湖北省八校2015届高三第一次联考数学理试题 WORD版含解析.doc

1、湖北省八校高三第一次联考【试卷综述】试题遵循了考查基础知识和基本技能为主体的原则，着重体现了对“双基”的考查。整份试卷中大部分是基础题目，这些题目的设计回归教材和中学教学实际，以自然但不俗套的形式呈现，既保证了高考试题的创新性，又让考生能以一种平和的心态面对试题，从而保证了考试较高的信度和效度。【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1已知复数R)，若为纯虚数，则 AB C2D【知识点】复数的运算 L4【答案】【解析】D 解析：由于为纯虚数,则,则,故选择D.【思路点拨】由复数的运算法则可进行分母实数化运算，化简

2、求出字母a的值，再求复数的模.【题文】2如图给出的是计算的值的程序框图，其中 判断框内应填入的是 A B C D 【知识点】程序框图 L1【答案】【解析】B 解析：由程序知道,都应该满足条件,不满足条件,故应该选择B.【思路点拨】根据程序运算可直接代入数值求出结果.【题文】3设，则二项式展开式中含 项的系数是 AB193 CD7【知识点】定积分 二项式定理 B13 J3【答案】【解析】A 解析：由于则含项的系数为,故选择A.【思路点拨】根据定积分的运算求出a的值，再找出二项式中的特定项.【题文】4棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个 几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是 A

3、 B4 C D3【知识点】三视图 G2【答案】【解析】B 解析：几何体如图，体积为：,故选择B【思路点拨】由几何体的三视图画出直方图，再根据公式求出体积.【题文】5“且”是“”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件D既非充分条件也非必要条件【知识点】充分条件、必要条件. A2【答案】【解析】D 解析：推不出，例如时，也推不出，所以“且”是“” 既非充分条件也非必要条件，所以选D 【思路点拨】根据两条件的相互关系可判定它们非充分与非必要条件.【题文】6已知实数等比数列an的前n项和为Sn，则下列结论中一定成立的 A若，则 B若，则 C若，则D若，则【知识点】数列 D3【答案】【解析】

4、C 解析：设，因为所以A,B不成立，对于C,当时，因为同号，所以，所以C正确，对于D,取-1，1，-1，1 ，不满足条件，D错，故选C.【思路点拨】根据等比数列的定义可判定正确选项.【题文】7用表示非空集合A中的元素个数，定义若， ，且，由a的所有可能值构成的集合为S，那么C(S)等于 A 1 B2 C3 D4【知识点】新定义运算 B5【答案】【解析】A 解析：由于的根可能是2个，3个，4个，而，故只有3个根，故故选A【思路点拨】由题意中所定义的运算可直接求出根的个数，再找出正确结果.【题文】8已知x, y, R，且，则的最小值是 A20 B25 C36 D47【知识点】不等式 E6【答案】【

5、解析】C 解析：由于 则(当且仅当即时取等号.故选C【思路点拨】根据式子的特点列出不等式，再由不等式成立的条件求出结果.【题文】9已知抛物线的一条过焦点F的弦PQ，点R在直线PQ上，且满足，R在抛物线准线上的射影为S，设，是PQS中的两个锐角，则下列四个式子 中一定正确的有 A1个 B2个 C3个 D4个【知识点】抛物线 H7【答案】【解析】C 解析：由于PQS是直角三角形，则，故都对， 当PQ垂直对称轴时，故选C【思路点拨】根据抛物线的概念与性质，可求出三角形的性质，再判定结果.【题文】10设定义在D上的函数在点处的切线方程为，当时，若在D内恒成立，则称P为函数的“类对称点”，则的“类对称点

6、”的横坐标是 A1 B Ce D【知识点】导数 B11【答案】【解析】B 解析：由于，则在点P处切线的斜率.所以切线方程为 ， 则，.当时，在上单调递减，所以当时， 从而有时，；当时，在上单调递减，所以当时， 从而有时，；所以在上不存在“类对称点”. 当时，所以在上是增函数，故 所以是一个类对称点的横坐标. （可以利用二阶导函数为0，求出，则）故选择B【思路点拨】由导数的运算，判定函数的单调性，再根据函数的性质判定结果.【题文】二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分（一）必考题（1114题）【

