CP与平面BDD1B1所成角的正弦值为（）ABCD8若数列Fn满足F11，F21，FnFn1+Fn2（n3），则Fn称为斐波那契数列，它是由中世纪意大利数学家斐波那契最先发现它有很多美妙的特征，如当n2时，前n项之和等于第n+2项减去第2项；随着n的增大，相邻两项之比越来越接近0.618若第30项是832040，请估计这个数列的前30项之和最接近（）（备注：

4、0.61820.38，1.61822.61）A31万B51万C217万D317万9我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，E为BF的中点，则（）ABCD10设F1，F2为椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，F1，F2分别为左、右焦点，C1与C2在第一象限的交点为M若MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且双曲线C2的离心率e2，则椭圆

5、C1离心率的取值范围是（）A，B0，C，D，111正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，AB，A1D1的中点分别是P，Q，直线PQ与正方体的外接球O相交于M，N两点，点G是球O上的动点，则GMN面积的最大值为（）ABCD12已知函数f（x）exaln（axa）+a（a0），若关于x的不等式f（x）0恒成立，则实数a的取值范围为（）A（0，e2B（0，e2）C1，e2D（1，e2）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13若（a+x）（1+x）5a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，在展开式中x的偶数次幂项的系数之和为8，则a 14已知曲线yex+m+n的切

6、线为yx1，则一组满足条件的m，n的取值为 15伟大出自平凡，英雄来自人民在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学生会6名男生和8名女生骨干成员中选出2人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用A表示事件“抽到的2名队长性别相同”，B表示事件“抽到的2名队长都是男生”，则P（B|A） 16已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，斜率大于0的直线l经过点F2与C的右支交于A，B两点，若AF1F2与BF1F2的内切圆面积之比为9，则直线l的斜率为 三、解答题：本题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知数列an的前n项和满足2Sn3ana1，且a2+2是a1，a3的等差中项，

7、bn是等差数列，b2a2，b8a3（1）求数列an，bn的通项公式；（2）cnanbn，求数列cn的前n项和Tn18如图（1），平面四边形ABDC中，ABCD90，ABBC2，CD1，将ABC沿BC边折起如图（2），使_，点M，N分别为AC，AD中点在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题ADAC为四面体ABDC外接球的直径平面ABC平面BCD（1）判断直线MN与平面ABD的位置关系，并说明理由；（2）求二面角AMNB的正弦值19已知某高校共有10000名学生，其图书馆阅览室共有994个座位，假设学生是否去自习是相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均为0.1（1）将

8、每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为X，求X的期望和方差；（2）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布B（n，p），那么当n比较大时，可视为X服从正态分布N（，o2）任意正态分布都可变换为标准正态分布（0且1的正态分布），如果随机变量YN（，o2），那么令Z，则可以证明ZN（0，1）当ZN（0，1）时，对于任意实数a，记（a）P（Za）已知如表为标准正态分布表（节选），该表用于查询标准正态分布对应的概率值例如当a0.16时，由于0.160.1+0.06，则先在表的最左列找到数字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到数字0.06（位于第八列），则表中位于第三行第

9、八列的数字0.5636便是（0.16）的值（）求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率；（）若要使在晚自习时间阅览室座位够用的概率高于0.7，则至少需要添加多少个座位？a0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.00.5000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.53590.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.57530.20.57930.58340.58710.59100.59480.59870.60260.60640

10、.61030.61410.30.61790.62170.62550.62930.63310.63680.64040.64430.64800.65170.40.65540.65910.6280.66640.67000.67360.67720.68080.68440.68790.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.71570.71900.722420已知N为圆C1：（x+2）2+y224上一动点圆心C1关于y轴的对称点为C2点M，P分别是线段C1N，C2N上的点，且0，2（1）求点M的轨迹方程；（2）直线l：ykx+m与点M的轨迹只有一个公共点

