江苏省无锡市江阴市四校联考2015-2016学年高一下学期期中数学试卷 WORD版含解析.doc

1、2015-2016学年江苏省无锡市江阴市四校联考高一（下）期中数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1不等式（x1）（x+1）0的解集为2已知ABC中，A=45，B=60，那么a=3等比数列an中，a3=2，a7=8，则a5=4数列an满足a1=3，=5（nN+），则an=5若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a1）y+（a21）=0平行则实数a=6已知二次函数f（x）=ax2+bx+1，若f（1）=1且f（x）2恒成立，则实数a的取值范围是7ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，ab=60，面积SABC=15，ABC外接圆半径为，则c=8若直线l的

2、斜率k的变化范围是，则l的倾斜角的范围为9在ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c若角A、B、C成等差数列，且边a、b、c成等比数列，则ABC的形状为10数列an满足+=3n+1，则数列an的通项公式为an=11已知关于x的不等式axb0的解集是（3，+），则关于x的不等式0的解集是12一船以24km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30方向上，15min后到点B处望见灯塔在船的北偏东75方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是km13把数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，按此规律下去，即，则第6个括号内各数字之和为14已知数列an是各

3、项均不为0的等差数列，Sn为其前n项和，且满足an2=S2n1（nN+）若不等式对任意的nN+恒成立，则实数的最大值为二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15已知直线l过点P（2，3），根据下列条件分别求出直线l的方程：（1）直线l的倾斜角为120；（2）l与直线x2y+1=0垂直；（3）l在x轴、y轴上的截距之和等于016在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB=bcosC（1）求角B的大小；（2）若b=7，a+c=8，求a、c的值17已知等差数列an中，a2=5，S5=40等比数列bn中，b1

4、=3，b4=81，（1）求an和bn的通项公式 （2）令cn=anbn，求数列cn的前n项和Tn18已知函数f（x）=ax2+xa，aR（1）若不等式f（x）有最大值，求实数a的值；（2）若不等式f（x）2x23x+12a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（3）若a0，解不等式f（x）119如图，在RtABC中，ACB=，AC=3，BC=2，P是ABC内一点（1）若P是等腰三角形PBC的直角顶角，求PA的长；（2）若BPC=，设PCB=，求PBC的面积S（）的解析式，并求S（）的最大值20对于给定数列cn，如果存在实常数p，q使得cn+1=pcn+q对于任意nN*都成立，我们称数列cn是

5、“Q类数列”（1）若an=3n，bn=35n，nN*，数列an、bn是否为“Q类数列”？若是，指出它对应的实常数p，q，若不是，请说明理由；（2）证明：若数列an是“Q类数列”，则数列an+an+1也是“Q类数列”；（3）若数列an满足a1=2，an+an+1=3t2n（nN*），t为常数求数列an前2015项的和并判断an是否为“Q类数列”，说明理由2015-2016学年江苏省无锡市江阴市四校联考高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1不等式（x1）（x+1）0的解集为（1，1）【考点】一元二次不等式的解法【分析】利用一元二次不等式（x

6、x1）（xx2）0（x1x2）的解集是x|x1xx2即可求出【解答】解：不等式（x1）（x+1）0，1x1，原不等式的解集为（1，1）故答案为：（1，1）2已知ABC中，A=45，B=60，那么a=【考点】正弦定理【分析】使用正弦定理列方程解出【解答】解：由正弦定理得：，即，解得a=故答案为3等比数列an中，a3=2，a7=8，则a5=4【考点】等比数列的通项公式【分析】等比数列an中，由a3=2，a7=8，利用等比数列的通项公式，列出方程组，解得a1=1，q4=4，由此能求出a5【解答】解：等比数列an中，a3=2，a7=8，解得a1=1，q4=4，a5=a1q4=14=4故答案为：44数列

7、an满足a1=3，=5（nN+），则an=【考点】数列递推式；等差数列的通项公式【分析】根据所给的数列的递推式，看出数列是一个等差数列，根据所给的原来数列的首项看出等差数列的首项，根据等差数列的通项公式写出数列，进一步得到结果【解答】解：根据所给的数列的递推式数列是一个公差是5的等差数列，a1=3，=，数列的通项是故答案为：5若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a1）y+（a21）=0平行则实数a=1【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】由直线的平行关系可得a的方程，解方程验证可得【解答】解：直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a1）y+（a21）=0平行，a（

