海南省五指山中学2016届高三数学模拟试卷（文科） WORD版含解析.doc

1、2016年海南省五指山中学高考数学模拟试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合M=x|2x2，N=1，0，4，则MN=（）A1，0，4B1，0C0，4D2，1，02若复数z满足z（2i）=10+5i（i为虚数单位），则|z|=（）A25B10C5D3设非负实数x，y满足，则z=3x+2y的最大值是（）A7B6C9D124曲线y=ex+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和x=0围成的三角形面积为（）ABC1D25如图是一个算法的流程图，若输出的结果是255，则判断框中的整数N的值为（）A6B7C8D96圆心在抛

2、物线x2=2y上，并且和抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程是（）A（x2）2+（y1）2=4B（x1）2+（y）2=1C（x1）2+（y2）2=4D（x）2+（y1）2=17一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）ABCD28已知AE是ABC的中线，若A=120，=2，则|的最小值是（）A1B0C1D29ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则ABC的面积SABC=（）ABCD10在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x2y=0，则它的离心率为（）A2BCD11函数的图象如下，则f（0）+f（1）+f（2）+fA504B1

3、008C2016D201712已知函数f（x）=，若|f（x）|mx，则m的取值范围是（）A0，2B2，0C（，2D2，+）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）13将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为14甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三所大学时，甲说：我去过的大学比乙多，但没去过A大学；乙说：我没去过B大学；丙说：我们三人去过同一所大学；由此可判断乙去过的大学为15圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是cm1

4、6已知函数f（x）=x3+3x对任意的m2，2，f（mx2）+f（x）0恒成立，则x的取值范围三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知数列an，bn满足下列条件：an=62n12，b1=1，an=bn+1bn（）求bn的通项公式；（）比较an与2bn的大小18PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的数据如表：时间周一周二周三周四周五车流量x（万辆）5051545758PM2.5的浓度y（微克/立方米）6970747879（1）根据表数据，请在下列坐标

5、系中画出散点图；（2）根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（3）若周六同一时间段车流量是25万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时PM2.5的浓度为多少（保留整数）？19如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，ABEF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1（1）求证：AF平面CBF；（2）设FC的中点为M，求证：OM平面DAF；（3）设平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的体积分别为VFABCD，VFCBE，求VFABCD：VFCBE20已知抛物线C：y2=2px（p0）上的点（2，a）到焦点F的距离为3（）求抛物线的方

6、程；（）设动直线l与抛物线C相切于点A，且与其准线相交于点B，问在坐标平面内是否存在定点D，使得以AB为直径的圆恒过定点D？若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由21已知函数f（x）=aexbexcx（a，b，cR）的导函数f（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线的斜率为2c（1）确定a，b的值（2）当c=1时，判断f（x）的单调性（3）若f（x）有极值，求c的取值范围22如图所示，AB为圆O的直径，CB，CD为圆O的切线，B，D为切点（1）求证：ADOC；（2）若圆O的半径为2，求ADOC的值四.选做题23已知曲线C的极坐标方程是=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半

7、轴建立平面直角坐标系，直线L的参数方程为（t为参数）（1）写出直线L的普通方程与Q曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C，设M（x，y）为C上任意一点，求x2xy+2y2的最小值，并求相应的点M的坐标24（1）已知a，b都是正数，且ab，求证：a3+b3a2b+ab2；（2）已知a，b，c都是正数，求证：abc2016年海南省五指山中学高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合M=x|2x2，N=1，0，4，则MN=（）A1，0，4B1，0C0，4D2，1，0【考

8、点】交集及其运算【分析】直接利用集合的交集的运算法则，求解即可【解答】解：集合M=x|2x2，N=1，0，4，则MN=1，0故选：B2若复数z满足z（2i）=10+5i（i为虚数单位），则|z|=（）A25B10C5D【考点】复数求模【分析】法一：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出法二：利用复数模的运算法则即可得出【解答】解：法一：因为，所以法二：因为，所以，故选：C3设非负实数x，y满足，则z=3x+2y的最大值是（）A7B6C9D12【考点】简单线性规划【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=3x+2y过点B（1，2）时，z最大值即可【解答】解：根据约

