6.2.4 向量的数量积-2021-2022学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019必修第二册）.doc

1、高一数学考点题型 技巧精讲与精练高分突破系列(人教A版2019必修第二册)6.2.4向量的数量积【考点梳理】考点一两向量的夹角与垂直1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作a，b，则AOB(0)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当0时，a与b同向；当时，a与b反向.2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作ab.考点二向量数量积的定义非零向量a，b的夹角为，数量|a|b|cos 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0.考点三投影向量在平面内任取一点O，作a，b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就

2、是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为，则与e，a，之间的关系为|a|cos e.考点四平面向量数量积的性质设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为，e是与b方向相同的单位向量.则(1)aeea|a|cos .(2)abab0.(3)当ab时，ab特别地，aa|a|2或|a|.(4)|ab|a|b|.考点五平面向量数量积的运算律1.abba(交换律).2.(a)b(ab)a(b)(数乘结合律).3.(ab)cacbc(分配律).【题型归纳】题型一：向量的数量积的定义和几何意义1（2021江西九江一中高一期中）向量在向量上的射影为（ ）ABCD2（2021江西宜

3、春九中高一阶段练习）已知，且，则在方向上的投影为（ ）AB1CD3（2021广东汕尾高一期末）在三角形中，已知，点满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）ABCD题型二：数量积的运算4（2021北京市西城区教委高一阶段练习）设为平面向量，则“存在实数，使”是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5（2021全国高一课时练习）已知、不共线的非零向量，则下列等式中不成立的是（ ）ABCD6（2021江西九江一中高一阶段练习）已知向量、满足， 与的夹角为，则（）ABCD、题型三：数量积和模关系问题7（2021全国高一课时练习）已知向量，满足，若与的夹角

4、为，则（ ）A1BCD8（2021全国高一课时练习）若向量与的夹角为60，则（ ）A2B4C6D129（2021河北正定中学高一阶段练习）已知平面向量，则的最大值（ ）ABCD题型四：向量夹角的计算10（2021全国高一课时练习）若向量，满足，且，则向量与的夹角为（ ）ABCD11（2021河北张家口市第一中学高一阶段练习）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）ABCD12（2021云南省南涧县第一中学高一阶段练习）已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ）ABCD题型五：垂直关系的向量表示13（2021江西九江一中高一阶段练习）已知非零向量满足，与夹角的余弦值为，若，则实数（）ABCD14（

5、2021云南昆明市外国语学校高一阶段练习）若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（ ）A等腰三角形B直角三角形C正三角形D等腰直角三角形15（2021江苏南京市中华中学高一期中）已知平面向量，满足，的夹角为120，且，则实数的值为（ ）ABC2D3题型六：已知模求参数问题16（2021全国高一课时练习）已知平面向量，且，则（ ）A1B2CD417（2021江苏高一期中）设非零向量的夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD18（2021浙江浙江高一期末）设为两个非零向量的夹角，且，已知对任意实数，无最小值，则以下说法正确的是（ ）A若和确定，则唯一确定B若和确定，则有

6、最大值C若确定，则D若不确定，则与的大小关系不确定【双基达标】一、单选题19（2021全国高一课时练习）命题：“向量与向量的夹角为锐角”是命题：“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件20（2021全国高一课时练习）若，的夹角为135，则（ ）ABCD1221（2021全国高一课时练习）已知，且，则在上的投影向量为（ ）ABCD22（2021全国高一课时练习）两个非零向量、互相垂直的充要条件是（ ）ABCD23（2021上海高一课时练习）设是两个非零向量，则下列命题为真命题的是（ ）A若，则B若，则C若，则存在实数，使得D若存在实数，使得，则24（2021全

7、国高一课时练习）如图所示，已知在ABC中，AB3，AC2，BAC60，BEEC，AF2FC，则|（ ）ABCD25（2021全国高一单元测试）已知向量，若，则（ ）A2B3C4D526（2021吉林延边二中高一阶段练习）给出下列命题，其中错误的命题的个数是（ ）若，则是钝角若且，则若，则可知若是等边三角形，则与的夹角为A4B3C2D1【高分突破】一：单选题27（2021全国高一课时练习）在平行四边形中，已知，则（ ）ABCD28（2021全国高一课时练习）若，且，则与所在直线的夹角为（ ）ABCD29（2021全国高一课时练习）若向量，均为单位向量，且，则的最小值为（ ）AB1CD30（202

