《解析版》河北省唐山市2013届高三上学期期末考试数学理试题.doc

1、高考资源网（） 您身边的高考专家河北省唐山市2013届高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求1（5分）复数=（）ABCiDi考点：复数代数形式的乘除运算3481324专题：计算题分析：把要求的式子的分子和分母同时乘以分母的共轭复数，化简可得结果解答：解：复数=i，故选C点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题2（5分）下列函数中，满足f（x2）=f（x）2的是（）Af（x）=lnxBf（x）=|x+1|Cf（x）=x3Df（x）=e

2、x考点：函数解析式的求解及常用方法3481324专题：函数的性质及应用分析：利用指数的运算性质及对数的运算性质，分别求出f（x2）与f（x）2，比照后，可得答案解答：解：若f（x）=lnx，则f（x2）=lnx2=2lnx，f（x）2=（lnx）2，不满足f（x2）=f（x）2，若f（x）=|x+1|，则f（x2）=|x2+1|，f（x）2=|x+1|2=x2+2x+1，不满足f（x2）=f（x）2，若f（x）=x3，则f（x2）=（x2）3=x6，f（x）2=（x3）2=x6，满足f（x2）=f（x）2，若f（x）=ex，则f（x2）=，f（x）2=（ex）2=e2x，不满足f（x2）=f（

3、x）2，故选C点评：本题考查的知识点函数解析式的求解，熟练掌握指数的运算性质及对数的运算性质，分别求出f（x2）与f（x）2，是解答的关键3（5分）执行如图中的程序框图，输出的结果为（）A15B16C64D65考点：程序框图3481324分析：n=1，a=1，满足条件n4，执行循环体，依此类推，当n=5，不满足条件n4，退出循环体，从而输出此时的a即可解答：解：n=1，a=1，满足条件n4，执行循环体；a=11+1=2，n=1+1=2，满足条件n4，执行循环体；a=22+1=5，n=2+1=3，满足条件n4，执行循环体；a=35+1=16，n=3+1=4，满足条件n4，执行循环体；a=416+

4、1=65，n=4+1=5，不满足条件n4，退出循环体，输出a为：65故选D点评：本题主要考查了直到型循环结构，根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模4（5分）椭圆的左焦点为F，右顶点为A，以FA为直径的圆经过椭圆的上顶点，则椭圆的离心率为（）ABCD考点：椭圆的简单性质3481324专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出圆的圆心与椭圆的上顶点的距离等于圆的半径，然后求出椭圆的离心率即可解答：解：由题意可知圆的圆心坐标为（，0），椭

5、圆的上顶点（0，b），所以（）2+b2=（）2，即b2=ac，又b2=a2c2，所以a2c2ac=0，即e2+e1=0，解得e=，故选B点评：本题考查椭圆的基本性质的应用，椭圆的离心率的求法，圆与椭圆的位置关系，考查计算能力5（5分）设x，y满足的最大值为（）A3B5CD考点：简单线性规划3481324专题：不等式的解法及应用分析：画出满足条件的可行域，求出各角点的坐标，分别代入目标函数的解析式，求出目标函数的值，比较后，可得目标函数的最大值解答：解：满足约束条件的可行域如下图所示：z=2x+y故zA=3，zB=5，zA=，故z=2x+y的最大值为故选D点评：本题考查的知识点是简单线性规划，线

6、性规划是高考的必考内容，“角点法”是解答此类问题最常用的方法，一定要熟练掌握6（5分）（2013烟台一模）一个三棱锥的三视图如图，则该三棱锥的体积为（）ABCD考点：由三视图求面积、体积3481324专题：计算题分析：几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积解答：解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；两两垂直的三条棱长分别为：1，2，1，所以棱锥的体积为：=故选A点评：本题考查三视图，空间想象能力，计算能力，是基础题7（5分）等比数列an中，a1+a3=17，a2+a4=68，则a2a3=（

7、）A32B256C128D64考点：等比数列的通项公式3481324专题：等差数列与等比数列分析：两式相除可得公比，代入已知可得首项a1，进而可得a2a3，计算可得答案解答：解：a1+a3=17，a2+a4=68，数列的公比q=4，a1+a3=a1（1+42）=17，解得a1=1，故a2a3=442=64故选D点评：本题考查等比数列的通项公式，属基础题8（5分）已知函数f（x）=x2+mx+1，若命题“x00，f（x0）0”为真，则m的取值范围是（）A（，2B2，+）C（，2）D（2，+）考点：特称命题；命题的否定3481324专题：不等式的解法及应用分析：根据“命题“x00，f（x0）0”为