9、束条件画出可行域直线z=3x+2y过点B，z取得最大值，由，解得，可得B（1，2）时，z最大值是7，故选：A4曲线y=ex+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和x=0围成的三角形面积为（）ABC1D2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程，求得与x轴、y轴的交点，由三角形的面积公式可得所求值【解答】解：y=ex+1的导数为y=ex，可得曲线y=ex+1在点（0，2）处的切线斜率为k=1，可得切线方程为y=x+2，即有与坐标轴的交点为（2，0）和（0，2），所以与坐标轴围成的三角形的面积为，故选：D5如图是一个算法的流程图，若输出的结

10、果是255，则判断框中的整数N的值为（）A6B7C8D9【考点】程序框图【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，A的值，当S=255时，由题意，此时不满足条件8N，退出循环，输出S的值为255，从而判断出判断框中整数N的值【解答】解：模拟执行程序，可得A=1，S=1满足条件AN，S=3，A=2满足条件AN，S=7，A=3满足条件AN，S=15，A=4满足条件AN，S=31，A=5满足条件AN，S=63，A=6满足条件AN，S=127，A=7满足条件AN，S=255，A=8由题意，此时不满足条件8N，退出循环，输出S的值为255，则判断框中的整数N的值应为7故选：B6圆心在抛物线x2=2

11、y上，并且和抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程是（）A（x2）2+（y1）2=4B（x1）2+（y）2=1C（x1）2+（y2）2=4D（x）2+（y1）2=1【考点】抛物线的简单性质；圆的标准方程【分析】由题意当a0时，可设圆心，代入抛物线方程可得：，解得a，即可得出圆的方程；当a0时，可设圆心，同理可得【解答】解：由题意当a0时，可设圆心，代入抛物线方程可得：，解得a=1，半径r=1，可得圆的方程为=1；当a0时，可设圆心，代入抛物线方程可得：，解得a=1，可得圆的方程为=1故选：B7一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）ABCD2【考点】由三视图求面积、体积【分析】三视

12、图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为正三棱柱【解答】解：该几何体为正三棱柱，其底面的边长为2，高为1；故其体积为V=21=，故选A8已知AE是ABC的中线，若A=120，=2，则|的最小值是（）A1B0C1D2【考点】平面向量数量积的运算【分析】运用向量的数量积的定义和中点的向量表示形式，及向量的平方即为模的平方，结合重要不等式即可得到最小值【解答】解：设AC=b，AB=c，又A=120，=2，则bccos120=2，即有bc=4，由AE是ABC的中线，则有=（+），即有=（+2）=（b2+c24）（2bc4）=（84）=1当且仅当b=c时，|

13、的最小值为1故选：C9ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则ABC的面积SABC=（）ABCD【考点】余弦定理；两角和与差的正切函数【分析】由题意和正切函数变形和三角形的内角和可得C值，由余弦定理可得b值，代入三角形面积公式可得【解答】解：ABC中，又由余弦定理可得，代入a=2，可得19=4+b2+2b，整理可得b2+2b15=0，解得b=3或b=5（舍去），故选：A10在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x2y=0，则它的离心率为（）A2BCD【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意可设双曲线方程为=1（a0，b0），渐近线方程为y=

14、x，由已知方程，可得b=2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到【解答】解：由双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，可设双曲线方程为=1（a0，b0），渐近线方程为y=x，由一条渐近线方程为x2y=0，即有=，即b=2a，则c=a，即有e=故选D11函数的图象如下，则f（0）+f（1）+f（2）+fA504B1008C2016D2017【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】由题意可得A和b值，再由周期性可得，代点可得值，可得解析式，计算可得f（0），f（1），f（2），f（3），由周期性可得【解答】解：由图象知，函数的周期T=4，由周期公式可得，当x=0时，=0，

