全国版2023高考数学一轮复习解题思维6高考中立体几何解答题的提分策略试题理含解析202303161102.docx

1、解题思维6高考中立体几何解答题的提分策略1.12分如图6-1,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,BAD=60,PA=PD.(1)证明: BCPB.(2)若PAPD,PB=AB,求二面角A-PB-C的余弦值.图6-12.12分如图6-2,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.(1)求证:AB1平面A1BD.(2)求锐二面角A-A1D-B的余弦值.图6-23.2021惠州市二调,12分一副标准的三角板(如图6-3)中,ABC为直角,A=60,DEF为直角,DE=EF,BC=DF.把BC与DF重合,拼成一个三棱锥(如图6-4),设M是AC的中点,N是BC的中点.(

2、1)求证:平面ABC平面EMN.(2)若AC=4,二面角E-BC-A为直二面角,求直线EM与平面ABE所成角的正弦值.图6-3图6-44.新角度题,12分如图6-5,EC平面ABC,BDEC,AC=AB=BD=12EC=2,点F为线段DE上的动点.(1)试在BC上找一点O,使得AOCF,并证明.(2)在第(1)问的基础上,若ABAC,则平面ACE与平面AOF所成的锐二面角的大小可否为4?图6-5答 案解题思维6高考中立体几何解答题的提分策略1.(1)如图D 6-1,取AD的中点E,连接PE,BE,BD,图D 6-1PA=PD,PEAD.底面ABCD为菱形,且BAD=60,ABD为等边三角形,B

3、EAD.PEBE=E, PE,BE平面PBE,AD平面PEB,又PB平面PEB,ADPB.ADBC,BCPB.(4分)(2)设AB=2,则AB=PB=AD=2,BE=3.PAPD,E为AD的中点,PA=2,PE=1,PE2+BE2=PB2,PEBE.以E为坐标原点,分别以EA,EB,EP 所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图D 6-2所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,3,0),P(0,0,1),C(-2,3,0),图D 6-2AB=(-1,3,0),AP=(-1,0,1),BP=(0,-3,1),BC=(-2,0,0).设平面PAB的法向量为n1=(x1,y1,z1),n1AB

4、=0,n1AP=0,-x1+3y1=0,-x1+z1=0,令x1=1,得z1=1,y1=33,n1=(1,33,1)为平面PAB的一个法向量.设平面BPC的法向量为n2=(x2,y2,z2),则n2BP=0,n2BC=0,-3y2+z2=0,-2x2=0,令y2=-1,得x2=0,z2=-3,即n2=(0,-1,-3)为平面BPC的一个法向量.n1n2|n1|n2|=-277.设二面角A-PB-C的平面角为,由图可知为钝角,则cos =-277.(12分)2.(1)取BC的中点O,连接AO.ABC为等边三角形,AOBC.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC平面BCC1B1,又平面ABC

5、平面BCC1B1=BC,AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1,连接OO1,以O为原点,OB,OO1,OA的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz,如图D 6-3所示,则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,3),A(0,0,3),B1(1,2,0),AB1=(1,2,-3),BD=(-2,1,0),BA1=(-1,2,3),AB1BD=0,AB1BA1=0,AB1BD,AB1BA1.BDBA1=B,AB1平面A1BD.(6分)(2)设平面A1AD的法向量为n=(x,y,z).AD=(-1,1,-3),AA1=(0,2,0),nAD=0,nAA1=0,

6、-x+y-3z=0,2y=0,y=0,x=-3z,令z=1,得n=(-3,0,1)为平面A1AD的一个法向量.由(1)知AB1平面A1BD,AB1为平面A1BD的一个法向量,cos=nAB1|n|AB1|=-3-3222=-64,锐二面角A-A1D-B的余弦值为64.(12分)3.(1)M是AC的中点,N是BC的中点,MNAB,(1分)ABBC,MNBC.(2分)BE=EC,N是BC的中点,ENBC.(3分)又MNEN=N,MN平面EMN,EN平面EMN,(4分)BC平面EMN.(5分)又BC平面ABC,平面ABC平面EMN.(6分)(2)由(1)可知,ENBC,MNBC,ENM为二面角E-B

7、C-A的平面角,又二面角E-BC-A为直二面角,ENM=90,即ENMN.(7分)以点N为坐标原点,NM,NC,NE所在直线分别为x,y,z轴建立如图D 6-4所示的空间直角坐标系N-xyz,(8分)图D 6-4AC=4,AB=2,BC=23,NE=3,MN=1,则N(0,0,0),E(0,0,3),M(1,0,0),B(0,-3,0),A(2,-3,0),EM=(1,0,-3),BE=(0,3,3),BA=(2,0,0).(9分)设m=(x,y,z)为平面ABE的法向量,则mBA=0,mBE=0,即2x=0,3y+3z=0,得x=0,令y=1,则z=-1,平面ABE的一个法向量为m=(0,1

8、,-1).(10分)设直线EM与平面ABE所成的角为,则sin =|cos|=|mEM|m|EM|=322=64,(11分)即直线EM与平面ABE所成角的正弦值为64.(12分)4.(1)BC的中点即为所找的点O.AB=AC,AOBC,又EC平面ABC,AO平面ABC,ECAO.(2分)BCEC=C,BC平面BDEC,EC平面BDEC,AO平面BDEC.又CF平面BDEC,AOCF.(4分)(2)以A为坐标原点,AB,AC所在直线分别为x轴、y轴,过点A且平行于EC的直线为z轴建立如图D 6-5所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),E(0,-2,4),D(-2,0,2),O(-1,-1,0

9、),图D 6-5AO=(-1,-1,0),ED=(-2,2,-2).(6分)设EF=ED(01),则可得F(-2,2-2,4-2),则AF=(-2,2-2,4-2).设平面AOF的法向量为m=(x,y,z),则mAO=0,mAF=0,即-x-y=0,-2x+(2-2)y+(4-2)z=0,令x=1,则y=-1,z=2-12-,则m=(1,-1,2-12-)为平面AOF的一个法向量.(9分)易得平面ACE的一个法向量为n=(1,0,0).令|cos|=|mn|m|n|=1(2-12-)2+2=22,解得=12.故当F为DE的中点时,平面ACE与平面AOF所成的锐二面角的大小为4.(12分)第 6 页 共 6 页