8、真”，不等式对应的是二次函数，利用二次的图象与性质加以解决即可解答：解：因为函数f（x）=x2+mx+1的图象过点（0，1），若命题“x00，f（x0）0”为真，则函数f（x）=x2+mx+1的图象的对称轴必在y轴的右侧，且与x轴有两个交点，=m240，且0，即m2，则m的取值范围是：（，2）故选C点评：本题考查特称命题、二次不等式恒成立，解决此类问题要结合二次函数的图象处理9（5分）（2013金华模拟）ABC中，点P满足，则ABC一定是（）A直角三角形B等腰三角形C等边三角形D钝角三角形考点：三角形的形状判断3481324分析：设D是BC中点，由可得点P在三角形ABC的中线AD所在直线上再由

9、，可得，从而得到三角形ABC的边BC上的中线与高线重合，可得三角形ABC是等腰三角形解答：解：，设D是BC中点，则 ，故点P在三角形ABC的中线AD所在直线上 ，=0，即 ，即即 APBC，故三角形ABC的边BC上的中线与高线重合，所以，三角形ABC是等腰三角形，其中AB=AC，故选B点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，两个向量垂直的条件，等腰三角形的判定，属于中档题10（5分）函数的一段图象是（）ABCD考点：函数的图象3481324专题：函数的性质及应用分析：令函数的函数值为0，易得函数有唯一零点在区间（1，0）上，即函数图象与x轴有且只有一个交点，且必在区间（1，0），进而得到答案

10、解答：解：令函数=0，则ex+x=0令f（x）=ex+x是一个增函数又f（1）=10，f（0）=10函数有唯一零点在区间（1，0）上故函数图象与x轴有且只有一个交点，且必在区间（1，0）又当x0时，函数0故选B点评：本题考查的知识点是函数的图象，其中分析函数零点的位置，是解答的关键11（5分）已如点M（1，0）及双曲线的右支上两动点A，B，当AMB最大时，它的余弦值为（）ABCD考点：双曲线的简单性质；余弦定理3481324专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据题意，当直线MA、MB分别与双曲线相切于点A、B时，可得AMB取得最大值因此设直线AM方程为y=k（x1），与双曲线联解并

11、利用根的判别式，解出k=设直线AM倾斜角为，得AMB=2且tan=，最后利用二倍角的三角函数公式，即可算出AMB达到最大值时AMB的余弦值解答：解：根据题意，当直线MA与双曲线相切于点A，直线MB与双曲线相切于点B时，AMB取得最大值设直线AM方程为y=k（x1），与双曲线消去y，得（k2）x2+2k2xk21=0直线MA与双曲线相切于点A，（2k2）24（k2）（k21）=0，解之得k=（舍负）因此，直线AM方程为y=（x1），同理直线BM方程为y=（x1），设直线AM倾斜角为，得tan=，且AMB=2cos2=，即为AMB最大时的余弦值故选：D点评：本题给出双曲线方程和点M（1，0），求双

12、曲线右支上两点A、B对M的最大张角的余弦之值，着重考查了双曲线的简单几何性质和直线与双曲线的位置关系等知识，属于中档题12（5分）四面体ABCD的四个顶点在同一球面上，AB=BC=CD=DA=3，AC=，BD=，则该球的表面积为（）A14B15C16D18考点：球的体积和表面积3481324专题：空间位置关系与距离分析：取BD中点F，AC中点E，由等腰三角形三线合一，及线面垂直的判定定理，可得BD面AFC，及AC面BED由韦达定理可得BE=DE=，EF=，结合EF=+，可得球的半径R，进而得到球的表面积解答：解：如左图，取BD中点F，AC中点E由AB=BC=CD=DA=3，可得CFBD，AFB

13、D，又CFAF=F，CF，AF平面AFC，故BD面AFC同理AC面BED故球心O必位于两垂直平面面AFC和面BED的交线EF上又AC=，BD=故BE=DE=，EF=设外接球半径为R，如右图（AEO与BFO不在同一平面）利用EF=+解得R=故该球的表面积S=4R2=14故选A点评：本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出球心O必位于两垂直平面面AFC和面BED的交线EF上，是解答的关键二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上13（5分）3位数学教师和3位语文教师分配到两所不同的学校任教，每校3位，且每所学校既有数学教师，也有语文教师，则不同的分配方案