7、题文】11随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P，则点P到三个顶点的距离都不小于1的概率是_【知识点】概率 K1【答案】【解析】 解析：分别以三角形的三个顶点为圆心，1为半径作圆，则在三角形的内部且在三圆外部的区域即为与三角形三个顶点距离不小于1的部分，即【思路点拨】根据几何关系先求出各部分的面积，再写出公式.【题文】12已知直线过点，若可行域的外接圆直径为20，则n=_【知识点】线性规划 E5【答案】【解析】 解析：作图可知，则【思路点拨】根据题意可直接列出关系式求出n的值.【题文】13已知函数，将f(x)的图像与x轴围成的封闭图形绕x轴旋转一周，则所得旋转体的体积为_【知识点】旋转体 G

8、8【答案】【解析】 解析：将的图像与轴围成的封闭图形绕轴旋转一周，所得旋转体为一个圆锥和一个半个球的组合体，其中球的半径为2，棱锥的底面半径为2，高为1，所以所得旋转体的体积为【思路点拨】由题意可求出组合体的体积.【题文】14以(0, m)间的整数N)为分子，以m为分母组成分数集合A1，其所有元素和为a1；以间的整数N)为分子，以为分母组成不属于集合A1的分数集合A2，其所有元素和为a2；，依次类推以间的整数N)为分子，以为分母组成不属于A1，A2， 的分数集合An，其所有元素和为an；则=_【知识点】数列求和 D4【答案】【解析】C 解析：由题意+=+ -(+)+ -a1a3+ -a2-a1

9、an+ -an-1-a2-a1所以=+=1+2+(mn-1)【思路点拨】根据数列的特点，求出数列的所有项的和.(二）选考题(从两个小题中选择一个小题作答，两题都作答的按15题记分)【题文】15（选修4-1：几何证明选讲）如图，C是以AB为直径的半圆O上的一 点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BCOD .若 AD =AB= 2，则EB=_【知识点】几何证明 N1【答案】【解析】 解析：连接则则则，则是半圆的切线设，由BCOD得，则，则，则【思路点拨】根据直线与圆的关系可求出.【题文】16（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系内，已知曲线C1的方程 为，以极点为原点，极轴方向为

10、正 半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C2的参数 方程为(为参数)设点P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的两条切线，则这两条切线所成角余弦的最小值是_【知识点】参数方程 N3【答案】【解析】 解析：曲线的一般方程为：即，圆心为半径为1，曲线的一般方程为：点到直线的距离是：则这两条切线所成角余弦的最小值是【思路点拨】根据参数方程可求出一般方程，再根据直线与圆的关系可求出结果.【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.源【题文】17（本小题满分12分）已知ABC的三内角A, B, C所对边的长依次为a,b,c，若， （）求； （）若，

11、求ABC的面积【知识点】正弦定理；平面向量数量积的运算C8 F3【答案】【解析】（）;（）解析：( I )依题设：sinA，sinC， 故cosBcos(AC)cos (AC)(cosAcosC-sinAsinC)(). 则:sinB 所以4:5:66分 ( II ) 由( I )知：4:5:6， 不妨设：a4k，b5k，c6k，k0.故知：|b5k，|a4k. 依题设知：|2|22|cosC46 46k246，又k0k1. 故ABC的三条边长依次为：a4，b5，c6. ABC的面积是12分【思路点拨】（）A，C为三角形内角，先求出sinA，sinC，由cosB=cos-（A+C）展开即可求出

12、cosB的值，从而可求出sinB，由正弦定理即可求出a：b：c的值；（）由正弦定理和已知可求出a，b，c的值，即可求出ABC的面积【题文】18（本小题满分12分）有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一组组成.第一排明文字符ABCD密码字符11121314第二排明文字符EFGH密码字符21222324第三排明文字符MNPQ密码字符1234 设随机变量表示密码中所含不同数字的个数. （）求； （）求随