11、P且点P在第二象限，过坐标原点O且与l垂直的直线l与圆x2+y28相交于A，B两点，求PAB面积的取值范围21已知函数f（x）的导函数为f（x），且f（x）f（e）+e1lnxx+ef（e）+e，其中e为自然对数的底数（1）求函数f（x）的最大值；（2）证明：xf（x）ex2x2+x1选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E的参数方程为（a为参数），直线l的参数方程为（t为参数，0）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）分别写出曲线E和直线l的极坐标方程；（2）直线l与曲

12、线E交于M，N两点，若，求直线l的斜率选修4-5：不等式选讲23已知实数a，b，c，满足a+b+c1（1）若a，bR+，c0，求证：（a+）2+（b+）2；（2）设abc，a2+b2+c21，求证：a+b1参考答案一、单项选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1设集合Ay|ylg（x2+1），xR，集合Bx|2xx20，则AB等于（）A（0，2）B（2，+）CRD0，+）解：Ay|y0，Bx|0x2，AB0，+）故选：D2欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理领域，其中欧拉公式的诸多公式中，eixcosx+isinx（e2.71828为自

13、然对数的底数，i为虚数单位）被称为“数学中的天桥”，将复数、指数函数、三角函数联系起来了当x时，可得恒等式（）Aei10Bei0Cei+10Dei+i0解：根据欧拉公式eixcosx+isinx，将x代入可得eicos+isin1，所以ei+10故选：C3执行如图所示的程序框图，则输出的y值为（）ABCD解：x1，y1；执行如图所示的程序框图否，y，x2；否，y，x3；否，y，x4；否，y，x5；否，y，x2020；否，y，x2021；否，y，x2022；是输出y，即输出y故选：D4已知数列an为等比数列，其前n项和为Sn，若a2a62a7，S36，则a6（）A2或32B2或64C2或32D2

14、或64解：由an是等比数列，得a2a6a1a72a7，解得a12，设数列an的公比为q，则S322q2q26，解得q2或q1，当q2时，a6（2）632；当q1时，a62故选：B5已知如下六个函数：yx，yx2，ylnx，y2x，ysinx，ycosx，从中选出两个函数记为f（x）和g（x），若F（x）f（x）+g（x）的图象如图所示，则F（x）（）Ax2+cosxBx2+sinxC2x+cosxD2x+sinx解：由图象可知，函数F（x）过定点（0，1），当x0时，F（x）1，为增函数，当x0时，F（x）0或，F（x）0交替出现，因为y2x的图象经过点（0，1），且当x0时，y1，当x0时，

15、0y1，若为ycosx，当x0时，y1，2x+cosx不满足过点（0，1），所以只有当F（x）2x+sinx才满足条件，故选：D6七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，清代陆以活在冷庐杂识中写道：“近有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余体物肖形，随手变幻盖游戏之具，足以排闷破寂故世俗皆喜为之”七巧板是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的如图是一个七巧板拼成的正方形ABCD，E是AC中点，若在正方形ABCD中随机取一点，则此点落在阴影部分的概率为（）ABCD解：如图，设正方形EFGH的边长为1，则等腰直角EFM的直角边长为1，斜边MF，等腰直角GHC的直角边长为1

16、，等腰直角EBC的直角边长为2，BC2，正方形的边长为2，AC4，AM1，S阴影SEBC+S四边形AMFN22+1sin23，S正方形8，此点落在阴影部分的概率为故选：C7已知正方体ABCDA1B1C1D1的体积为16，点P在面A1B1C1D1上，且A1，C到P的距离分别为2，2，则直线CP与平面BDD1B1所成角的正弦值为（）ABCD解：设正方体的棱长为a，则a316，故a2，即AB2，A1C1a4，连接C1P，C1P2，A1P2，则点P在A1C1上且为中点，连接AC与BD交于O，连接OP，可知AC平面BDD1B1，则CPO为直线CP与平面BDD1B1所成角，在直角三角形CPO中，sinCP

17、O故选：B8若数列Fn满足F11，F21，FnFn1+Fn2（n3），则Fn称为斐波那契数列，它是由中世纪意大利数学家斐波那契最先发现它有很多美妙的特征，如当n2时，前n项之和等于第n+2项减去第2项；随着n的增大，相邻两项之比越来越接近0.618若第30项是832040，请估计这个数列的前30项之和最接近（）（备注：0.61820.38，1.61822.61）A31万B51万C217万D317万解：根据题意得，F30832040，假设F30的前n项和为Sn，则S28F30F2832039，又因为随着n的增大，相邻两项之比越来越接近0.618，所以F298320400.618514200，故S