8、1广东东莞市光明中学高一阶段练习）下列命题中，不正确的是（ ）ABCD与共线31（2021广东白云高一期末）已知，与的夹角为，则（ ）AB72C84D32（2021安徽合肥艺术中学 高一阶段练习）如图，是边长为4的正方形，若，且为的中点，则（ ）A3B4C5D633（2021黑龙江哈尔滨市教育局高一阶段练习）已知平面向量与满足，则与的夹角等于（ ）ABCD34（2021全国高一课时练习）在中，点M是的中点，点P在上，且满足，则等于（ ）ABCD二、多选题35（2021广东广州高一期末）已知O，N，P，I在所在的平面内，则下列说法正确的是（ ）A若，则O是外心B若，则P是垂心C若，则N是重心D若

9、，则I是内心36（2021广东仲元中学高一期中）已知是两个单位向量，时，的最小值为，则下列结论正确的是（ ）A的夹角是B的夹角是CD37（2021广东高州高一期末）已知向量，满足，且，向量与，与，与的夹角都是，则的值可能为（ ）ABCD138（2021全国高一课时练习）在中，P为线段上任意一点，则的可能值有（ ）ABC2D339（2021黑龙江齐齐哈尔高一期末）是的重心，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ）AB在方向上的投影向量等于CD的最小值为-140（2021广东忠信中学高一阶段练习）给出下列命题，其中正确的选项有A非零向量、满足，则与的夹角为B若，则为等腰三角形C若单位向量的、的

10、夹角为，则当取最小值时，D若，为锐角，则实数的取值范围是三、填空题41（2021北京日坛中学高一期中）设向量满足，则_.42（2021全国高一课时练习）已知，与的夹角大小为，则_43（2021全国高一课时练习）已知向量与满足，与的夹角大小为60，则_44（2021云南昆明八中高一阶段练习）已知菱形的边长为2，点分别在直线上，若，则实数的值为_.45（2021全国高一课时练习）在正三角形ABC中，下列各等式成立的是_（填序号）；四、解答题46（2021全国高一课时练习）（l）求证：；（2）已知向量、满足：，求的值47（2021全国高一课时练习）在等腰三角形ABC中，D为BC的中点（1）求在上的投

11、影向量；（2）求在上的投影向量48（2021湖南嘉禾县第一中学高一阶段练习）已知，与的夹角为，设（1）求的值；（2）若与的夹角是锐角，求实数t的取值范围49（2021全国高一课时练习）（1）在中，求，的值.（2）已知，两个向量，求在方向上的投影与数量投影50（2021全国高一课时练习）已知向量，的夹角为，且，（其中）当取最小值时，求与的夹角的大小9原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司【答案详解】1D【详解】向量在向量上的射影为，故选：D2A【详解】由题意，所以在方向上的投影故选：A3B【详解】由可得：，即，可得，所以，如图设的中点为，则

12、，由可得，所以，所以，所以 向量在向量方向上的投影向量为：，因为，所以，所以向量在向量方向上的投影向量为，故选：B.4C【详解】若存在实数，使，则，即，故充分性成立；若，则，即，即，即同向，故存在实数，使，故必要性成立.所以“存在实数，使”是“”的充分必要条件.故选：C.5B【详解】A：，A正确；B：设，则，设，则，因为与非零不共线，所以一般情况下，故B错误；C：向量数乘的数量积满足结合律，C正确；D：数量积满足交换律，D正确；故选：B6C【详解】因为， 与的夹角为，所以，故选：C7D【分析】根据已知条件和算出答案即可.【详解】因为，与的夹角为，所以，即故选：D8C【分析】由平面向量的数量积的

13、性质求解即可【详解】因为向量与的夹角为60，所以，即，所以，解得或（舍），故选：C9A【分析】根据数量积公式，转化为，再利用求根公式求的最大值.【详解】，所以，是向量和的夹角，所以，当时，.故选：A10B【分析】由已知条件结合数量积公式化简即可求解.【详解】因为，即，求得，所以向量与的夹角为.故选：B11A【分析】利用向量的夹角公式即可求解.【详解】因为，所以，即.设与的夹角为，因为，所以，解得：.因为，所以.故选：A.12D【分析】根据平面向量数量积的定义将化简，进而求出与的夹角，然后再求出和，最后通过夹角公式求得答案.【详解】设与的夹角为，由，所以，即，且，解得，.所以，所以，故与的夹角为