15、故，f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=4，f（0）+f（1）+f（2）+f=2017，故选：D12已知函数f（x）=，若|f（x）|mx，则m的取值范围是（）A0，2B2，0C（，2D2，+）【考点】函数恒成立问题；分段函数的应用【分析】作出函数f（x）的图象，结合不等式恒成立，对m进行分类讨论即可得到结论【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：若m=0，则|f（x）|mx成立，若m0，由图象可知不等式|f（x）|mx不成立，若m0，当x0时，不等式|f（x）|mx成立，要使|f（x）|mx成立，则只需要当x0时|f（x）|mx成立，即|x2+2x|mx，即x22xmx，则x2（m+2）

16、x成立，x0，不等式x2（m+2）x等价为xm+2，即mx2恒成立，x0，x22，即此时2m0，综上2m0，故选：B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）13将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】首先求出所有的基本事件的个数，再从中找到2本数学书相邻的个数，最后根据概率公式计算即可【解答】解：2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有共有=6种结果，其中2本数学书相邻的有（数学1，数学2，语文），（数学2，数学1，语文），（语文，数学1，数学2），（语文，数

17、学2，数学1）共4个，故本数学书相邻的概率P=故答案为：14甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三所大学时，甲说：我去过的大学比乙多，但没去过A大学；乙说：我没去过B大学；丙说：我们三人去过同一所大学；由此可判断乙去过的大学为C【考点】进行简单的合情推理【分析】可先由乙推出，可能去过A大学或C大学，再由甲推出只能是B，C中的一个，再由丙即可推出结论【解答】解：由乙说：我没去过B大学，则乙可能去过A大学或C大学，但甲说：我去过的大学比乙多，但没去过A大学，则乙只能是去过B，C中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一大学，则由此可判断乙去过的大学为C故答案为：C15圆柱形容器内部盛有高度为8c

18、m的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是4cm【考点】组合几何体的面积、体积问题【分析】设出球的半径，三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可【解答】解：设球半径为r，则由3V球+V水=V柱可得3，解得r=4故答案为：416已知函数f（x）=x3+3x对任意的m2，2，f（mx2）+f（x）0恒成立，则x的取值范围【考点】二次函数的性质【分析】先利用函数的奇偶性的定义判断出函数的奇偶性，再由导数判断出函数的单调性，利用奇偶性将不等式进行转化，再利用单调性去掉不等式中的符号“f”，转化具体不等式，借助一次函数的性质可

19、得x的不等式组，解出可得答案【解答】解：由题意得，函数的定义域是R，且f（x）=（x）3+3（x）=（x3+3x）=f（x），所以f（x）是奇函数，又f（x）=3x2+30，所以f（x）在R上单调递增，所以f（mx2）+f（x）0可化为：f（mx2）f（x）=f（x），由f（x）递增知：mx2x，即mx+x20，则对任意的m2，2，f（mx2）+f（x）0恒成立，等价于对任意的m2，2，mx+x20恒成立，所以，解得2x，即x的取值范围是，故答案为：三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知数列an，bn满足下列条件：an=62n12，b1=1，an=bn+1bn（）求bn的通

20、项公式；（）比较an与2bn的大小【考点】数列递推式【分析】（）通过bn+1bn=62n12，利用bn=b1+（b2b1）+（b3b2）+（bnbn1）计算即可；（）通过计算可得2bnan=32n4（n+1），记cn=，利用10可得数列cn为递增数列，分n2、n=1、n=2三种情况讨论即可【解答】解：（）由已知，bn+1bn=62n12，bn=b1+（b2b1）+（b3b2）+（bnbn1）=1+（612）+（622）+（62n22）=1+6（1+2+2n2）2（n1）1+62（n1）=62n12n3；（）由题意可得2bnan=62n14（n+1）=32n4（n+1），设cn=，则1=1=1=

