湖北省2012高考数学压轴题 4 抽象函数.doc

1、4 抽象函数1. 设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1、x20,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),且f(1)=a0.(1)求f()、f();(2)证明f(x)是周期函数；(3)记an=f(n+),求解：(1)因为对x1,x20,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),所以f(x)=0,x0,1又因为f(1)=f(+)=f()f()=f()2，f()=f(+)=f()f()=f（）2又f(1)=a0f()=a,f()=a证明：(2)依题意设y=f(x)关于直线x=1对称，故f(x)=f(1+1x),即f(x)=f(2x),xR.又由f(x)是偶函数知

2、f(x)=f(x),xRf(x)=f(2x),xR.将上式中x以x代换得f(x)=f(x+2)，这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期.解：(3)由(1)知f(x)0,x0,1f()=f(n)=f(+(n1) )=f()f(n1)=f()f()f()=f()=a，f()=a.又f(x)的一个周期是2f(2n+)=f(),因此an=a，例2. 定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有，且当x0时，0f(x)1。（1）判断f(x)的单调性；（2）设，若，试确定a的取值范围。解：（1）在中，令，得，因为，所以。在中，令因为当时，所以当时而，所以又当x=0时，所以，综上可知，对于任意，均有。设，则所以所以在R上为减函数。（2）由于函数y=f(x)在R上为减函数，所以即有，又，根据函数的单调性，有由，所以直线与圆面无公共点。因此有，解得。