14、.故选：D.13A【分析】根据向量垂直关系和数量积运算公式，可得关于x的方程，解得x.【详解】由可设，则.因为，所以，又，所以.故选：A.14A【分析】首先在中，取的中点，连接，根据得到，从而得到，即可得到答案.【详解】在中，取的中点，连接，如图所示：因为，所以，所以，即，即.又因为中是否有直角不确定，和是否相等也无法确定，所以为等腰三角形.故选：A15D【分析】根据，的夹角为120，求得，再根据得，从而即可得出答案.【详解】解：因为，的夹角为120，所以，又因为，所以，即，解得.故选：D.16C【分析】由题意，先求出两向量与的坐标，再由模长公式建立方程，即可解得的值.【详解】因为，所以，又，

15、可得，即，整理得：，解得：.故选：C17A【分析】根据题先利用平面向量的数量积的运算法则进行转化为恒成立，然后结合函数的恒成立，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，非零向量的夹角为，且，则，不等式对任意恒成立，所以，即，整理得恒成立，因为，所以，即，可得，即实数的取值范围为.故选：A.【点睛】求平面向量的模的两种方法：1、利用及，把向量模的运算转化为数量积的运算；2、利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.18B【分析】令，其对称轴为，结合题意要使得无最小值，则对称轴不在，从而可得或，进而可选出正确答案.【详解】由题意知，令，则

16、函数的图象的对称轴为，因为无最小值，所以或，所以或，所以和确定，则有最大值故选：B【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用二次函数的性质，分析对称轴的位置，从而得出和确定，则有最大值.19A【分析】由充分条件和必要条件的定义结合数量积运算分析判断【详解】若向量与向量的夹角为锐角，则，当时，向量与向量的夹角可能为，所以命题是命题的充分不必要条件，故选：A20B【分析】利用平面向量数量积的定义求解.【详解】因为，且，的夹角为135，所以，故选：B21C【分析】由先求出，先表示出在上的投影，再结合投影向量概念即可求解.【详解】因为，所以，即，又因为，设的夹角为，所以，在上的投影为：，所以在上的投影向

17、量为.故选：C22C【分析】根据题意，结合和垂直时，以及向量的数量积公式，一一判断即可.【详解】对于选项A，若和垂直，则，故A错误；对于选项B，由，得，即，无法得到和垂直，故B错误；对于选项C，由，得，即，因此和垂直，故C正确；对于选项D，由，得，即和的夹角为，不满足题意，故D错误.故选：C.23C【分析】利用向量的数量积的运算法则，数量积的定义，向量共线定理即可判断.【详解】对于A，若，则，得，不垂直，故A错误；对于B，由A解析可知，故B错误；对于C，若，则，得，则，则与反向，因此存在实数，使得，故C正确；对于D，若存在实数，使得，则，若，则，故D错误.故选：C24C【分析】利用已知条件把转

18、化为与，然后利用向量模的运算法则，化简求解即可【详解】，.故选：C25A【分析】由题意可求出，根据可得到并化简，结合和即可求出.【详解】故选：A26B【分析】根据向量夹角，向量基本定理，数量积的运算律，即可判断选项.【详解】当时，故不正确；若，当时，或，故不正确；，即，故正确；若是等边三角形，则与的夹角为，故不正确.故选：B27B【分析】根据给定条件可得，再借助数量积即可求出.【详解】在平行四边形中，因，于是得，所以.故选：B28A【分析】设,则,由可得,则是等边三角形,进而求解即可.【详解】设,以为邻边作平行四边形,如图所示,则,，是等边三角形，,在菱形中,对角线平分，与所在直线的夹角为.故