21、0，cn+1cn，即数列cn为递增数列，当n2时，cnc2=1，32n4（n+1），于是2bnan0，即an2bn，易知当n=1时，an2bn，当n=2时an=2bn18PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的数据如表：时间周一周二周三周四周五车流量x（万辆）5051545758PM2.5的浓度y（微克/立方米）6970747879（1）根据表数据，请在下列坐标系中画出散点图；（2）根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（3）若周六同一时间段车流量是2

22、5万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时PM2.5的浓度为多少（保留整数）？【考点】线性回归方程【分析】（1）利用描点法可得数据的散点图；（2）根据公式求出b，a，可写出线性回归方程；（3）根据（2）的性回归方程，代入x=25求出PM2.5的浓度【解答】解：（1）散点图如图所示（2），故y关于x的线性回归方程是：（3）当x=25时，y=1.2825+4.88=36.8837所以可以预测此时PM2.5的浓度约为3719如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，ABEF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1（1）求证：AF平面CBF；（2）设FC的中点

23、为M，求证：OM平面DAF；（3）设平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的体积分别为VFABCD，VFCBE，求VFABCD：VFCBE【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】（1）可以先由平面ABCD平面ABEF以及CBAB证得CB平面ABEF，AFCB又因为AB为圆O的直径AFBF，就可证：AF平面CBF；（2）取DF的中点为N，利用MNAOMNAO为平行四边形OMAN即可既用线线平行来证线面平行（3）先把两个锥体的体积套公式求出来，就可求出其体积之比【解答】解：（1）证明：由平面ABCD平面ABEF，CBAB，平面ABCD平面ABEF=AB，得CB平面ABEF，而AF平面A

24、BEF，所以AFCB又因为AB为圆O的直径，所以AFBF，又BFCB=B，所以AF平面CBF（2）证明：设DF的中点为N，连接AN，MN则MNCD，又AOCD则MNAO，所以四边形MNAO为平行四边形，所以OMAN，又AN平面DAF，OM平面DAF，所以OM平面DAF（3）过点F作FGAB于G，因为平面ABCD平面ABEF，所以FG平面ABCD，所以因为CB平面ABEF，所以所以VFABCD：VFCBE=4：120已知抛物线C：y2=2px（p0）上的点（2，a）到焦点F的距离为3（）求抛物线的方程；（）设动直线l与抛物线C相切于点A，且与其准线相交于点B，问在坐标平面内是否存在定点D，使得以

25、AB为直径的圆恒过定点D？若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程【分析】（）根据抛物线上的点到焦点F的距离求出p的值，即可确定出抛物线的方程；（）设动直线l方程为x=ty+b，表示出B坐标，联立l与抛物线解析式，消去x得到关于y的方程，根据根的判别式等于0得出t与b的关系式，进而设出A与D的坐标，表示出向量与向量，根据圆周角定理得到两向量垂直，即数量积为0，列出关系式，确定出当m=1，n=0时，上式对任意xR恒成立，即可得出使得以AB为直径的圆恒过点D，以及此时D的坐标【解答】解：（）由条件得到=1，即p=2，则抛物线的方程为y2=4x；（）设

26、动直线l方程为x=ty+b（t0），可得B（1，），联立得：，消去x得：y2=4（ty+b），=16t2+16b=0，即b=t2，设A（t2，2t），D（m，n），=（mt2，n2t），=（m+1，n+），D在以AB为直径的圆上，=0，即（mt2）（m+1）+（n2t）（n+）=0，整理得：（1m）t23nt+（m2+m+n22）=0，当且仅当m=1，n=0时，上式对任意xR恒成立，则存在D（1，0），使得以AB为直径的圆恒过点D21已知函数f（x）=aexbexcx（a，b，cR）的导函数f（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线的斜率为2c（1）确定a，b的值（2）当c