18、30S28+F29+F302178279，故选：C9我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，E为BF的中点，则（）ABCD解：如图所示，建立直角坐标系不妨设AB1，BEx，则AE2xx2+4x21，解得x设BAE，则sin，cosxEcos，yEsin设m+n，则（，）m（1，0）+n（0，1）m，n+，另解：过E分别作EMAB，ENA

19、D，垂足分别为M，N通过三角形相似及其已知可得：AMAB，ANAD即可得出结论故选：A10设F1，F2为椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，F1，F2分别为左、右焦点，C1与C2在第一象限的交点为M若MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且双曲线C2的离心率e2，则椭圆C1离心率的取值范围是（）A，B0，C，D，1解：设椭圆的方程为+1（ab0），双曲线的方程为1（m0，n0），椭圆和双曲线的半焦距为c，设|MF1|s，|MF2|t，由题意可得t|F1F2|2c，由椭圆的定义，可得s+t2a，由双曲线的定义，可得st2m，解得tam，设椭圆的离心率为e，由e，e，所以am2c，即有2，由e2

20、，可得e，故选：C11正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，AB，A1D1的中点分别是P，Q，直线PQ与正方体的外接球O相交于M，N两点，点G是球O上的动点，则GMN面积的最大值为（）ABCD解：如图，设正方体外接球球O的半径为r，过球心O作OHPQ，垂足为H，知H为PQ的中点因为正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，所以，所以，所以因为点G是球O上的动点，所以点G到MN的最大距离为，故GMN面积的最大值为故选：C12已知函数f（x）exaln（axa）+a（a0），若关于x的不等式f（x）0恒成立，则实数a的取值范围为（）A（0，e2B（0，e2）C1，e2D（1，e2）解：f（x）

21、exaln（axa）+a0（a0）恒成立，exlna+xlnaln（x1）+x1，exlna+xlnaeln（x1）+ln（x1）令g（x）ex+x，易得g（x）在（1，+）上单调递增，xlnaln（x1），lnaln（x1）xln（x1）xx2x2，lna2，0ae2，实数a的取值范围为（0，e2）故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13若（a+x）（1+x）5a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，在展开式中x的偶数次幂项的系数之和为8，则a解：设（a+x）（1+x）5a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，令x1，则a0+

22、a1+a2+a3+a4+a5+a632（a+1），令x1，则a0a1+a2a3+a4a5+a60，+得，2（a0+a2+a4+a6）32（a+1），展开式中x的偶数次幂项的系数之和为8，2832（a+1），即a+1，解得a故答案为：14已知曲线yex+m+n的切线为yx1，则一组满足条件的m，n的取值为m0，n2解：yex+m+n的导数为yex+m，设切点为（x0，y0），可得切线的斜率为ex0+m，则ex0+m1，y0x01ex0+m+n，化为x0m2+n，即有m+n2，可取m0，n2故答案为：m0，n215伟大出自平凡，英雄来自人民在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学生会6名男生和8名

23、女生骨干成员中选出2人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用A表示事件“抽到的2名队长性别相同”，B表示事件“抽到的2名队长都是男生”，则P（B|A）解：设事件A为“抽到的2名队长性别相同”，事件B为“抽到的2名队长都是男生”，由已知得，P（AB），则P（B|A）故答案为：16已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，斜率大于0的直线l经过点F2与C的右支交于A，B两点，若AF1F2与BF1F2的内切圆面积之比为9，则直线l的斜率为 解：设AF1F2与BF1F2的内切圆圆心分别为G，H，连接HG，HF2，GF2，AF1F2的内切圆与三边分别切于点D，E，F，如图，则|AF1|AF2|AD|+|D