14、共有18种考点：排列、组合及简单计数问题；计数原理的应用3481324分析：直接利用分类计数原理，然后按照分步计数原理，实现分配方案即可解答：解：因为3位数学教师和3位语文教师分配到两所不同的学校任教，每校3位，且每所学校既有数学教师，也有语文教师，所以分配方案有第一所学校2位数学教师和1位语文教师，余者去另一所学校，=9或者1位数学教师和2位语文教师，余者去另一所学校=9所以满足题意的方案共有：18故答案为：18点评：本题考查排列组合与简单计数原理的应用，注意分类与分步的区别与联系，考查分析问题解决问题的能力14（5分）已知=考点：二倍角的余弦；两角和与差的正切函数3481324专题：三角函

15、数的求值分析：由条件利用两角和的正切公式求得 tan=，利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系化简要求的式子为，运算求得结果解答：解：=，tan=，cos2=，故答案为 点评：本题主要考查两角和的正切公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题15（5分）曲线所围成的封闭图形的面积为考点：定积分3481324专题：计算题分析：联立方程，先求出其交点坐标，再利用微积分基本定理定理即可得出解答：解：联立方程可得B（4，2），A（2，0）由积分的几何意义可得S=故答案为：点评：本题主要考查了积分基本定理及积分的几何意义的应用，熟练掌握微积分基本定理定理是解题的关键16（5分）数列的前8

16、0项的和等于70考点：数列递推式；数列的求和3481324专题：等差数列与等比数列分析：根据数列的函数特性可知，对于函数y=f（x），由，分析出函数的周期，由此推出数列的项以4为周期周期出现，求出前4项的和，则数列的前80项的和可求解答：解：对于函数y=f（x），由，则，f（x）是周期为4的周期函数，由，则数列an的项以4为周期周期出现，由a1=2，则，S80=20（a1+a2+a3+a4）=故答案为70点评：本题考查了数列的递推式，考查了数列的函数特性，考查了数列的和，解答此题的关键是分析出数列的项以4为周期周期出现，此题是中档题三、解答题：本大题共70分，其中（17）一（21）题为必考题，

17、（22），（23），（24）题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（I）求角C的大小；（II）求的最大值考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数3481324专题：解三角形分析：（）化简已知条件可得sin（A+）=sinB，再由大边对大角可得A+B=，从而求得 C的值（）由正弦定理及（）得=2sin（A+），由此可得 的最大值解答：解：（）sinA+cosA=2sinB，即 2sin（A+）=2sinB，则 sin（A+）=sinB（3分）因为0A，B，又ab，进而AB，所以A+=B，故A+B=，故 C=（6分）（）由正弦

18、定理及（）得=sinA+sin（A+）=sinA+cosA=2sin（A+）（10分）故当A=时，取最大值2（12分）点评：本题主要考查两角和的正弦公式，正弦定理，正弦函数的定义域和值域，属于中档题18（12分）从某节能灯生产线上随机抽取100件产品进行寿命试验，按连续使用时间（单位：天）共分5组，得到频率分布直方图如图（I）以分组的中点数据作为平均数据，用样本估计该生产线所生产的节能灯的预期连续使用寿命；（II）将以上统诗结果的频率视为概率，从该生产线所生产的产品中随机抽取3件，用X表示连续使用寿命高于350天的产品件数，求X的分布列和期望考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其

19、分布列3481324专题：概率与统计分析：（I）根据题设条件，利用各区间的中点值，计算从某节能灯生产线上随机抽取100件产品的平均数，再用样本估计该生产线所生产的节能灯的预期连续使用寿命；（II）依题意，XB（3，），X的所有可能取值为0，1，2，3，然后利用组合数分别求出它们的概率，求出X的分布列和期望即可解答：解：（）样本数据的平均数为：1750.05+2250.15+2750.55+3250.15+3750.1=280因此，该生产线所生产的节能灯的预期连续使用寿命为280天（5分）（）依题意，XB（3，）X的可能值为0，1，2，3P（X=0）=（）3=，P（X=1）=C（）2=，P（X=

20、2）=C（）2=，P（X=3）=（）3=（9分）X的分布列为：X0123P（10分）数学期望E（X）=3=（件）（12分）点评：本题考查离散型随机变量的数学期望和直方图，解题时要认真审题，注意观察，学会利用图表获取信息，易错点是不会读图19（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，CBB1=60，ABB1C（I）求证：平面AA1B1B平面BB1C1C；（II）求二面角BACA1的余弦值考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定3481324专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）利用线面、面面垂直的判定定理即可证明；（）通过建立空间直角