8、a1）21=0，解得a=1或a=2，经验证当a=2时，直线重合，a=1符合题意，故答案为：16已知二次函数f（x）=ax2+bx+1，若f（1）=1且f（x）2恒成立，则实数a的取值范围是（4，0【考点】二次函数的性质【分析】f（x）2可化为ax2+ax10讨论a是否为0，不为0时，根据开口方向和判别式建立不等式组，解之即可求出所求【解答】解：f（1）=1，ab+1=1，b=a，f（x）2可化为ax2+ax10当a=0时，10恒成立，故满足条件；当a0时，对于任意实数x，不等式ax2ax10恒成立则，解得4a0综上所述，4a0故答案为：（4，07ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，a

9、b=60，面积SABC=15，ABC外接圆半径为，则c=3【考点】正弦定理【分析】由题意和三角形的面积公式可得sinC，再由正弦定理可得c值【解答】解：ABC中ab=60，面积SABC=15，S=absinC=60sinC=15，解得sinC=，ABC外接圆半径R=，由正弦定理可得c=2RsinC=2=3故答案为：38若直线l的斜率k的变化范围是，则l的倾斜角的范围为0，）【考点】直线的倾斜角【分析】由直线的斜率范围，得到倾斜角的正切值的范围，利用正切函数的单调性并结合倾斜角的范围，最后确定倾斜角的具体范围【解答】解：设直线的倾斜角为，则0，），由1k，即1tan，当0tan，时，0，；当1t

10、an0时，），0，）；故答案为0，）9在ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c若角A、B、C成等差数列，且边a、b、c成等比数列，则ABC的形状为等边三角形【考点】正弦定理【分析】由等差数列和三角形内角和可得B=，再由等比数列和余弦定理可得a=c，可得等边三角形【解答】解：在ABC中角A、B、C成等差数列，2B=A+C，由三角形内角和可得B=，又边a、b、c成等比数列，b2=ac由余弦定理可得b2=a2+c22accosB，ac=a2+c2ac，即a2+c22ac=0，故（ac）2=0，可得a=c，故三角形为：等边三角形，故答案为：等边三角形10数列an满足+=3n+1，则数列an

11、的通项公式为an=（2n1）23n【考点】数列的求和【分析】利用方程组法，两式相减可求数列an的通项公式【解答】解：数列an满足+=3n+1则有： +=3n，由可得： =3n+13n=23nan=（2n1）23n故答案为：（2n1）23n11已知关于x的不等式axb0的解集是（3，+），则关于x的不等式0的解集是（3，2）【考点】其他不等式的解法；一次函数的性质与图象【分析】由题意可得a0，且 =3可得关于x的不等式0，即0，即（x+3）（x2）0，由此求得它的解集【解答】解：关于x的不等式axb0，即 axb的解集是（3，+），a0，且 =3关于x的不等式0，即0，即0，即 （x+3）（x2

12、）0，求得3x2，故答案为：（3，2）12一船以24km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30方向上，15min后到点B处望见灯塔在船的北偏东75方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是3km【考点】解三角形的实际应用【分析】作出图形，则AB=6，A=30，ABS=105，利用正弦定理解出BS【解答】解：由题意可知AB=24=6km，A=30，ABS=18075=105，ASB=180AABS=45，在ABS中，由正弦定理得，即，解得BS=3故答案为：313把数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，按此规律下去，即，则第6个括号内各数字之和为【考点】归

13、纳推理【分析】利用裂项相消法，求出前面6个括号的数的总和，及前5个括号数的总和，相减可得答案【解答】解：=，故数列的前n项和Sn=1+=1=，由于第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，故前6个括号的数共有1+2+3+4+5+6=21个，前面6个括号的数的总和为：S21=，故前5个括号的数共有1+2+3+4+5=15个，前面5个括号的数的总和为：S15=，故第6个括号内各数字之和为=，故答案为14已知数列an是各项均不为0的等差数列，Sn为其前n项和，且满足an2=S2n1（nN+）若不等式对任意的nN+恒成立，则实数的最大值为【考点】数列递推式【分析】通过在a

