江西省2022年高考数学二轮复习 小题精做系列专题13.docx

1、江西省2022年高考数学二轮复习 小题精做系列专题131设f(x)与g(x)是定义在同一区间a，b上的两个函数，若函数yf(x)g(x)在xa，b上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在a，b上是“关联函数”，区间a，b称为“关联区间”若f(x)x23x4与g(x)2xm在0,3上是“关联函数”，则m的取值范围是()A. B1,0 C(，2 D. 【答案】A2已知以为周期的函数，其中。若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（ ）A BC D. 【答案】B【考点定位】考察学生运用函数的图像分析函数图像和性质的能力，考察数形结合的能力. 3定义在上的可导函数，当时，恒成立，则的大小关系为 （ ）

2、A B C D 【答案】A4设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是A.当时， B. 当时，C. 当时， D. 当时，【答案】：B【考点定位】本题从最常见了两类函数出发进行了巧妙组合，考查数形结合思想、分类讨论思想，函数与方程思想等，难度很大，不易入手,具有很强的区分度5已知函数,设函数，且函数的零点均在区间内，则的最小值为（ ） A、11 B、10 C、9 D、8【答案】B【解析】试题分析：零点在上，函数，且函数的零点均在区间内，的零点在上，的零点在上，的最小值为【考点定位】1、导数的应用, 2、根的存在性定理.6已知数列an：，依它的前10项的规律，则a99a10

3、0的值为( )A. B. C. D.【答案】A【考点定位】数列及归纳推理.7现有两个命题：（1）若，且不等式恒成立，则的取值范围是集合；（2）若函数，的图像与函数的图像没有交点，则的取值范围是集合；则以下集合关系正确的是（ ）A B. C. D.【答案】C【解析】对（2）：作出函数，的图像与函数的图像如图所示：对求导得：.由得.由此得切点为.代入得.由图可知时，函数，8函数（2）的最小值（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：令，则，又，所以，当且仅当，时取“=”. 【考点定位】1、基本不等式；2、正弦函数的有界性.9设实数满足，则的取值范围是 （ ） A B C D【答案】C

4、10如图，正方体的棱长为，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于( )A B C D【答案】A【解析】11已知A、B是椭圆1(ab0)和双曲线1(a0，b0)的公共顶点P是双曲线上的动点，M是椭圆上的动点(P、M都异于A、B)，且满足()，其中R，设直线AP、BP、AM、BM的斜率分别记为k1、k2、k3、k4，k1k25，则k3k4_.【答案】5【考点定位】直线与圆锥曲线.12已知等差数列的首项，公差，且、分别是等比数列的、.（1）求数列和的通项公式；（2）设数列对任意正整数均有成立，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】试题分析：（1）将

5、、利用与表示，结合条件、成等比数列列式求出的值，再根据等差数列的通项公式求出数列的通项公式，根据条件、求出等比数列的通项公式；（2）先令求出的值，然后再令，由得到，则.【考点定位】1.等差数列与等比数列的通项公式；2.定义法求通项；3.错位相减法求和13设无穷等比数列的公比为q，且，表示不超过实数的最大整数（如）,记，数列的前项和为，数列的前项和为.（）若，求；（）若对于任意不超过的正整数n，都有，证明：.（）证明：（）的充分必要条件为.【答案】（）；（）答案详见解析；（）答案详见解析.【解析】 所以，且当时，.即 （）证明：因为 ，所以 ，.因为 ，所以 ，. 由 ，得 . 因为 ，所以 ，

6、所以 ，即 .（）证明：（充分性）因为 ， 所以，所以对一切正整数n都成立.因为，所以必然存在一个整数，使得能被整除，而不能被整除.又因为，且与的最大公约数为1. 所以，这与（）矛盾. 所以.因此，.【考点定位】1、等比数列的通项公式；2、数列前n项和；3、充要条件.14如图，四棱锥中，底面是平行四边形，平面，是的中点.（1）求证：平面； （2）若以为坐标原点，射线、分别是轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得是平面的法向量，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）参考解析；（2）【解析】 (2)通过平面几何图形性质或者解线性方程组,计算得平面一个法向量为，又平面法向量为，

