6.2.3 向量的数乘运算-2021-2022学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019必修第二册）.doc

1、高一数学考点题型 技巧精讲与精练高分突破系列(人教A版2019必修第二册)6.2.3向量的数乘运算【考点梳理】考点一向量数乘的定义实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，其长度与方向规定如下：(1)|a|a|.(2)a (a0)的方向特别地，当0时，a0.，当1时，(1)aa.考点二向量数乘的运算律1 .(1)(a)()a.(2)()aaa.(3)(ab)ab.特别地，()aa(a)，(ab)ab.2.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数，1，2，恒有(1a2b)1a2b.考点三向量共线定理向量a (a0)与b共线的充要

2、条件是：存在唯一一个实数，使ba.【题型归纳】题型一：向量的线性运算1（2021山东邹城高一期中）已知向量，实数，（，），则下列关于向量的运算错误的是（ ）ABC若，则D若，则2（2021全国高一课前预习）若，化简的结果为（ ）ABCD3（2021四川省蒲江县蒲江中学高一阶段练习）已知，是实数，是向量，则下列命题中正确的为（ ）；若，则；若，则ABCD题型二：平面向量的混合运算4（2021全国高一课时练习）若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（ ）A等腰三角形B直角三角形C正三角形D等腰直角三角形5（2021福建福州高一期中）在五边形中，分别为，的中点，则（ ）ABCD6（2020全国高一

3、课时练习）在ABC中，P，Q分别是边AB，BC上的点，且若，则（ ）ABC D题型三：向量的线性运算的几何应用7（2021四川宁南中学高一阶段练习（文）如图， 中，、分别是、上的中线， 它们交于点，则下列各等式中不正确的是（ ）AB；CD8（2021四川资阳高一期末）如图，在中，为线段上一点，为的中点若，则（ ）ABCD9（2021内蒙古林西县第一中学高一期中（文）已知点是的边的中点，点在边上，且，则向量（ ）ABCD题型四：三角形的心的向量表示10（2021陕西渭滨高一期末）已知为三角形所在平面内一点，则（ ）ABCD11（2021山东师范大学附中高一期中）如图，是的重心，是边上一点，且，则

4、（ ）ABCD12（2021全国高一课时练习）已知点O、N、P在所在平面内，且，则点O、N、P依次是的（ ）A重心、外心、垂心B重心、外心、内心C外心、重心、垂心D外心、重心、内心【双基达标】一、单选题13（2021全国高一课时练习）下列运算正确的个数是（ ）；A0B1C2D314（2021全国高一课时练习）已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，则点的轨迹一定通过的（ ）A内心B外心C重心D垂心15（2021全国高一课时练习）若，则下列各式中不正确的是（ ）ABCD16（2021上海高一课时练习）已知平面上不共线的四点，若，则等于（ ）ABC3D217（2021全国高一课

5、时练习）设向量，若与不共线，且点在线段上，则（ ）ABCD18（2021安徽定远县育才学校高一阶段练习（文）下列叙述不正确的是（ ）A若共线，则存在唯一的实数，使B(为非零向量)，则共线C若，则D若，则19（2021福建浦城高一阶段练习）如图，在ABC中，P是BN上一点，若t，则实数t的值为（ ）ABCD20（2021云南隆阳高一期中）已知在平行四边形中，点，分别在边，上，连接交于点，且满足，则（ ）A-3B1CD21（2021河南郑州高一期末）已知的边上有一点满足，则可表示为（ ）ABCD22（2021江西宜春高一期末）如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为( )ABC1D3【高分突破】一

6、：单选题23（2021全国高一专题练习）已知点在所在平面内，且，则点依次是的（ ）A重心 外心B重心 内心C外心 重心D外心 内心24（2021湖南常德市第二中学高一期末）在等边中，点E在中线上，且，则（ ）ABCD25（2021全国高一课时练习）下列算式中，正确的个数为（ ）；.ABCD26（2021江苏省梅村高级中学高一阶段练习）在中，E为AB边的中点，D为AC边上的点，BD，CE交于点F若，则的值为（ ）A2B3C4D527（2021全国高一课时练习）设，都是非零向量.下列四个条件中，使成立的条件是（ ）ABCD且28（2020全国高一）点M，N，P在所在平面内，满足，且，则M、N、P依