24、F1|（|AE|+|EF2|）|DF1|EF2|FF1|FF2|，所以2ac+xG（cxG），即xGa，同理xHa，所以HGF1F2设直线AB的倾斜角为，则（0，），在RtF2FG中中，|FG|FF2|tan（ca）cot，在RtF2FH中，|FH|FF2|tan（ca）tan，由题得|FG|3|FH|，所以（ca）tan（）3（ca）tan，解得tan，所以tan故答案为：三、解答题：本题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知数列an的前n项和满足2Sn3ana1，且a2+2是a1，a3的等差中项，bn是等差数列，b2a2，b8a3（1）求数列an，bn的通项公式；

25、（2）cnanbn，求数列cn的前n项和Tn解：（1）由题意知，当n2时，2Sn13an1a1，又因为2Sn3ana1，所以anSnSn13an1，故，所以a23a1，由于a2+2是a1，a8的等差中项，所以2（a2+2）a1+a8，整理得：2（3a1+2）a1+a8，解得a11所以数列an是以1为首项，3为公比的等比数列，故设数列bn是等差数列，公差为d，则b1+d3，b1+7d9，解得：d1，b12，所以bn2+（n1）n+1（2）由（1）得，所以，得：，整理得：18如图（1），平面四边形ABDC中，ABCD90，ABBC2，CD1，将ABC沿BC边折起如图（2），使_，点M，N分别为AC

26、，AD中点在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题ADAC为四面体ABDC外接球的直径平面ABC平面BCD（1）判断直线MN与平面ABD的位置关系，并说明理由；（2）求二面角AMNB的正弦值解：（1）选，AD，在RtBCD中，BC2，CD1，则BD，又AB2，AB2+BD2AD2，则ABBD，又ABBC，BCBDB，AB平面CBD，ABCD，又CDBD，CD平面ABD，而M、N分别为AC、AD的中点，MNCD，MN平面ABD；选，AC为四面体ABDC外接球的直径，则ADC90，CDAD，又CDBD，ADBDD，CD平面ABD，而M、N分别为AC、AD的中点，MNCD，MN平面ABD；选，

27、平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，又ABBC，AB平面CBD，则ABCD，又CDBD，ABBDB，CD平面ABD，M、N分别为AC、AD的中点，MNCD，MN平面ABD；（2）由（1）知，MN平面ABD，则MNAN，MNBN，ANB为二面角AMNB的平面角，ABD为直角三角形，且AD，BD，cosDAB，在ABN中，AN，BN，cosANB故二面角AMNB的正弦值为19已知某高校共有10000名学生，其图书馆阅览室共有994个座位，假设学生是否去自习是相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均为0.1（1）将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为X，求X的期

28、望和方差；（2）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布B（n，p），那么当n比较大时，可视为X服从正态分布N（，o2）任意正态分布都可变换为标准正态分布（0且1的正态分布），如果随机变量YN（，o2），那么令Z，则可以证明ZN（0，1）当ZN（0，1）时，对于任意实数a，记（a）P（Za）已知如表为标准正态分布表（节选），该表用于查询标准正态分布对应的概率值例如当a0.16时，由于0.160.1+0.06，则先在表的最左列找到数字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到数字0.06（位于第八列），则表中位于第三行第八列的数字0.5636便是（0.16）的值（）求在晚自

29、习时间阅览室座位不够用的概率；（）若要使在晚自习时间阅览室座位够用的概率高于0.7，则至少需要添加多少个座位？a0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.00.5000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.53590.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.57530.20.57930.58340.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.61410.30.61790.62170

30、.62550.62930.63310.63680.64040.64430.64800.65170.40.65540.65910.6280.66640.67000.67360.67720.68080.68440.68790.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.71570.71900.7224解：（1）由题意可得，随机变量X服从二项分布B（n，p），则E（X）np100000.11000，D（X）np（1p）100000.10.9900；（2）（i）由于（1）中二项分布的n值较大，故可以认为随机变量X服从正态分布，由（1）可得，1000，30，