21、坐标系，利用两平面的法向量的夹角即可得到二面角解答：证明：（）由侧面AA1B1B为正方形，知ABBB1又ABB1C，BB1B1C=B1，AB平面BB1C1C，又AB平面AA1B1B，平面AA1B1BBB1C1C（）由题意，CB=CB1，设O是BB1的中点，连接CO，则COBB1由（）知，CO平面AB1B1A建立如图所示的坐标系Oxyz其中O是BB1的中点，OxAB，OB1为y轴，OC为z轴不妨设AB=2，则A（2，1，0），B（0，1，0），C（0，0，），A1（2，1，0）=（2，0，0），=（2，1，），设=（x1，y1，z1）为面ABC的法向量，则=0，=0，即取z1=1，得=（0，1）

22、设=（x2，y2，z2）为面ACA1的法向量，则=0，=0，即取x2=，得=（，0，2）所以cosn1，n2=因此二面角BACA1的余弦值为点评：熟练掌握线面、面面垂直的判定定理、通过建立空间直角坐标系并利用两平面的法向量的夹角求二面角的方法是解题的关键20（12分）设圆F以抛物线P：y2=4x的焦点F为圆心，且与抛物线P有且只有一个公共点（I）求圆F的方程；（）过点M （1，0）作圆F的两条切线与抛物线P分别交于点A，B和C，D，求经过A，B，C，D四点的圆E的方程考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系；抛物线的标准方程3481324专题：计算题；直线与圆分析：（I）设出圆F的方程，利用圆与

23、抛物线P有且只有一个公共点，求出圆的半径，即可得到圆的方程；（）设过点M（1，0）与圆F相切的斜率为正的一条切线的切点为T，连接TF，推出TMF=30，通过直线MT与抛物线的两个交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），利用韦达定理求解|AB|，点E到直线AB的距离，求出圆E的半径R，即可求出圆E的方程解答：解：（）设圆F的方程为（x1）2+y2=r2（r0）将y2=4x代入圆方程，得（x+1）2=r2，所以x=1r（舍去），或x=1+r圆与抛物线有且只有一个公共点，当且仅当1+r=0，即r=1故所求圆F的方程为：（x1）2+y2=1（4分） （）设过点M（1，0）与圆F相切的斜率为正的一条切

24、线的切点为T连接TF，则TFMF，且TF=1，MF=2，所以TMF=30（6分）直线MT的方程为x=y1，与y2=4x联立，得y24y+4=0记直线与抛物线的两个交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），则y1+y2=4，y1y2=4，x1+x2=（y1+y2）2=10（8分）从而AB的垂直平分线的方程为y2=（x5）令y=0得，x=7由圆与抛物线的对称性可知圆E的圆心为E（7，0）（10分）|AB|=8又点E到直线AB的距离d=4，所以圆E的半径R=4因此圆E的方程为（x7）2+y2=48（12分）点评：本题考查圆的方程的求法，圆与抛物线的位置关系，点到直线的距离公式的应用，考查分析问题解决

25、问题的能力21（12分）已知函数f（x）=ax2lnx（I）讨论函数f（x）单调性；（）当时，证明：曲线y=f（x）与其在点P（t，f（t）处的切线至少有两个不同的公共点考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程3481324专题：导数的综合应用分析：（）对原函数求导，然后分a0和a0两种情况讨论导函数的符号，a0时，f（x）0在（0，+）恒成立，a0时，求导函数的零点，利用导函数的零点把定义域分段，根据导函数在各段内的符号判断原函数在不同区间段内的单调性；（）利用导数求出曲线y=f（x）在点P（t，f（t）处的切线方程，然后构造函数g（x）=f（x）f（t）（xt）+f（

26、t），因为点P（t，f（t）是曲线y=f（x）与切线的公共点，只要再说明函数g（x）有除了t外的另外零点即可，通过对函数g（x）进行求导，利用函数单调性得到当x（0，t）或x（t，2时，g（x）g（t）=0，利用放缩法，借助与不等式说明当x2t+时，g（x）0，从而说明曲线y=f（x）与其在点P（t，f（t）处的切线至少有两个不同的公共点解答：（）解：f（x）的定义域为（0，+），由f（x）=ax2lnx，得：f（x）=2ax（1）若a0，则f（x）0，f（x）在（0，+）是减函数；（2）若a0，由，得：则当x（0，）时，f（x）0，f（x）在（0，）是减函数；当x（，+）时，f（x）0，f（