7、所以 所求二面角的余弦值为. 【考点定位】1.线面垂直的证明2.二面角.3.空间向量的运算.4.运算的能力.15如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D、E分别是棱BC、AB的中点，点F在棱CC1上，已知ABAC，AA13，BCCF2.(1)求证：C1E平面ADF；(2)设点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM平面ADF?【答案】（1）见解析（2）当BM1时【解析】(1)证明：连结CE交AD于O，连结OF.因为CE，AD为ABC中线，所以O为ABC的重心，.【考点定位】空间线、面间的位置关系.16在ABC中，BAC90，B60，AB1，D为线段BC的中点，E、F为线段AC的三等分点(如图)

8、将ABD沿着AD折起到ABD的位置，连结BC(如图) (1)若平面ABD平面ADC，求三棱锥B-ADC的体积；(2)记线段BC的中点为H，平面BED与平面HFD的交线为l，求证：HFl；(3)求证：ADBE.【答案】（1）（2）见解析（3）见解析【解析】(1)解：在直角ABC中，D为BC的中点，所以ADBDCD.又B60，所以ABD是等边三角形取AD中点O，连结BO，所以BOAD.因为平面ABD平面ADC，平面ABD平面ADCAD，BO平面ABD，所以BO平面ADC.在ABC中，BAC90，B60，AB1，D为BC的所以EO.所以AO2EO2AE2.所以ADEO.又BO平面BEO，EO平面BE

9、O，BOEOO，所以AD平面BEO. 又BE平面BEO，所以ADBE.【考点定位】1、几何体的体积；2、空间线、面间的位置关系.17如图，正三棱柱所有棱长都是2，D棱AC的中点，E是棱的中点，AE交于点H.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）求点到平面的距离.【答案】(1)参考解析；(2) ；(3) 【解析】(3)点到平面的距离，转化为直线与法向量的关系，再通过解三角形的知识即可得点到平面的距离.本小题关键是应用解三角形的知识.试题解析：（1）证明：建立如图所示， 即AEA1D， AEBDAE面A1BD（2）由 取【考点定位】1.空间坐标系的建立.2.线面垂直的证明.4.二面角的求

10、法.5.点到平面的距离公式.18已知点分别是椭圆的左、右焦点, 点在椭圆上上.（）求椭圆的标准方程;（）设直线若、均与椭圆相切,试探究在轴上是否存在定点,点到的距离之积恒为1?若存在,请求出点坐标;若不存在,请说明理由.【答案】（1）；（2）满足题意的定点存在,其坐标为或【解析】试题解析：(1)法一：由,得, 1分 2分椭圆的方程为 4分法二：由,得, 1分把代入并去绝对值整理, 或者 10分前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的恒成立 则,解得;综上所述,满足题意的定点存在,其坐标为或 12分【考点定位】1.椭圆的标准方程；2.椭圆的定义； 3.两点间的距离公式；4.点到直线的距离公式.19

11、如图,已知抛物线的焦点为F，过F的直线交抛物线于M、N两点，其准线与x轴交于K点.（1）求证：KF平分MKN；（2）O为坐标原点，直线MO、NO分别交准线于点P、Q，求的最小值.【答案】（1）见解析；（2）8.【解析】由, . 4分设KM和KN的斜率分别为，显然只需证即可. ， ， 6分（2）设M、N的坐标分别为，由M，O，P三点共线可求出P点的坐标为，由N，O，Q三点共线可求出Q点坐标为， 7分设直线MN的方程为。由20已知椭圆:的左焦点为,且过点.(1)求椭圆的方程;(2)设过点P(-2,0)的直线与椭圆E交于A、B两点，且满足.若,求的值;若M、N分别为椭圆E的左、右顶点，证明: 【答案

12、】(1) ;(2)参考解析【解析】试题分析：(1)因为由椭圆:的左焦点为,即.由点到两焦点显然直线斜率存在,设直线方程为 由得: 得, ,符合,由对称性不妨设, 【考点定位】1.椭圆的性质.2.直线与椭圆的位置关系.3.韦达定理.4.几何问题构建代数方法解决.21已知点、为双曲线：的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且圆的方程是（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值；（3）过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于、两点，中点为，求证：【答案】(1) ；(2)；(3)证明见解析【解析】试题分析：(1)从双曲线方程中发现只有一个