14、n2=S2n1中令n=1、2，计算可知数列的通项an=2n1，进而问题转化为求f（n）=的最小值，对n的值分奇数、偶数两种情况讨论即可【解答】解：an2=S2n1，a12=S1=a1，又an0，a1=1，又a22=S3=3a2，a2=3或a2=0（舍），数列an的公差d=a2a1=31=2，an=1+2（n1）=2n1，不等式对任意的nN+恒成立，即不等式对任意的nN+恒成立，小于等于f（n）=的最小值，当n为奇数时，f（n）=n随着n的增大而增大，此时f（n）min=f（1）=14=；当n为偶数时，f（n）=n+，此时f（n）min；综合、可知，故答案为：二、解答题：本大题共6小题，共计90

15、分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15已知直线l过点P（2，3），根据下列条件分别求出直线l的方程：（1）直线l的倾斜角为120；（2）l与直线x2y+1=0垂直；（3）l在x轴、y轴上的截距之和等于0【考点】待定系数法求直线方程【分析】（1）求出斜率，利用点斜式即可得出；（2）l与直线x2y+1=0垂直，可得直线l的斜率k=2，利用点斜式即可得出（3）对直线是否经过原点分类讨论即可得出【解答】解：（1）直线l的倾斜角为120，可得斜率k=tan120=，由点斜式可得：y3=（x2），可得：直线l的方程为（2）l与直线x2y+1=0垂直，可得直线l的斜率k=2

16、，由点斜式可得：y3=2（x2），可得：直线l的方程为2x+y7=0（3）当直线l经过原点时在x轴、y轴上的截距之和等于0，此时直线l的方程为；当直线l经不过原点时，设直线l的方程为，因为P（2，3）在直线l上，所以，a=1，即xy+1=0，综上所述直线l的方程为3x2y=0或xy+1=016在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB=bcosC（1）求角B的大小；（2）若b=7，a+c=8，求a、c的值【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由正弦定理及三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得：2sinAcosB=sinA，结合sinA0，即可解得B的值（2）利用余

17、弦定理及（1）可得b2=49=64ac，可得ac=15，结合a+c=8，即可求得a、c的值【解答】解：（1）由正弦定理可得：（2sinA+sinC）cosB=sinBcosC，2sinAcosB=sinBcosCcosBsinC=sin（B+C）=sinA，又sinA0，B（0，），（2）b2=49=a2+c22accosB=a2+c2+ac=（a+c）2ac=64ac，ac=15，又a+c=8，17已知等差数列an中，a2=5，S5=40等比数列bn中，b1=3，b4=81，（1）求an和bn的通项公式 （2）令cn=anbn，求数列cn的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（

18、1）利用等差数列的通项与求和公式，建立方程，求出首项与公差，即可求数列an的通项；利用等比数列的通项公式，可求数列bn的通项公式；（2）利用错位相减法，可求数列anbn的前n项和Tn【解答】解：（1）设公差为d，则由a2=5，S5=40，得：，解得，则an=3n1（2）q=3（3）：18已知函数f（x）=ax2+xa，aR（1）若不等式f（x）有最大值，求实数a的值；（2）若不等式f（x）2x23x+12a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（3）若a0，解不等式f（x）1【考点】二次函数的性质；函数恒成立问题【分析】（1）由=，解出即可；（2）通过讨论a的范围，得不等式组，解出即可；（3

19、）问题者解不等式（x1）（ax+a+1）0，通过讨论a的范围，从而求出不等式的解集【解答】解：（1）由题意a0，且=，解得：a=2或a=；（2）由f（x）2x23x+12a，得（a+2）x2+4x+a10，若a=2，不等式4x30不对一切实数x恒成立，舍去，若a2，由题意得，解得：a2，故a的范围是：（2，+）；（3）不等式为ax2+xa10，即（x1）（ax+a+1）0，a0，（x1）（x+）0，1（）=，a0时，1，解集为：x|1x，a=时，（x1）20，解集为，a时，1，解集为x|x119如图，在RtABC中，ACB=，AC=3，BC=2，P是ABC内一点（1）若P是等腰三角形PBC的直

