江苏省徐州市2019年中考数学总复习提分专练05相似三角形综合问题习题.doc

1、提分专练(五)相似三角形综合问题|类型1|平面直角坐标系中的相似1.2018鄂州 如图T5-1,已知直线y=x+与抛物线y=ax2+bx+c相交于A(-1,0),B(4,m)两点,抛物线y=ax2+bx+c交y轴于 点C0,-,交x轴正半轴于D点,抛物线的顶点为M. (1)求抛物线的解析式及点M的坐标; (2)设点P为直线AB下方的抛物线上一动点,当PAB的面积最大时,求PAB的面积及点P的坐标; (3)点Q为x轴上一动点,点N是抛物线上一点,当QMNMAD(点Q与点M对应)时,求Q点的坐标.图T5-1|类型2|相似三角形与四边形2.2017大连 如图T5-2,四边形ABCD的对角线AC,BD

2、相交于点O,OB=OD,OC=OA+AB,AD=m,BC=n,ABD+ADB=ACB. (1)填空:BAD与ACB的数量关系为; (2)求的值; (3)将ACD沿CD翻折,得到ACD(如图),连接BA,与CD相交于点P.若CD=,求PC的长.图T5-2|类型3|相似三角形与平行四边形3.2018重庆A卷 如图T5-3,在ABCD中,点O是对角线AC的中点,点E是BC上一点,且AB=AE,连接EO并延长交AD 于点F.过点B作AE的垂线,垂足为H,交AC于点G. (1)若AH=3,EH=1,求ABE的面积; (2)若ACB=45,求证:DF=CG.图T5-3|类型4|相似三角形与圆4.2017苏

3、州 如图T5-4,已知ABC内接于O,AB是直径,点D在O上,ODBC,过点D作DEAB,垂足为E,连接CD 交OE边于点F. (1)求证:DOEABC; (2)求证:ODF=BDE; (3)连接OC,设DOE的面积为S1,四边形BCOD的面积为S2,若=,求sinA的值.图T5-4|类型5|相似三角形中的动点问题5.2015宿迁 如图T5-5,在平面直角坐标系中,点P的坐标为(0,4),直线y=x-3与x轴,y轴分别交于点A,B,点M是直线 AB上的一个动点,则PM长的最小值为.图T5-56.如图T5-6,在RtABC中,C=90,AC=4 cm,BC=3 cm.动点M,N从点C同时出发,均

4、以每秒1 cm的速度分别沿CA,CB 向终点A,B移动,同时动点P从点B出发,以每秒2 cm的速度沿BA向终点A移动,连接PM,PN,设移动时间为t(单 位:s,0t2.5). (1)当t为何值时,以A,P,M为顶点的三角形与ABC相似? (2)是否存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值?若存在,求出S的最小值;若不存在,请说明理由.图T5-6参考答案1.解析 (1)将B(4,m)的坐标代入一次函数的关系式即可解得点B的坐标,再将A,B,C三点的坐标代入二次函数关系式即可求出其关系式,再将其化为顶点式就能得到点M的坐标;(2)过点P作PEx轴,交AB于点E,交x轴于点G,过点B作BF

5、x轴于点F,则SPAB=PEAF.设点P的坐标为n,n2-n-,则点E的坐标为n,n+,即可得到SPAB的函数关系式,将其化为顶点式即可求出最大值;(3)由勾股定理的逆定理可证得MAD是等腰直角三角形,则QMN也是等腰直角三角形,从而得到点Q的坐标.解:(1)将B(4,m)的坐标代入y=x+,得m=4+=,B4,.将A(-1,0),B4,C0,-的坐标代入y=ax2+bx+c得解得抛物线的解析式为y=x2-x-,y=(x2-2x)-=(x-1)2-2,故顶点M的坐标为(1,-2).(2)如图,过点P作PEx轴,交AB于点E,交x轴于点G,过点B作BFx轴于点F.A(-1,0),B4,AF=4(