7、次是的（ ）A重心，外心，内心B重心，外心，垂心C外心，重心，内心D外心，重心，垂心二、多选题29（2021全国高一课时练习）（多选）已知，则下列结论正确的是（ ）AA，B，C，D四点共线BC，B，D三点共线CD30（2021浙江嘉兴市第五高级中学高一阶段练习）下列说法错误的是（ ）A若，则B若，分别表示，的面积，则C两个非零向量，若，则与共线且反向D若向量，则与一定不是共线向量31（2021河北承德第一中学高一阶段练习）对于非零向量，下列说法正确的是（ ）A的长度是的长度的2倍，且与方向相同B的长度是的长度的，且与方向相反C若，则等于零D若，则是与同向的单位向量32（2021湖南高一期末）已

8、知的重心为，过点的直线与边，的交点分别为，若，且与的面积之比为，则的可能取值为（ ）ABCD333（2021福建三明高一期中）八卦是中国文化中的基本哲学概念，如图是八卦模型图，其平面图形记为图中的正八边形ABCDEFGH，其中，则下列结论中正确的是（ ）ABCD三、填空题34（2021全国高一课时练习）已知D，E，F分别为的边BC，CA，AB的中点，给出下列五个命题：；其中正确的命题是_（填序号）35（2021全国高一课时练习）在平行四边形ABCD中，若=+，其中，R，则+=_.36（2021上海大学附属南翔高级中学高一阶段练习）已知ABC中，点D在边AB上，且，设，那么等于_（结果用、表示）

9、37（2021全国高一课时练习）设平面内四边形及任一点O，若且则四边形的形状是_四、解答题38（2021全国高一课时练习）在四边形ABCD中，已知，其中，是不共线的向量，试判断四边形ABCD的形状39（2021全国高一课时练习）计算：（1）；（2）40（2021全国高一课时练习）（1）已知，求.（2）已知向量，且，求，.41（2021全国高一课时练习）如图，在中，分别是，的中点，（1）用，表示，；（2）求证：，三点共线42（2021全国高一课时练习）如图，在中，是边上一点，是线段上一点，且，过点作直线与，分别交于点，.（1）用向量，表示.（2）试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理

10、由.10原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司【答案详解】1D【分析】根据向量数乘运算判断AB选项的正确性，通过的特殊情况判断C选项的正确性，根据向量运算判断D选项的正确性.【详解】由题意，向量，实数，（，），由向量的运算律可得，故选项A正确；由向量的运算律可得，故选项B正确；若，因为，则，故选项C正确；当时，此时和不一定相等，故选项D错误故选：D2A【分析】根据已知条件结合，利用向量的线性运算即可求解.【详解】，故选：A.3B【分析】结合平面向量的数乘运算即可判断，举出反例即可说明.【详解】对于：根据数乘向量的法则可得：，故正确；对于：

11、根据数乘向量的法则可得：，故正确；对于：由可得，当m0时也成立，所以不能推出，故错误；对于：由可得，当，命题也成立，所以不能推出mn. 故错误；故选：B4A【分析】利用向量运算化简已知条件，由此确定正确选项.【详解】依题意，,，所以，所以三角形是等腰三角形.故选：A5C【分析】由向量的加法运算得到，进而利用中点的条件，转化为向量的关系，化简整理即得.【详解】,故选：C6A【分析】由已知得到利用，得到，利用及和平面向量的线性运算法则运算即得.【详解】由已知可得，.故选：A.【点睛】本题考查平面向量的线性运算，是基础题，只要熟练掌握平面向量的加减数乘运算法则,并注意将有关向量转化为基底向量表示，即

12、可得解.7B【分析】利用向量运算对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】依题意中，、分别是、上的中线，所以是三角形的重心.所以，A选项正确.，B选项错误.，C选项正确.，D选项正确.故选：B8C【分析】根据平面图形的性质以及平面向量的基本定理和线性运算，对应系数相等即可求出的值，进而求出结果.【详解】因为为线段上一点，所以，且为的中点，所以，又因为，因此，所以，故选：C.9B【分析】根据向量的加法运算可得和减法运算可得，结合条件,可得答案.【详解】由，则则故选：B 10B【分析】题目考察三角形四心的问题，易得：为三角形的重心，位于中线的三等分点处，从而求出三角形面积的比例关系【详解】如图所示