13、参数，因此我们只要找一个关系式就可求解，而这个关系式在中，通过直角三角形的关系就可求得；(2)由(1)知双曲线的渐近线为，这两条渐近线在含双曲线那部分的夹角为钝角，因此过双曲线上的点作该双曲线两条渐近线的垂线，为锐角，这样这题我们只要认真计算，设点坐标为，由点到直线距离公式求出距离，利用两条直线夹角公式求出，从而得到向量的数量积；(3)首先 等价于，因此设，我们只要证，而可以由切线的方程与双曲线方程联立方程组得到，再借助切线方程得到，验证下是否有，注意上述情形是在时进行的，而时，切线为因为在双曲线：上，所以又，所以 10分（3）由题意，即证： 设，切线的方程为： 11分 当时，切线的方程代入双

14、曲线中，化简得：【考点定位】(1)双曲线的方程；(2)占到直线的距离，向量的数量积；(3)圆的切线与两直线垂直的充要条件22已知动点P到点A(2,0)与点B(2,0)的斜率之积为，点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若点Q为曲线C上的一点，直线AQ，BQ与直线x4分别交于M，N两点，直线BM与椭圆的交点为D.求证，A，D，N三点共线【答案】（1）y21(x2)（2）见解析【解析】(1)解设P点坐标(x，y)，则kAP (x2)，kBP (x2)，由已知，化简，得y21，所求曲线C的方程为y21(x2)(2)证明由已知直线AQ的斜率存在，且不等于0，设方程为yk(x2)，由消去y，得

15、(14k2)x216k2x16k240，因为2，xQ是方程的两个根，所以2xQ，得xQ，又yQk(xQ2)k，所以Q.当x4，得yM6k，即M(4,6k) 又直线BQ的斜率为，方程为y (x2)，当x4时，得yN，即N.直线BM的斜率为3k，方程为y3k(x2)【考点定位】1、轨迹方程；2、直线与椭圆的关系.23已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；（3）设第（2）问中的与轴交于点，不同的两点在上，且满

16、足,求的取值范围.【答案】（1）；（2）（3）【解析】试题分析：（1）双曲线的离心率为，所以椭圆的离心率为。根据题意原点到直线的距离为，又因为可解得。（2）由题意知即点到直线，和到点的距离相等，根据椭圆的定义可知点的轨迹是以为焦点以直线为准线的抛物线。（3）由的方程为知设，根据得出的关系，用两点间距离求，再用配方法求最值。 试题解析：解（1）易知：双曲线的离心率为， 9分由，左式可化简为：， 10分，当且仅当，即时取等号， 11分又，当，即时， 13分故的取值范围是. 14分【考点定位】1椭圆的标准方程；2抛物线的定义；3函数值域.24已知为实常数，函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有

17、两个不同的零点；（）求实数的取值范围；（）求证：且.（注：为自然对数的底数）【答案】（1）详见解析；（2），证明详见解析.【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及不等式等基础知识，考查函数思想、分类讨论思想，考查综合分析和解决问题的能力.第一问，先对函数求导，由于函数有定义当时，函数在上是增函数； 2分当时，在区间上，；在区间上，所以在是增函数，在是减函数. 4分（II）由（I）知，当时，函数在上是增函数，不可能有两个零点当时，在是增函数，在是减函数，此时为函数的最大值，当时，最多有一个零点，所以，解得， 6分此时，且，令，则，所以在上单调递增，所以，

18、即所以的取值范围是 8分证法一：由得 .所以.所以 ，即，.又 ，所以，.所以 .即.由，得.所以， . 12分证法二：所以函数在区间上为减函数.,则,又于是. 又由(1)可知 .即 12分【考点定位】1.利用导数研究函数的单调性；2.利用函数求函数最值；3.构造函数法；4.放缩法.25已知，函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当有两个极值点（设为和）时，求证：.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）先求出函数的导函数，确定导数的符号，实质上就是确定分子的正负，从而确定函数在定义域上的单调性，即对分子的的符号进行分类讨论，从而确定的符号情况，进而确定函数在定义域