19、选：A.29A【分析】对进行平方，根据题意可得，当最小时，取得最小值.【详解】因为，所以 则当与反向时最小，最小，此时=，所以=，所以的最小值为，故选：A.30D【分析】利用向量的数量积公式可判断A；利用向量的数量积运算律可判断BC；利用向量共线可判断D【详解】对于A，利用数量积公式知，即，故A正确；对于B，满足向量的数乘结合律，故B正确；对于C，满足向量的分配律，故C正确；对于D，与共线，则与同向或反向，当与同向时，；当与反向时，故D错误；故选：D31A【分析】由向量数量积的定义计算即可求解.【详解】因为，与的夹角为，所以，则，故选：A.32C【分析】利用基底法，即可求解.【详解】解：,故选

20、：C33B【分析】由得进一步化简即得解.【详解】因为，所以所以.所以，因为.故选：B34A【分析】由，可得，由点M是的中点，可得，代入中计算可得答案【详解】因为，点P在上，且满足，所以，因为点M是的中点，所以，所以，故选：A35ABC【分析】根据三角形外心、垂心、重心和内心的定义，结合平面向量的运算即可求得答案.【详解】根据外心的定义，易知A正确；对B，同理可得：，所以P是垂心，故B正确；对C，记AB、BC、CA的中点为D、E、F，由题意，则，同理可得：，则N是重心，故C正确；对D，由题意，则I是垂心，故D错误.故选：ABC.36ABD【分析】根据条件知，的最小值为，结合二次函数与方程的特点可

21、求出的夹角为或，从而求出的值【详解】，是两个单位向量，且的最小值为，的最小值为，的最小值为，即在上有唯一一个解，所以，所以与的夹角为或，所以正确，或3，或，所以正确，故选：37AD【分析】设与的夹角为，由，解得，由数量积夹角公式计算即可求得结果.【详解】设与的夹角为，则，得，解得又与的夹角都是，而，所以，解得或，故选：AD38CD【详解】设，则，因为,所以因为，所以，所以的取值范围为，故选：CD39AC【详解】A：当点为的重心时，如图所示：四边形为平行四边形，根据重心性质可得.则，A正确，B：在方向上的投影为，在方向上的投影向量为，B错误，C：是的重心，C正确，D：当与重合时，与的最小值为矛盾

22、D错误，故选：AC40ABC【分析】直接利用向量的线性运算，向量的夹角的运算，向量的模，向量的夹角运算判断、的结论【详解】解：对于：非零向量、满足，令：，则，由于，如图所示：所以四边形为菱形，且为等边三角形；所以，则与的夹角为，故正确对于：由于，所以，所以为等腰三角形，故正确对于：若单位向量的、的夹角为，则当取最小值时，即，当时，的最小值为，故正确；对于，由于为锐角，所以且与不同向，即则且，故不正确故选：41【分析】直接利用向量的模以及数量积的运算法则求解即可.【详解】解：向量，满足，则，则.故答案为：.42【分析】根据题意，结合模长公式以及数量积的运算律，即可求解.【详解】根据题意，得.故答

23、案为：.43#【分析】由题得出，再结合条件并利用平面向量的数量积运算，即可求出结果.【详解】解：由题可知，与的夹角大小为60，则，即，则，解得：.故答案为：.44【分析】根据题意，分别用和表示和，结合数量积的运算公式，即可求解.【详解】根据题意，由，得，因为菱形的边长为2，且，所以，解得.故答案为：.45【分析】利用向量的线性运算及向量的模逐一判断即可求得结论【详解】解：因为是正三角形，所以设的边长为2，对于，因为，所以，故错误；对于，因为，所以，故正确；对于，所以，故正确；对于，又，所以，故正确故答案为：46（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据向量数量积的运算法则进行计算，即可证明；

24、（2）根据已知条件，求得，再根据数量积求得模长即可.【详解】（1）因为，故可得，即证.（2）因为，故可得，解得：.同理，即.47（1）（或）（2）（1）如图，D为BC的中点则，所以，在上的投影为，在上的投影向量为；（2）在上的投影为，在上的投影向量为48（1）2；（2）（1）；（2）与的夹角是锐角，且与不共线，解得当与共线时，则存在实数，使，解得综上所述，实数t的取值范围是49（1），；（2）.【详解】因为，所以，即所以.如图所示：所以.，.（2）由题意得，所以；则在方向上的投影：在方向上的数量投影：50.【详解】由题意，向量，的夹角为，且，可得，当时，可得，此时，又由，所以，即与的夹角为.33原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！