13、，由得：为三角形的重心，是中线的交点，且，所以，底边为，所以，故选：B11A【分析】由是的重心，可知，又,，化简即可.【详解】由是的重心，可知，又,故，故选：A.12C【分析】由知O是的外心；利用共起点向量加法将变形为共线的两向量关系，得到N点在中线上的位置，从而判断为重心；由移项利用向量减法变形为，得出PB为CA边上的高，同理得PC为AB边上的高，故为垂心.【详解】，则点O到的三个顶点距离相等，O是的外心.，设线段AB的中点为M，则，由此可知N为AB边上中线的三等分点(靠近中点M)，所以N是的重心.，.即，同理由，可得.所以P是的垂心.故选：C.【点睛】关于四心的向量关系式：O是的外心；O是

14、的重心；O是的垂心；O是的内心.(其中 为的三边)13C【分析】利用平面向量的加法，减法，数乘运算及其运算律判断.【详解】，由数乘运算知正确；，由向量的运算律知正确；，向量的加法，减法和数乘运算结果是向量，故错误.故选：C14C【分析】取的中点，由已知条件可知动点满足，易得，则点三点共线，进而得到点的轨迹一定通过的重心.【详解】解：设为的中点，则，则，即，三点共线，又因为为的中点，所以是边的中线，所以点的轨迹一定通过的重心.故选：C.15D【分析】根据向量的数乘的定义判断【详解】如图，由知在延长线上，且，因此由向量数乘定义知ABC三个选项均正确，D错误故选：D16C【分析】由已知可得，即，从而

15、可得答案.【详解】解：由，得，即，所以，即，故选：C.17C【分析】根据向量线性关系的几何意义得到的线性关系，即可知正确选项.【详解】由，.故选：C18A【分析】选项A：要注意时不成立；选项B：由得到方向相同，从而得到共线；选项C：由条件得到，从而；选项D：通过移项可知选项D显然正确.【详解】选项A：当时，满足共线，但不满足存在唯一的实数，使成立，此时不存在实数，使成立，所以选项A错误；选项B：若，则方向相同，所以共线，所以选项B正确；选项C：因为，所以，所以选项C正确；选项D：若，则，选项D正确.故选：A19A【分析】由向量的线性运算可得，再由平面向量共线定理的推论即可得解.【详解】因为，所

16、以，所以，又P是BN上一点，所以，解得.故选：A.20D【分析】因为，三点共线，故可考虑将用表示，再结合三点共线满足的性质计算即可【详解】因为，所以.因为，故,所以.因为，三点共线，所以，所以.故选：D21A【分析】由已知得出向量与向量的关系，再利用平面向量基本定理即可求解【详解】因为的边上有一点满足，所以，则，所以，故选：A22A【分析】利用向量的线性运算将条件化为，再根据、三点共线，得出，解得.【详解】由题意可知，所以，又，即.因为、三点共线，所以，解得.故选：A23C【分析】由外心到三角形顶点距离相等、重心的性质：且，结合题设即可判断是的哪种心.【详解】，到的三个顶点的距离相等，故是的外

17、心，如下图，若是三条中线的交点，是上的中线，又，故题设中的是的重心.故选：C24A【分析】利用向量的加、减以及数乘运算即可求解.【详解】因为，所以.故选：A25C【分析】由平面向量的线性运算和数乘运算可判断的正误.【详解】对于，正确；对于，正确；对于，错误.故选：C.26C【分析】设，可得，由，三点在同一条直线上，可求得的值，即可得解【详解】设，因为，所以，因为，三点在同一条直线上，所以，所以，所以故选：C27C【分析】根据、的含义，逐一分析选项，即可得答案.【详解】、分别表示与、同方向的单位向量，对于A：当时，故A错误；对于B：当时，若反向平行，则单位向量方向也相反，故B错误；对于C：当时，