19、上的单调性；（2）根据、与之间的关系，结合韦达定理得出以及的表达式，代入所证的不等式中，利用分析法将所要证的不等式转化为证明不等式，利用作差法，构造新函数，利用导数围绕来证明. 试题解析：（1），考虑分子（2）、是的两个极值点，故满足方程，即、是的两个解，而在中， 因此，要证明，等价于证明，注意到，只需证明，即证，令，则，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减；因此，从而，即，原不等式得证.【考点定位】1.利用导数研究函数的单调性；2.分类讨论；3.分析法；4.构造新函数证明函数不等式26已知函数.()若曲线在和处的切线互相平行，求的值；()求的单调区间；()设，若对任意，均存在，使得

20、，求的取值范围.【答案】（）；（2）单调递增区间是和，单调递减区间是；（3）【解析】试题分析：（）由函数，得，（）由题意可知，在区间上有函数的最大值小于的最大值成立，又函数在上的最大值，由（）知，当时，在上单调递增，故，所以，解得，故；当时，在上单调递增，在上单调递减，由可知，所以，；综上所述，所求的范围为.试题解析：. 2分（），解得. 3分（）. 5分当时， 在区间上，；在区间上，故的单调递增区间是，单调递减区间是. 6分当时， 由已知，由（）可知，当时，在上单调递增，故，所以，解得，故. 11分当时，在上单调递增，在上单调递减，故.由可知，所以， 13分综上所述，. 14分【考点定位】1

21、.导数；2.函数的单调性、最值.27已知函数(1)求的单调区间；(2)当时，判断和的大小，并说明理由；(3)求证：当时，关于的方程：在区间上总有两个不同的解【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为（2）当时，（3）构造函数，然后借助于在区间、分别存在零点，又由二次函数的单调性可知最多在两个零点，进而得到结论。【解析】（3）即考虑函数，所以在区间、分别存在零点，又由二次函数的单调性可知：最多存在两个零点，所以关于的方程：在区间上总有两个不同的解.10分【考点定位】导数的运用，函数与方程的思想的综合运用. 28已知函数.（1）试判断函数的单调性；（2）设，求在上的最大值；（3）试证明：对任意

22、，不等式都成立（其中是自然对数的底数）【答案】（1）函数在上单调递增，在上单调递减；（2）在上的最大值为；（3）证明过程详见试题解析.【解析】综上所述，（3）由（1）知当时所以在时恒有，即，当且仅当时等号成立因此对任意恒有因为，所以，即因此对任意，不等式【考点定位】导函数的应用、最值问题、恒成立问题.29已知（）（1）若方程有3个不同的根，求实数的取值范围；（2）在（1）的条件下，是否存在实数，使得在上恰有两个极值点，且满足，若存在，求实数的值，若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）不存在，参考解析【解析】试题分析：（1）由已知（），若方程有3个不同的根，则可得到或对两个方程分别讨论即可到结

23、论.（2）解：令，设，存在，使得，另外有，使得假设存在实数，使得在上恰有两个极值点，且满足方程（*）无解，即不存在实数，使得在上恰有两个极值点，且满足【考点定位】1.函数与x轴的交点与方程的根的问题.2.函数的极值.3.等价转化的思想.4.函数的最值问题.30已知函数f(x)的导函数为f (x)，且对任意x0，都有f (x)（）判断函数F(x)在(0，)上的单调性；（）设x1，x2(0，)，证明：f(x1)f(x2)f(x1x2)；（）请将（）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论【答案】（）F(x)在(0，)上是增函数；（）f(x1)f(x2)f(x1x2)；（）f(x1)f(x2)f

24、(xn)f(x1x2xn). 【解析】试题分析：（）判断F(x)的单调性，则需对F(x)求导，得F(x)，f (x)，x0，f(x1x2xn)， f(xn)f(x1x2xn)，以上n个不等式相加，得f(x1)f(x2)f(xn)f(x1x2xn)，得证.试题解析：（）对F(x)求导数，得F(x)f (x)，x0，xf (x)f(x)，即xf (x)f(x)0，F(x)0故F(x)在(0，)上是增函数（）x10，x20，0x1x1x2 由（），知F(x)在(0，)上是增函数，F(x1)F(x1x2)，即x10，f(x1)f(x1x2)以上n个不等式相加，得f(x1)f(x2)f(xn)f(x1x2xn)【考点定位】1.利用导数求单调性；2.利用函数单调性证明不等式. - 37 -