31、由题意，可得XN（1000，900），则N（0，1），则P（X994）P（0.2）（0.2），由标准正态分布性质可得，（0.2）1（0.2），故P（X994）1（0.2），则P（X994）1P（X994）（0.2）0.5793，故阅览室晚上座位不够用的概率为0.5793；（ii）查表可得，（0.53）0.7019，则P（0.53）0.7019，即P（X1015.9）0.7019，又P（X1015）P（0.5）（0.5）0.69150.7，故座位数至少要1016个，由于101699422，所以阅览室至少还需要增加22个座位20已知N为圆C1：（x+2）2+y224上一动点圆心C1关于y轴的对称点

32、为C2点M，P分别是线段C1N，C2N上的点，且0，2（1）求点M的轨迹方程；（2）直线l：ykx+m与点M的轨迹只有一个公共点P且点P在第二象限，过坐标原点O且与l垂直的直线l与圆x2+y28相交于A，B两点，求PAB面积的取值范围解：（1）C1（2，0），C2（2，0），如图，由0，2，可知MP为C2N的垂直平分线，则，M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且a，c2，则b2a2c22，M的轨迹方程是；（2）设P的坐标为（x0，y0），则（x00），由，y，则，过坐标原点O且与l垂直的直线l的方程为，即点（x0，）到直线的距离d，令y，再令（0t6），则y当且仅当9t，即t9时等号成立PAB

33、面积的取值范围是（0，21已知函数f（x）的导函数为f（x），且f（x）f（e）+e1lnxx+ef（e）+e，其中e为自然对数的底数（1）求函数f（x）的最大值；（2）证明：xf（x）ex2x2+x1解：（1）因为f（x）f（e）+e1lnxx+ef（e）+e，所以f（x）1，解得，则f（x）lnxx+1，所以f（x），令f（x）0，得0x1；令f（x）0，得x1所以当x1时，f（x）maxf（1）0（2）证明：由（1）得f（x）的最大值为0，所以lnxx+10，即lnxx1，从而xlnxx（x1），要证xlnxx2ex2x2+x1，即xlnxexx21，故只需证exx21x（x1），即证e

34、x2x2+x10（x0）成立令h（x）ex2x2+x1（x0），则h（x）ex4x+1，令F（x）h（x），则F（x）ex4，令F（x）0，得x2ln2，因为F（x）单调递增，所以当x0，2ln2时，F（x）0，F（x）单调递减，即h（x）单调递减当x（2ln2，+）时，F（x）0，F（x）单调递增，即h（x）单调递增，因为h（2ln2）58ln20，h（0）20，h（2）e28+10，由零点存在定理可知，x10，2ln2），x2（2ln2，2），使得h（x1）h（x2）0，故当0xx1或xx2时，h（x）0，h（x）单调递增；当x1xx2时，h（x）0，h（x）单调递减，所以h（x）的最小值

35、是h（0）0或h（x2）由h（x2）0，得4x21，h（x2）2+x212+5x22（x22）（2x21），因为x2（2ln2，2），所以h（x2）0，故当x0时，h（x）0，所以原不等式成立选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E的参数方程为（a为参数），直线l的参数方程为（t为参数，0）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）分别写出曲线E和直线l的极坐标方程；（2）直线l与曲线E交于M，N两点，若，求直线l的斜率解：（1）曲线E的参数方程为（a为参数），转换为直角坐标

36、方程为x2+（y4）210，根据，转换为极坐标方程为28sin+60，直线l的参数方程为（t为参数，0），转换为极坐标方程为；（2）将直线极坐标方程为代入28sin+60，得到28sin+60，所以1+28sin，126，由于，故，即231，所以，所以，所以直线的斜率k1选修4-5：不等式选讲23已知实数a，b，c，满足a+b+c1（1）若a，bR+，c0，求证：（a+）2+（b+）2；（2）设abc，a2+b2+c21，求证：a+b1【解答】证明：（1）c0时，a+b1，（a+）2+（b+）2，a，bR+，a+b1，从而：（a+）2+（b+）2当且仅当，即ab时取等号；（2）假设a+b1，则由a+b+c1，知c0，故abc0，又由（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+abc+2ac1，得ab+bc+ac0，但由abc0，知ab+bc+ac0，矛盾，故假设a+b1不成立，则a+b1