18、故C正确；对于D：当且时，若满足题意，此时，故D错误.故选：C28B【分析】由三角形五心的性质即可判断出答案【详解】解：，设的中点，则，三点共线，即为的中线上的点，且为的重心，为的外心；，即，同理可得：，为的垂心；故选：【点睛】本题考查了三角形五心的性质，平面向量的线性运算的几何意义，属于中档题29BD【分析】由可得，从而可对ABD进行判断，再对变形化简可对C进行判断【详解】因为，所以，所以，因为有公共端点，所以C，B，D三点共线，且，所以BD正确，A错误，由，得，所以，所以C错误，故选：BD30AD【分析】A向量平行传递性的前提是都为非零向量；B若分别是的中点，结合已知得，再过作上的高，由线

19、段比例确定高的比例关系即可；C由向量反向共线的性质即可判断；D根据共线向量的定义即可判断.【详解】A：如果都是非零向量，而，显然满足已知条件，但是结论不一定成立，错误；B：若分别是的中点，由题设有，即，所以三点共线且，过作上的高，易知，则，所以，正确； C：两个非零向量，若，则与共线且反向，正确；D：若向量，则与可能是共线向量，如相反向量，错误.故选：AD31ABD【分析】对于选项ABD可以直接利用向量和数乘向量的定义判断，对于选项C，等于零向量，不是零，故C错误.【详解】解：对于A： 的长度是的长度的2倍，且与方向相同，故A正确；对于B：的长度是的长度的，且与方向相反，故B正确；对于C：若，

20、则等于零向量，不是零，故C错误；对于D：若，则是与同向的单位向量，故D正确.故选：ABD32BD【分析】设，利用重心的性质，把用、表示，再由，三点共线得关于，的方程，再由三角形面积比得关于，的另一方程，联立即可求得实数的值【详解】解：如图，即，设，则，三点共线，所以，与的面积之比为， 即，化简得，解得或3.故选：BD33ABC【分析】结合正八边形的特点，分为8个全等的三角形，将圆周角分为8份，每个圆心角为 .结合向量的计算法则，即可得出结果.【详解】A.正八边形ABCDEFGH中， ，那么，故A对；B. ，故B对；C. 与夹角为 ，故，故C对；D. ，故D错；故选：ABC34【分析】根据平面向

21、量线性运算法则计算可得；【详解】解：因为，所以，即，即正确的有：故答案为：35【分析】利用向量的加减法及数乘化简可得=，又计算即可.【详解】由平面向量的加法运算，有.因为=+=()+()=+=.所以，即解得故答案为：或1.236【分析】根据以及进行线性运算，由此可求得的表示.【详解】因为，所以，故答案为：.37菱形【分析】由易得，即为平行四边形，再由即可判断的形状.【详解】由得，即，于是平行且等于，四边形为平行四边形，又，从而，即四边形为菱形故答案为：菱形38四边形是梯形【分析】根据共面向量基本定理可知，即可判断四边形形状.【详解】如图所示，所以，即，且.所以四边形是梯形.39（1）（2）【分

22、析】(1)利用向量运算律可化解合并(2)利用向量运算律可化解合并（1）原式=（2）原式=40（1）-5；（2）-.【分析】(1)利用向量的数乘及加减法计算即可；（2）解方程即可得出结果.【详解】解(1)原式 =+=-+.，原式=-(3+2)+(2-)= +=-5.(2)将3-=两边同乘2，得6-2=2.与5+2=相加，得11=+2，=+.=3-=3-=-.41（1）答案见解析；（2） 证明见解析【分析】（1）根据平面向量的线性运算即可求解；（2）利用平面向量共线定理可得求证.【详解】（1）如图，延长到点，使，连接，得到平行四边形，则，因为是的中点，所以，因为是的中点，所以，；（2）由（1）知，所以，所以，共线，又，有公共点，所以，三点共线42（1）；（2）是定值，定值为.【分析】（1）结合图形利用向量的加法运算求解；（2）设，则，然后根据题意将用表示出来，从而可用表示，再由三点共线可得结论【详解】解：（1）.（2）设，则，因为所以，所以，即，故为定值.31原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！