27、=1时，判断f（x）的单调性（3）若f（x）有极值，求c的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求函数的导数，根据导函数f（x）为偶函数以及到是的几何意义，建立方程关系即可确定a，b的值（2）当c=1时，求函数的导数，得到f（x）0，即可判断f（x）的单调性（3）若f（x）有极值，求函数的导数，讨论c的取值范围即可，求c的取值范围【解答】解：（1）函数的导数f（x）=aex+bexc，f（x）为偶函数，f（x）=f（x），即aex+bexc=aex+bexc，即（ab）（exbex）=0恒成立，则ab=0，即a=by=f（

28、x）在点（0，f（0）处的切线的斜率为2cf（0）=a+bc=2ac=2c，2a=2，a=1，则a=1，b=1（2）当c=1时，f（x）=exexx，f（x）=ex+ex121=21=10，f（x）在R上单调递增（3）f（x）=ex+exc，而ex+ex2=2，当x=0时取等号，下面分三种情况讨论，当c2时，f（x）=ex+exc2c0恒成立，此时函数单调递增，无极值，不满足条件当c=2时，对任意的x0时，f（x）=ex+exc2c0恒成立，此时函数单调递增，无极值，不满足条件当c2时，令t=ex，则由f（x）=ex+exc=t+c=0，即t2ct+1=0有两个根，t1=t2=，f（x）=0有

29、两个根x1=lnt1，x2=lnt2，当x1xx2时，f（x）0，当xx2时，f（x）0，从而f（x）在x=x2取得极小值，综上若f（x）有极值，则c的取值范围（2，+）22如图所示，AB为圆O的直径，CB，CD为圆O的切线，B，D为切点（1）求证：ADOC；（2）若圆O的半径为2，求ADOC的值【考点】相似三角形的性质【分析】（1）连接BD，OD，利用切线的性质，证明BDOC，利用AB为直径，证明ADDB，即可证明ADOC；（2）证明RtBADRtCOB，可得，即可求ADOC的值【解答】（1）证明：连接BD，OD，CB，CD是圆O的两条切线，BDOC，又AB为直径，ADDB，ADOC（2）解

30、：ADOC，DAB=COB，RtBADRtCOB，ADOC=ABOB=8四.选做题23已知曲线C的极坐标方程是=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线L的参数方程为（t为参数）（1）写出直线L的普通方程与Q曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C，设M（x，y）为C上任意一点，求x2xy+2y2的最小值，并求相应的点M的坐标【考点】椭圆的参数方程【分析】（1）直接消去参数t得直线l的普通方程，根据2=x2+y2可得曲线C的直角坐标方程；（2）先根据伸缩变换得到曲线C的方程，然后设M（2cos，sin），则x=2cos，y=sin代入，根据三角函数的性质可

31、求出所求【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t得直线l的普通方程为，=2，曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4；（2）曲线C：x2+y2=4经过伸缩变换得到曲线C，C：，设M（2cos，sin）则x=2cos，y=sin，当=+k，kZ时，即M为（）或时的最小值为124（1）已知a，b都是正数，且ab，求证：a3+b3a2b+ab2；（2）已知a，b，c都是正数，求证：abc【考点】不等式的证明【分析】（1）由条件ab推出：a22ab+b20，通过变形，应用不等式的性质可证出结论；（2）利用基本不等式，再相加，即可证明结论【解答】证明：（1）ab，ab0，a22ab+b20，a2ab+b2ab而a，b均为正数，a+b0，（a+b）（a2ab+b2）ab（a+b）a3+b3a2b+ab2 成立；（2）a，b，c都是正数，a2b2+b2c22acb2，a2b2+c2a22bca2，c2a2+b2c22abc2，三式相加可得2（a2b2+b2c2+c2a2）2abc（a+b+c），a2b2+b2c2+c2a2）abc（a+b+c），abc2016年7月22日