13、机变量的分布列和它的数学期望【知识点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率K1 K6【答案】【解析】（）;（） 解析：（I）密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1，2列分别总1，2，即只能取表格第1，2列中的数字作为密码. 4分（II）由题意可知，的取值为2，3，4三种情形.若，注意表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字2则密码中只可能取数字1，2， 3或1，2，4.若（或用求得）. 8分 的分布列为： 12分【思路点拨】（）密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1，2列分别总是1，2，即只能取表格第1，2列中的数字作为密码

14、，由此可求P（=2）；（）取得的取值，分别求出相应的概率，即可得到的概率分布列和它的数学期望【题文】19（本小题满分12分）如图1，平面四边形ABCD关于直线AC对称，把ABD沿BD折起（如图2），使二面角为直二面角如图2， （）求AD与平面ABC所成的角的余弦值； （）求二面角的大小的正弦值【知识点】空间中的线面角的求法；二面角的求法.G4 G11【答案】【解析】（）（） 解析：如图2所示，以的中点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则 , （）设面的法向量为 取有 , 与面所成角的余弦值是. 6分 （）同理求得面的法向量为 ，则 则二面角的正弦值为.

15、12分【思路点拨】（）先建立空间直角坐标系，再写出点坐标，进而利用公式求出线面角；（）直接代入公式求出二面角即可。【题文】20（本小题满分12分）已知等比数列an的公比，前n项和为Sn，S3=7，且，成等差数列，数列bn的前n项和为Tn，其中N （）求数列an的通项公式； （）求数列bn的通项公式； （）设，求集合C中所有元素之和【知识点】等差、等比数列的通项公式；数列的求和.D2 D3 D4【答案】【解析】（）；（）；（）解析：（）, ，成等差数列，, -得：，即 又由得，消去得：，解得或（舍去）。（）当时，当时，当时，即，即，（）A与B的公共元素有1,4,16,64，其和为85，集合C中所

16、有元素之和为。【思路点拨】（）利用，成等差数列，联立解方程组即可；（）直接使用叠乘法即可求得结果；（）利用数列的求和公式即可。【题文】21（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦AB与CD当直线AB斜率为0时， （）求椭圆的方程； （）求由A，B，C，D四点构成的四边形的面积的取值范围【知识点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的综合应用.H5 H8【答案】【解析】（）;（） 解析：（）由题意知，则， 所以所以椭圆的方程为 4分 （） 当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在， 由题意知； 5分 当两弦斜率均存在且不为0时，设， 且设直线

17、的方程为， 则直线的方程为 将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得，所以 8分 同理， 9分 所以 ， 当且仅当时取等号 11分 综合与可知， 13分【思路点拨】（）根据题意列出关于a,b,c的方程，解方程组即可；（） 当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，易求由题意知；当两弦斜率均存在且不为0时，设，且设直线的方程为， 则直线的方程为将直线的方程代入椭圆方程中，并整理成关于x的一元二次方程，利用弦长公式求出AB,CD,在利用基本不等式即可。【题文】22（本小题满分14分）已知，设函数 （）若在(0, 2)上无极值，求t的值； （）若存在，使得是在0, 2上的最大值，求t的取值范围；

18、（）若为自然对数的底数)对任意恒成立时m的最大值为1，求t的取值范围【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性B12【答案】【解析】（）1;（）（） 解析：（），又在(0, 2)无极值 3分 （）当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增， 由得：在时无解 当时，不合题意； 当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增， 即 当时，在单调递增，在单调递减，满足条件 综上所述：时，存在，使得是在0,2上的最大值. 8分（）若对任意恒成立，即对任意恒成立，令，由于m的最大值为1，则恒成立，否则存在使得，则当时，不恒成立，由于，则， 10分当时，则，若，则在上递减，在递增，即，在上是递增函数，满足条件，t的取值范围是。 14分【思路点拨】（）求导数，利用f（x）在（0，2）上无极值，即可求t的值；（）分类讨论，利用函数的单调性，结合f（x0）是f（x）在0，2上的最值，即可求t的取值范围；（）对原函数求导转化为不等式恒成立的问题，再利用导数结合单调性即可。