20、角顶角，求PA的长；（2）若BPC=，设PCB=，求PBC的面积S（）的解析式，并求S（）的最大值【考点】余弦定理；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；正弦定理【分析】（1）由三角形PBC为等腰直角三角形，利用勾股定理求出PC的长，在三角形PAC中，利用余弦定理求出PA的长即可；（2）在三角形PBC中，由BPC与PCB的度数表示出PBC的度数，利用正弦定理表示出PB与PC，进而表示出三角形PBC面积，利用正弦函数的值域确定出面积的最大值即可【解答】解：（1）P为等腰直角三角形PBC的直角顶点，且BC=2，PCB=，PC=，ACB=，ACP=，在PAC中，由余弦定理得：PA2=AC2+P

21、C22ACPCcos=5，整理得：PA=；（2）在PBC中，BPC=，PCB=，PBC=，由正弦定理得： =，PB=sin，PC=sin（），PBC的面积S（）=PBPCsin=sin（）sin=sin（2+），（0，），则当=时，PBC面积的最大值为20对于给定数列cn，如果存在实常数p，q使得cn+1=pcn+q对于任意nN*都成立，我们称数列cn是“Q类数列”（1）若an=3n，bn=35n，nN*，数列an、bn是否为“Q类数列”？若是，指出它对应的实常数p，q，若不是，请说明理由；（2）证明：若数列an是“Q类数列”，则数列an+an+1也是“Q类数列”；（3）若数列an满足a1=2

22、，an+an+1=3t2n（nN*），t为常数求数列an前2015项的和并判断an是否为“Q类数列”，说明理由【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）an=3n，则an+1=an+3，nN*由bn=35n，nN*，可得bn+1=5bn，nN*利用“Q类数列”定义即可判断出；（2）若数列an是“Q类数列”，则存在实常数p，q，使得an+1=pan+q对于任意nN*都成立，且有an+2=pan+1+q对于任意nN*都成立，即可证明；（3）an+an+1=3t2n（nN*），t为常数，可得a2+a3=3t22，a4+a5=3t24，a2014+a2015=3t22014利用等比数列的前n项和公式

23、可得数列an前2015项的和S2015=2+t若数列an是“Q类数列”，则存在实常数p，q使得an+1=pan+q对于任意nN*都成立，且有an+2=pan+1+q对于任意nN*都成立，因此（an+1+an+2）=p（an+an+1）+2q对于任意nN*都成立，可得3t2n+1=3t2n+2q对于任意nN*都成立，可以得到t（p2）=0，q=0，分类讨论即可得出【解答】（1）解：an=3n，则an+1=an+3，nN*，故数列an是“Q类数列”，对应的实常数分别为1，3 bn=35n，nN*，则bn+1=5bn，nN*故数列bn是“Q类数列”，对应的实常数分别为5，0（2）证明：若数列an是“

24、Q类数列”，则存在实常数p，q，使得an+1=pan+q对于任意nN*都成立，且有an+2=pan+1+q对于任意nN*都成立，因此（an+1+an+2）=p（an+an+1）+2q对于任意nN*都成立，故数列数列an+an+1也是“Q类数列”，对应的实常数分别为p，2q （3）解：an+an+1=3t2n（nN*），t为常数， 则a2+a3=3t22，a4+a5=3t24，a2014+a2015=3t22014故数列an前2015项的和S2015=2+3t（22+24+22014）=2+=2+t若数列an是“Q类数列”，则存在实常数p，q使得an+1=pan+q对于任意nN*都成立，且有an+2=pan+1+q对于任意nN*都成立，因此（an+1+an+2）=p（an+an+1）+2q对于任意nN*都成立，而，且an+1+an+2=3t2n+1，则3t2n+1=3t2n+2q对于任意nN*都成立，可以得到t（p2）=0，q=0，（1）当p=2，q=0时，an+1=2an，t=1，经检验满足条件（2）当t=0，q=0 时，an+1=an，an=2（1）n1，p=1经检验满足条件因此当且仅当t=1或t=0，时，数列an也是“Q类数列” 对应的实常数分别为2，0，或1，02017年1月4日