27、x）在（，+）是增函数（）证明：曲线y=f（x）在P（t，f（t）处的切线方程为y=f（t）（xt）+f（t），且P为它们的一个公共点当a=时，设g（x）=f（x）f（t）（xt）+f（t），则g（x）=f（x）f（t），则有g（t）=0，且g（t）=0设h（x）=g（x）=xf（t），则当x（0，2）时，h（x）=+0，于是g（x）在（0，2）是增函数，且g（t）=0，所以，当x（0，t）时，g（x）0，g（x）在（0，t）是减函数；当x（t，2）时，g（x）0，g（x）在（t，2）是增函数故当x（0，t）或x（t，2时，g（x）g（t）=0若x（2，+），则g（x）=x2lnxf（t）（x

28、t）+f（t）=x2+（t+）xt21lnx2+（t+）xt21=x（x2t）t21当x2t+时，g（x）t210所以在区间（2，2t+）至少存在一个实数x02，使g（x0）=0因此曲线y=f（x）与其在点P（t，f（t）处的切线至少有两个不同的公共点点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了函数图象的交点问题，对于本题（）的证明，涉及到构造函数，特别是证明当x2时g（x）0，用到了不等式证明中的放缩法，是难度较大题目22（10分）选修41：几何证明选讲如图，O是ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于点E（I）求证：CD2DE2=AEEC；（II

29、）若CD的长等于O的半径，求ACD的大小考点：相似三角形的判定；圆周角定理3481324专题：证明题分析：（I）由D是的中点，可得ABD=CBD，根据圆周角定理，可得CBD=ECD，进而可得BCDCED，根据相似三角形性质可得CD2=DEDB，进而得到CD2DE2=AEEC（II）连接OC，OD，由已知可知ODC为等边三角形，进而根据圆心角定理得到ACD的大小解答：解：（）ABD=CBD，ABD=ECD，CBD=ECD，又CDB=EDC，BCDCED，=，CD2=DEDB，DEDB=DE（DE+BE）=DE2+DEBE，DEBE=AEEC，CD2DE2=AEEC（6分）（）连接OC，OD，由已

30、知可知ODC为等边三角形，COD=60CBD=COD=30，ACD=CBD=30（10分）点评：本题考查的知识点是相似三角形的判定和性质，圆周角定理，圆心角定理，其中（1）的关键是证明BCDCED，（2）的关键是求出ODC为等边三角形23（10分）选修44：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点D为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线Cl的极坐标方程为=2cos，曲线C2的参数方程为为参数）（I）当时，求曲线Cl与C2公共点的直角坐标；（II）若，当变化时，设曲线C1与C2的公共点为A，B，试求AB中点M轨迹的极坐标方程，并指出它表示什么曲线考点：参数方程化成普通方程；点

31、的极坐标和直角坐标的互化3481324专题：计算题分析：（I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II）设M（，），不妨取A（0，），B（2，），利用中点坐标公式得M点轨迹的极坐标方程，由极坐标方程即可看出其是什么类型的曲线解答：解：（）曲线C1的直角坐标方程为x2+y22x=0当=时，曲线C2的普通方程为y=x由，得曲线C1与C2公共点的直角坐标方程为（0，0），（1，1）（4分）（）C1是过极点的圆，C2是过极点的直线设M（，），不妨取A（0，），B（2，），则2=2cos（7分）故点M轨迹的极坐标方程为=cos（）它表示以（，0）为圆心，以为

32、半径的圆，去掉点（0，0）（10分）点评：本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力24（10分）选修45：不等式选讲设f（x）=|xa|，aR（I）当1x3时，f（x）3，求a的取值范围；（II）若对任意xR，f（xa）+f（x+a）12a恒成立，求实数a的最小值考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题3481324专题：不等式的解法及应用分析：（I）当1x3时，f（x）=|xa|3，即a3xa+3由此建立关于a的不等关系能求出a的取值范围（II）根据绝对值不等式的性质得|x2a|+|x|最小值就是2|a|，若f（xa）+f（x+a）12a对xR恒成立，则只要满足2|a|12a，由此能求出实数a的最小值解答：解：（）f（x）=|xa|3，即a3xa+3依题意，由此得a的取值范围是0，2（4分）（）f（xa）+f（x+a）=|x2a|+|x|（x2a）x|=2|a|（6分）当且仅当（x2a）x0时取等号解不等式2|a|12a，得a故a的最小值为（10分）点评：本题考查不等式的解集的求法，考查满足条件的实数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意零点分段讨论法和绝对值不等式性质的合理运用高考资源网版权所有，侵权必究！