6、1)=5.设点P的坐标为n,n2-n-,则点E的坐标为n,n+.点P在直线AB下方,PE=n+-n2-n-=-n2+n+2,SPAB=SAPE+SBPE=PEAG+PEFG=PE(AG+FG)=PEAF=5-n2+n+2=-+,当n=时,PAB的面积最大,且最大面积为,当n=时,n2-n-=-=-,故此时点P的坐标为,-.(3)抛物线的解析式为y=x2-x-=-2,抛物线的对称轴为直线x=1.又A(-1,0),点D的坐标为(3,0),又M的坐标为(1,-2),AD=3(1)=4,AD2=42=16,AM2=1-(-1)2+(-2)2=8,DM2=(13)2+(20)2=8,AD2=AM2+DM

7、2,且AM=DM,MAD是等腰直角三角形,AMD=90,又QMNMAD,QMN也是等腰直角三角形且QM=QN,MQN=90,QMN=45,又AMD=90,AMQ=QMD=45,此时点D(或点A)与点N重合(如图),此时MQx轴,故点Q的坐标为(1,0).2.解:(1)由于ABD+ADB=ACB,所以BAD+ACB=BAD+ABD+ADB=180,故答案为:BAD+ACB=180.(2)作DEAB,交AC于点E,则DEA=BAE,OBA=ODE,又OB=OD,OABOED(AAS),AB=DE,OA=OE,设AB=DE=CE=x,OA=OE=y,EDA+DAB=180,BAD+ACB=180,E

8、DA=ACB.DEA=EAB,EDAACB,=,即=,4y2+2xy-x2=0,2+-1=0,解得=(舍负),=.(3)作DEAB交AC于E.易知DE=CE,EDC=ECD,DCA=DCA,EDC=DCA,DECA,ABDE,ABCA,ABC+ACB=180,EADABC,DAE=ABC=DAC,DAC+BCA=180,ADBC,PADPBC,=,=,即=,CD=,PC=1.3.解:(1)BHAE于点H,AB=AE,AH=3,EH=1,AE=AH+EH=4=AB.在RtABH中,由勾股定理,得BH=.SABE=AEBH=4=2.(2)证明:O是AC的中点,OA=OC.在ABCD中,ADBC,A

9、D=BC,AOFCOE.=1,从而AF=CE.DF=BE.过点A作AMBC,过点G作GNBC,垂足分别为M,N,AM交BH于点K,如图.AB=AE,AMBC,BM=ME=BE,BAM=EAM,AMB=AHK=90.又BKM=AKH,KBM=BAM.AMC=90,ACB=45,GNC=90,MAC=45=GCN.AGB=GBC+GCN,BAG=BAM+MAC,AGB=BAG.AB=BG.又AMB=BNG=90,MAB=GBN,ABMBGN.BM=NG.又BE=2BM,GN=GC,BE=2GC=GC.DF=CG.4.解:(1)证明:AB是O的直径,ACB=90.DEAB,DEO=90.DEO=AC

10、B.ODBC,DOE=ABC,DOEABC.(2)证明:DOEABC,ODE=A.A和BDC都是所对的圆周角,A=BDC,ODE=BDC.ODF=BDE.(3)DOEABC,=2=,即SABC=4SDOE=4S1,OA=OB,SBOC=SABC,即SBOC=2S1.=,S2=SBOC+SDOE+SDBE=2S1+S1+SDBE,SDBE=S1,BE=OE,即OE=OB=OD,sinA=sinODE=.5.解析 根据垂线段最短,所以PM长的最小值就是当PMAB时PM的长.根据直线y=x-3与x轴,y轴分别交于点A,B,令x=0,求得y=-3,所以B(0,-3),即OB=3;令y=0,求得x=4,

11、所以A(4,0),即OA=4.在RtAOB中,根据勾股定理得:AB=5.在RtPMB与RtAOB中,PBM=ABO,PMB=AOB,RtPMBRtAOB,=,即=.PM=.6.解:在RtABC中,C=90,AC=4,BC=3.根据勾股定理,得AB=5.(1)以A,P,M为顶点的三角形与ABC相似,分两种情况:当AMPABC时,=,即=,解得t=.当APMABC时,=,即=,解得t=0(不合题意,舍去).综上所述,当t=时,以A,P,M为顶点的三角形与ABC相似.(2)存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值.理由如下:假设存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值.如图,过点P作PHBC于点H.则PHAC,=,即=,PH=t,S=SABC-SBPN=34-(3-t)t=t-2+(0t0,S有最小值.当t=时,S最小值=.即当t=时,四边形APNC的面积S有最小值,其最小值是 cm2.